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一元二次方程21.1__一元二次方程__[见A本P2]1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( C )A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0【解析】A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( C )A．5，6，－8B．5，－6，－8C．5，－6，8D．6，5，－8【解析】5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则( B )A．a>0B．a≠0C．a＝1D．a≥0【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( A )A．1B．－1C．2D．－2【解析】因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1.5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则下列方程不正确的是( C )图21－1－1A．x(x＋5)＝25B．x2＋5x＝25C．x2＋5x－20＝0D．x(x＋5)－25＝0【解析】大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.6．下列关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有( C )①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋
b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打__x－1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__x(x－1)__．根据题意，可列出方程__x(x－1)＝28__．整理，得__x2－x＝28__．化为一般式，得__x2－x－56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__．【解析】设应邀请x支球队参赛，则每队共打(x－1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为x(x－1)．根据题意，可列出方程x(x－1)＝28.整理，得x2－x＝28，化为一般式为x2－x－56＝0.二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6.8)尺，根据题意，得__x2＋(x＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x2＋13.6x－53.76＝0__．10．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：(1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)__①②④⑤__．①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤x2－2x－4＝0.(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？解：(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a、常数项为－4a.11．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( A )
A．2018B．2008C．2014D．2012【解析】∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个根，∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5，∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.12．[2013·黔西南]已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab的值是__1__.【解析】∵x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1∴a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝(－1)2＝1.13．若方程4xk－1＋3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为__3__．【解析】∵此方程是一元二次方程，∴k－1＝2，∴k＝3.14．翠湖公园有一块长为32m，宽为20m的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为xm，剩下的空地面积为540m2，请列出关于x的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．图21－1－2解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形．依题意得(32－x)(20－x)＝540，整理，得一般形式为x2－52x＋100＝0，二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100.15．已知m是方程x2－2013x＋1＝0的一个根，试求代数式m2－2012m＋的值．解：∵m为方程x2－2013x＋1＝0的根，∴m2－2013m＋1＝0，即m2－2013m＝－1，m2＋1＝2013m，∴m2－2012m＋＝m2－2013m＋m＋＝－1＋m＋.又由m2－2013m＋1＝0，两边同除以m得m＋＝2013，∴原式＝－1＋2013＝2012.
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