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第五章导数章末检测（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝( )A．10 B．20C．16D．12解析：选D ∵{an}是等差数列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )A．－D．C．－D．解析：选B ∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )A．3∶4B．2∶3
C．1∶2D．1∶3解析：选A 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为( )A．－1B．1C．5D．－5解析：选D 因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝＝－·qn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的( )A．第8项B．第10项C．第12项D．第14项解析：选D 当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.6．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝( )A．2D．C．3D．解析：选C ∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＋＋＝.∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，∴a2＝3.故选C.7．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝( )
A.D．C.D．解析：选A 由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.8．若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{bn}是项数不超过2m(m＞1，m∈N*)的对称数列，且1,2,4，…，2m－1是数列{bn}的前m项，则当m＞1200时，数列{bn}的前2019项和S2019的值不可能为( )A．2m－2m－2009B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1D．3·2m－1－22m－2020－1解析：选A 若数列{bn}的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，当m≥2019时，S2019＝＝22019－1，故B可能．当1200＜m＜2019时，S2019＝2×－＝2m＋1－22m－2019－1，故C可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，当m≥2019时，S2019＝＝22019－1.当1200＜m＜2019时，S2019＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2020－1，故D可能．故选A.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有( )A．a9·a10a10C．b10>0D．b9>b10解析：选AD ∵等比数列{an}的公比q＝－，∴a9和a10异号，∴a9a10＝ab9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一个数是负数，又∵b1＝12>0，∴db10，故D正确；∴b10一定是负数，即b100成立的最大正整数n的值为________．解析：由an＝2020－3n>0，得n0，且a＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.答案：四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2020.解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，∴＝＝＋，∴－＝(n≥2且n∈N*)，∴是公差为的等差数列．(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.∴＝＝675.∴x2020＝.18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求a＋a＋…＋a.解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×n－1，所以a＝n－1，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.19．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差是d，由已知条件得解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，∴bn＝＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.20．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，anm≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知，得即解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk.因为bn＝＝，所以b1＝，bm＝，bk＝，所以2＝×.整理，得k＝.以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－
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