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八年级（下）数学单元测试第２单元 一元二次方程满分120分时间100分钟班级姓名一、选择题（每小题3分，共30分）1．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）A．2、3、﹣1B．2、﹣3、﹣1C．2、﹣3、1D．2、3、12．在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b=a+b2，则方程x※（x+1）=5的解是（ ）A．x=5B．x=1C．x1=1，x2=﹣4D．x1=﹣1，x2=43．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=B．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25D．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=1004．股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回原价，若这两天此股票股价的平均下跌的百分率为x，则x满足的方程是（ ）A．1﹣2x=B．（1﹣x）2=C．1﹣2x=D．（1﹣x）2=5．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+
1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．7．下列关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c满足a+b+c=0和4a﹣2b+c=0，则方程的根分别为（ ）A．1、0B．﹣2、0C．1、﹣2D．﹣1、28．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为09．如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A．B．C．2﹣D．4﹣210．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则代数式的值为（ ）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m= 时，方程为关于x的一元一次方程；当m 时，方程为关于x的一元二次方程．12．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．13．设关于x的﹣元二次方程x2+2kx+﹣k=0有两个实根，则k的取值范围为 ．14．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．15．如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是 ．16．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 ．17．能使6|k+2|=（k+2）2成立的k值为 ． 18．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4，那么x的值为 ．
三、解答题（共58分）19．请你检验x=﹣2，x=3是否是方程x（x+1）=﹣2x﹣2的根．（4分） 20．解下列方程：（6分）（1）2x2﹣5x+1=0（2）（x+4）2=2（x+4） 21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（6分）（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．
22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．（6分）认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6． 23．某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．（8分）（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
24．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：（8分）解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6③显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此时两个方程有一相同根x=1．∴当k=﹣6时，有一相同根x=1；当k=6时，有两个相同根是﹣1和7聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根． 25．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（10分）（1）填表（不需化简）
入住的房间数量房间价格总维护费用提价前6020060×20提价后 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）26．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（12分）（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．解：原方程可整理为：2x2﹣3x﹣1=0，∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；故选B． 2．解：x※（x+1）=5，即x+（x+1）2=5，x2+3x﹣4=0，（x﹣1）（x+4）=0，x﹣1=0，x+4=0，x1=1，x=﹣4，∵在正数范围内定义运算“※”，∴x=1．故选：B． 3．解：A、3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=，正确；B、2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=，正确；C、x2+8x+9=0化为（x+4）2=7，故本选项错误；D、x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100，正确；故选C． 4．解：设这两天此股票股价的平均下跌的百分率为x，涨停后的价格为（1+10%），根据题意得：（1+10%）×（1﹣x）2=1，
整理得：（1﹣x）2=．故选B． 5．解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B． 6.解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B． 7．解：当x=1时，a+b+c=0，当x=﹣2时，4a﹣2b+c=0，所以方程的根分别为1或﹣2．故选C．
8．解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B． 9．解：设丁的一股长为a，且a＜2，∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积，∴2a+2a=×22+×a2，∴4a=2+a2，∴a2﹣8a+4=0，∴a===4±2，∵4+2＞2，不合题意舍，4﹣2＜2，合题意，∴a=4﹣2．故选D． 10．解：∵a，b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5=0的两根，∴a+b=8，ab=5，====﹣20．
故选A． 二、填空题（每小题4分，共32分）11．解：是关于一元一次方程时，m﹣1=0，解得m=1；是关于x的一元二次方程时，m﹣1≠0，解得m≠1．故答案为：1；≠1． 12．解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．故答案为：3． 13．解：∵关于x的﹣元二次方程x2+2kx+﹣k=0有两个实根，∴△=4k2﹣4（﹣k）=4k2+4k﹣1≥0．解方程4k2+4k﹣1=0，得k1=，k2=，所以4k2+4k﹣1≥0的解集为k≤或k≥．所以k的取值范围为k≤或k≥．故答案为k≤或k≥． 14．解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，∴m+n=﹣2，∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 15．解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：x+8，根据题意可得：x（x+8）=128，整理得：x2+8x﹣128=0，（x﹣8）（x+16）=0，解得：x1=8，x2=﹣16，则这4个数中最小的数是8．故答案为：8． 16．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，解得x=0或x=﹣3．故答案为：x3=0，x4=﹣3． 17．解：6|k+2|=（k+2）26|k+2|﹣|k+2|2=0，∴|k+2|（6﹣|k+2|）=0，∴|k+2|=0或6﹣|k+2|=0，解得，k=﹣2，k=4或k=﹣8，故答案为：﹣2，4或﹣8．
18．解：∵∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，∴AB=6cm．∴BQ=2x，PB=6﹣x．∵P，Q两点之间的距离为4，∴BQ2+PB2=PQ2，∴（2x）2+（6﹣x）2=（4）2，整理得，5x2﹣12x+4=0，解得x1=2，x2=．故答案为：2或． 三、解答题（共58分）19．解：把x=﹣2代入方程：左边=﹣2×（﹣1）=2，右边=4﹣2=2，∴左边=右边，即x=﹣2是方程的解；把x=3代入方程：左边=3×4=12，右边=﹣6﹣2=﹣8，∴左边≠右边，即x=3不是方程的解． 20．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=1，∴△=25﹣4×2×1=17＞0，则x=；（2）∵（x+4）2﹣2（x+4）=0，∴（x+4）（x+2）=0，则x+4=0或x+2=0，解得：x=﹣4或x=﹣2．
21．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2． 22．解：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．
23．解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 24．解：设相同实根是a则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0，相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根和．若k≠1，则a==1，即相同实根是x=1，代入方程，得12+k×1﹣1=0，k=0，综上当k=0或k=1时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根． 25．解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元． 26．（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2
∴S△ABC=ab=1．
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