资料简介
10.1.4概率的基本性质
概率的基本性质1.思考在抛掷质地均匀的骰子试验中,我们定义如下事件:C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于4”,D3=“出现的点数小于6”,E=“出现的点数小于7”,F=“出现的点数大于6”,G=“出现的点数为偶数”,H=“出现的点数为奇数”,等等.(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?提示E是必然事件;F是不可能事件.(2)如果事件C1发生,那么一定有哪些事件发生?反之,成立吗?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?提示如果事件C1发生,那么一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分别成立,那么能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
(3)如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A发生、事件B发生的频数有什么关系?fn(A∪B)与fn(A),fn(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?提示若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,从而有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),由此得到P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.(4)如果事件A与事件B互为对立事件,P(A∪B)与P(A),P(B)又有什么关系?提示因为事件A与事件B互为对立事件,所以A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=1.由P(A∪B)=P(A)+P(B),得1=P(A)+P(B),从而得出P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
2.填空
归纳提升(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=⌀时,就是性质3.
3.做一做(1)从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是()A.至少有一个红球与至少有一个白球B.恰有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与都是白球D.至多有一个红球与都是红球(2)掷一枚均匀的正六面体骰子,设A=“出现3点”,B=“出现偶数点”,则P(A∪B)等于.(3)甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,则甲、乙两人至少有一人命中的概率为.
(4)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件.()②在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).()③若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.()
解析:(1)由题意所有的基本事件可分为三类:两个红球,一红一白,两个白球.易知A选项的事件不互斥;C、D两个选项中的事件为对立事件;而B项中的事件是互斥,同时还有“两个红球”的事件,故不对立.故选B.(3)设事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练互斥、互为对立事件的判断例1判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.分析根据互斥事件、对立事件的定义来判断.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.理由是这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究在本例中,若从中任选3名同学呢?试分析问题(1),(2)的两个事件之间的关系.解:(1)是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件;两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不发生.综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”则包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练互斥事件的概率加法公式的应用例2已知事件E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则P(F)=.分析由E,F互斥,得到P(F)=P(E∪F)-P(E),由此能求出结果.答案:0.6解析:∵E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,∴P(F)=P(E∪F)-P(E)=0.8-0.2=0.6.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练例3玻璃盒子装有各种颜色的球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中任取1个球.设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”,(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.分析先判断各事件间的关系,再用公式求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏.2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练概率一般加法公式的应用例4甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟(1)对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B,A,B,A∩B的含义进行求解.(2)若该模型不是古典概型,则需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2在所有的两位数(10~99)中,任取一个数恰好能被2或3整除的概率是()答案:C
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练用逆向思维方法处理概率问题典例甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2种.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练归纳提升在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P()来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C3.若事件A,B满足A∩B=⌀,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)=.答案:0.7
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黄球的概率是,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是.答案:0.400.820.605.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少?解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练6.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:(1)求至多2人排队等候的概率;(2)求至少2人排队等候的概率.解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.
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