资料简介
10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算
一二三一、有限样本空间的相关概念1.抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况,你能写出该试验的样本空间吗?提示可以考虑用有序数对(a,b)来表示试验的结果.其中a表示其中一枚骰子的点数,b表示另一枚骰子的点数,则有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*},当然Ω还可以用列举法进行表示,该空间中有36个样本点.
一二三2.填空(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.①试验可以在相同条件下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.(2)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.(3)样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间.(4)有限样本空间:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个试验有n个可能结果,ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间.
一二三3.做一做袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.(1)从中任取1球;(2)从中任取2球.解:(1)条件为:从袋中任取1球,结果为:红、白、黄、黑4种.(2)条件为:从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,结果为:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.
一二三二、事件的概念及分类1.思考(1)考察下列事件:①导体通电时发热;②向上抛出的石头会下落;③在标准大气压下,水温升高到100℃会沸腾.这些事件就其发生与否有什么共同特点?提示都是必然会发生的事件.(2)考察下列事件:①在没有水分的真空中种子发芽;②在常温常压下钢铁熔化;③一个三角形的大边所对的角小,小边所对的角大.这些事件就其发生与否有什么共同特点?提示都是不可能发生的事件.(3)考察下列事件:①某人射击一次,命中目标;②某人购买福利彩票中奖;③抛掷一枚质地均匀的骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点?提示都是可能发生也可能不发生的事件.
一二三2.填空(1)随机事件:样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.(2)基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件.(3)事件A发生:在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.(4)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.(5)不可能事件:空间⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.说明:(1)每个事件都是样本空间Ω的一个子集.(2)为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
一二三3.做一做(1)已知集合A是集合B的真子集,则下列关于非空集合A,B的四个命题:①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;②若任取x∉A,则x∈B是不可能事件;③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;④若任取x∉B,则x∉A是必然事件.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C解析:∵集合A是集合B的真子集,∴A中的任意一个元素都是B中的元素,而B中至少有一个元素不在A中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.
一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①从集合的角度看,事件⌀与事件Ω的关系为⌀⊆Ω.()②必然事件也可能不发生,不可能事件一定不能发生.()③只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生.()答案:①√②×③×
一二三三、利用集合的知识研究随机事件1.思考对于随机事件A,B之间的关系可以用如下图示来刻划,你能用集合符号表示下列图示吗?
一二三2.填空
一二三
一二三3.做一做(1)掷一颗骰子,统计正面向上的点数.记“出现5点”=A,“出现3点”=B,“出现1点”=C,则“出现奇数点”这一事件可表示为.事件A∪B与事件C是否互为对立事件,(填“是”或“否”).答案:A∪B∪C否(2)有甲、乙两台机床,记“甲正常工作”=A,“乙正常工作”=B,则AB表示,“甲不能正常工作”可记为.答案:“甲、乙同时正常工作”
一二三(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①事件A发生,事件B与C不发生,则可表示为ABC.()②事件A,B,C均不发生可表示为ABC.()③事件A,B,C至少有两个发生可表示为A∪B∪C.()④若事件A与B是互为对立事件,则事件A与B一定为互斥事件.()答案:①√②√③×④√
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练试验的样本空间例1某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).(1)写出这个试验的样本空间;(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.分析利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.反思感悟随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究1若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间.解:当x=1时,y可取1,2,3,4.同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究2若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,最后取的小球的标号为z,这样构成有序实数对(x,y,z).试写出这个试验的样本空间.解:当x=1时,y可取2,3,4.若y=2,则z可取3,4;若y=3,则z可取2,4;若y=4,则z可取2,3.同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有6个.所以,这个试验的样本空间是Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练随机事件的概念及分类例2(1)以下的随机事件中不是必然事件的是()A.标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°(2)下列事件中,是必然事件的是()A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.12个人中有两个人生肖相同C.买了一注彩票中一等奖D.实数a+b=b+a
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)C(2)D解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.反思感悟(1)要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.(2)必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件。
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是()A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球答案:C解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练互斥事件、对立事件的判断例3把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对分析由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.答案:B
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:根据题意,把红、黄、蓝、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.故选B.反思感悟一般判断互斥事件或对立事件从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称A与B互为对立;若A∩B=⌀,则称A与B为互斥(互不相容).对于本例中的问题,要把样本空间明确,再进行分析.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是()A.取出2个红球和1个白球B.取出的3个球全是红球C.取出的3个球中既有红球也有白球D.取出的3个球中不止一个红球答案:D解析:从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练用简单事件的和或积表示复杂事件例4已知电路图,其中记A1=“开关K1合上”,A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是.答案:“开关K1,K2同时合上”这一事件
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练例5盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?分析事件间运算的类型:
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A.反思感悟进行事件运算时应注意的问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3在掷质地均匀的骰子的试验中,可以定义许多事件.例如:C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于3”,D3=“出现的点数小于5”,E=“出现的点数小于7”,F=“出现的点数为偶数”,G=“出现的点数为奇数”,请根据上述定义的事件,回答下列问题.(1)请列出事件D2,事件F包含的事件及符合相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)事件D2包含事件C4,C5,C6.事件F包含事件C2,C4,C6.事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为D2=“出现的点数大于3”=“出现4点或出现5点或出现6点”,所以D2=C4∪C5∪C6,所以事件D2为和事件.同理可得事件D3,事件E,事件F,事件G均为和事件.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.(1)三次全取到次品.(2)只有第一次取到次品.(3)三次中至少有一次取到次品.(4)三次中恰有两次取到次品.(5)三次中至多有一次取到次品.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练忽略试验的顺序导致试验结果出错典例先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:(1)一共可能出现多少种不同的结果?(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有几种?错解(1)一共出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”3种情况.(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况只有1种.以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?错因分析将“一正、一反”“一反、一正”两种情形错认为是一种情形.在题干中若强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”,则必须注意顺序问题.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练正解(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”“一枚反面,一枚正面”4种不同的结果.(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.防范措施1.把握随机试验的实质,明确一次试验的含义.2.按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为()A.{(男,女),(男,男),(女,女)}B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案:C解析:随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果,故选C.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.(多选)下列事件中,是随机事件的有()A.在学校运动会上,学生张涛获得100m短跑冠军B.在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签D.在标准大气压下,水在4℃时结冰分析利用随机事件的概念直接判断.答案:ABCD解析:在A中,在学校运动会上,学生张涛获得100m短跑冠军,是随机事件;在B中,在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯,是随机事件;在C中,从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签,是随机事件;在D中,在标准大气压下,水在4℃时结冰是不可能事件.也属于随机事件的特殊情况.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是()A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到一件次品答案:D解析:抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则为至多抽到一件次品.故选D.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练3.一箱产品中有正品4件,次品3次,从中任取2件,下列四组事件:①恰有一件次品和恰有两件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.其中两个事件互斥的是.(填序号)答案:①④解析:∵从一箱产品中任取2件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于2件,∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的,至少有一件次品和全是正品是互斥的,∴①④是互斥事件.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.(多空题)如图所示,事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”,C=“丙元件正常”.则A∪B∪C表示的含义为,表示的含义为.答案:电路工作正常电路工作不正常
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练5.给出下列四个命题:①集合{x||x|0,则x>1是必然事件;④对顶角不相等是不可能事件.其中正确命题是.答案:①②③④解析:∵|x|≥0恒成立,∴①正确;奇函数y=f(x)只有当x=0有意义时才有f(0)=0,∴②正确;由loga(x-1)>0知,当a>1时,x-1>1即x>2;当0
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