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2.4等腰三角形的判定定理A组1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B．a∶b∶c＝2∶2∶3C．∠B＝50°，∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C2．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④(第3题)3．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C)A．9 B．11C．12 D．134．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．,(第4题)) ,(第5题))5．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．(第6题)6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．【解】 △AEF是等腰三角形．证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．
∵EG∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，∴∠E＝∠EFA，∴△AEF是等腰三角形．(第7题)7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC．求证：△AEF是等腰三角形．【解】 ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，∴∠BFD＝∠BEA．∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．∴△AEF是等腰三角形．8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC,则BC＝CD，请说明理由．(第8题) (第8题解)【解】 如解图，连结BD．∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．B组
(第9题)9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B)A．一般等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【解】 ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°．∴△ADE是等边三角形．(第10题)10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．(1)求∠F的度数．(2)若CD＝2，求DF的长．【解】 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠EDF＝∠B＝60°．∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°．(2)∵∠ACB＝60°，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F，∴CE＝CF．∵∠EDF＝∠ACB＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．11．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC．(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．(第11题)【解】 (1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形．∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．在△BAE和△DAC中，∵∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．∵边AD′落在AE上，∴旋转角＝∠DAE＝60°．②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．证明如下：由旋转可知，AB′与AD重合，∴AB＝DB＝DD′＝AD′．又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°．同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°．∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°．∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．在△BDD′与△CPD′中，∵∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．数学乐园
(第12题)12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC．(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的度数是否随之变化？请说明理由．(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011【解】 (1)没有变化．理由如下：∵点E，F的速度相同，且同时运动，∴BE＝AF．∵△ABC和△ADC都是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．在△BCE和△ACF中，∵∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°．(2)没有变化．理由如下：由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC．∴四边形AECF的面积没有变化．(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下：∵△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD．∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF，∴△ACE≌△DCF(SAS)，∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC．又∵∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°，∴∠AFE＋∠DFC＝120°．∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°，∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．(4)(1)中的结论仍成立．
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