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浙教新版八年级下第4章平行四边形一．选择题（共11小题）1．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）A．27B．35C．44D．542．下列说法正确的是（ ）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等且垂直的四边形是正方形3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，6），直线y=kx+3k将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则k的值是（ ）A．B．C．﹣D．﹣4．如图，▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）A．3B．6C．12D．245．若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④6．点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD中任选两个条件，不能使四边形ABCD是平行四边形的组合是（ ）A．①②B．②③C．①③D．③④7．如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向），其中E为AB的中点，AH＞HB，三人行进路线长度分别为l甲，l乙，l丙，则其大小关系正确的是（ ）A．l甲＜l乙＜l丙B．l乙＜l丙＜l甲C．l丙＜l乙＜l甲D．l甲=l乙=l丙8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，若∠AFC=90°，EF=3DF，则BC的长为（ ）A．13B．14C．15D．169．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）A．AB=12mB．MN∥ABC．△CMN∽△CABD．CM：MA=1：210．如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=2
，则DC和EF的大小关系是（ ）A．DC＞EFB．DC＜EFC．DC=EFD．无法比较11．则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75° 二．填空题（共7小题）12．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．13．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．14．如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是 ．
15．在平面直角坐标系中有三点A（1，1），B（1，3），C（3，2），在直角坐标系中再找一个点D，使这是四个点构成平行四边形，求D点坐标 ．16．如图，△ABC中，AB=30，BC=24，AC=27，O为△ABC内一点，过点O作GM∥AB，交AC于G，交BC于M，过点O作EN∥AC，交AB于E，交BC于N，过点O作DF∥BC，交AC于D，交AB于F，连接GE，FM，DN．若GE∥DF，FM∥EN，DN∥GM，则△ODN，△OGE，△OFM的周长之和为 ．17．已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2014个三角形的周长为 ．18．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中 ． 三．解答题（共8小题）19．如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．求证：FP=EP．
20．（1）经过凸n边形（n＞3）其中一个顶点的对角线有 条；（2）一个凸边形共有20条对角线，它是几边形；（3）是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．21．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．（1）图中哪两个图形成中心对称？（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．22．在手工制作活动课上，小明剪了两个全等的△ABC和△DEF．（1）若把△ABC和△DEF如图1放置，则四边形ABDC是 ，并说明理由；（2）若把△DEF沿直线BC向右平移到如图2位置，连接AE、BD，四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由；（3）若把△DEF沿直线BC向右平移到如图3位置，连接AE、BD，四边形ABDE是平行四边形吗？（回答：“是”或“不是”，不必说明理由）23．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；变式：如图．E、F是▱ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠
DCF，求证：四边形AECF是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D在BC上，且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB（1）猜想EF与BD的数量关系，并给予证明；（2）若∠EFD=60°，试判断△ADC的形状．25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．26．（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= （AB+BC+AC）（直接写出结果即可）（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 ．
参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题）1．分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．2．分析：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．解：A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形．此说法错误，应该是矩形；B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形．此说法错误，不一定是菱形；C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形．此说法正确；D．对角线相等且垂直的四边形是正方形．此说法错误，不一定是正方形．故答案为：C．3．分析：经过平行四边形对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，故先求出对角线的交点坐标，再代入直线解析式求解．解：如图，连接OB和AC交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点B作CB⊥x轴于点F，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ME=BF=3，OE=OF=2，∴点M的坐标为（2，3），∵直线y=kx+3k将▱ABCO分割成面积相等的两部分，∴该直线过点M，
∴3=2k+3k，∴k=．故选A．4．分析：由▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，即可求得菱形的面积，易证得△AOE≌△COF（ASA），即可得S△AOE=S△COF，同理：S△EOG=S△FOH，S△DOG=S△BOH，即可求得答案．解：∵▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，∴S▱ABCD=3×2=6，AD∥BC，∴OA=OC，∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE=S△COF，同理：S△EOG=S△FOH，S△DOG=S△BOH，∴S阴影=S△ABD=S▱ABCD=×6=3．故选A．5．分析：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．中心对称的性质有①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，根据以上内容即可判断①②③，根据关于中心对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形即可判断④．
解：∵关于中心对称的两个图形是全等形，∴①正确；∵关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴②正确；∵如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，对称点与旋转中心的连线所成的角是一个平角，正好是旋转角，∴③正确；∵关于中心对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形，∴④错误；即正确的有①②③，故选A． 6．分析：根据平行四边形的判定定理推出①②、③①、③④都能判断四边形ABCD是平行四边形，选②③不能判断四边形是平行四边形，即可得出答案．解：A、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；B、②③不能判断四边形ABCD是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项正确；C、∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；D、∵BC=AD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；故选B．7．分析：在图2中延长BF、AD交于点M，可知AM+BM为乙所走路程，得出l甲=l乙；在图3中延长BK、AG交于点N，可知AN+BN，得出l甲=l丙；得出l甲=l乙=l丙；即可得出答案．解：在图2中延长BF、AD交于点M，∵∠DAE=∠FEB=50°，∴EF∥AM，同理DE∥BM，∴四这形DEFM为平行四边形，
∴DM=EF，MF=DE，∴乙所走的路程为AM+MB，且AM=AC，BM=BC，∴l甲=l乙；在图3中延长BK、AG交于点N，同理可证：四边形HKNG为平行四边形，∴HG=NK，HK=GN，∴丙所走的路程为AN+NB，∴l甲=l丙；∴l甲=l乙=l丙；故选：D． 8．分析：根据直角三角形的性质得到EF=6，根据EF=3DF，得到DF=2，求出DE，根据三角形中位线定理解答即可．解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，∴EF=AC=6，∵EF=3DF，∴DF=2，∴DE=DF+EF=8，∵D、E分别是AB，AC的中点，∴BC=2DE=16，故选：D．
9．分析：由已知条件得出MN是△ABC的中位线，CM=MA，由三角形中位线定理得出MN∥AB，MN=AB，AB=2MN=12m，得出△CMN∽△CAB；即可得出结论．解：∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，CM=AM，∴MN∥AB，MN=AB，AB=2MN=12m，CM：MA=1：1，∴△CMN∽△CAB；故选：D．10．分析：根据三角形中位线定理证明EF=AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD=AB，得到答案．解：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB=，在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD=AB=，∴CD=EF，故选：C．11．分析：分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，则可证得△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD和△GFD中，，∴△BHD≌△GFD（SAS），∴∠BDH=∠GDF，∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．故选C．二．填空题（共7小题）12．分析：反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．故答案为：三角形中每一个内角都小于60°13．分析：利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，故答案为：240．14．分析：由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．15．分析：通过观察发现，当涂黑3时，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，．解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为：3．16．分析：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到D点坐标的三种情况：①当AB∥CD，AD∥BC时；②当AD∥BC，AC∥BD时；③当AB∥CD，AC∥BD时；分别求出D的坐标即可．解：如图所示：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：如图所示：①当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（3，0）；②当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣1，2）；③当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（3，4）．综上所述：D点坐标为（3，0）或（﹣1，2）或（3，4）；故答案为：（3，0）或（﹣1，2）或（3，4）．
17．分析：根据平行四边形的判定定理证明四边形OEFM是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OM=EF，同理推导即可．解：∵GM∥AB，FM∥EN，∴四边形OEFM是平行四边形，∴OM=EF，∵GM∥AB，EN∥AC，∴四边形GAEO是平行四边形，∴GO=AE，∵DF∥BC，DN∥AB，∴四边形DFBN是平行四边形，∴DN=FB，∴GO+DN+OM=AE+EF+BF=AB=30，同理，GE+OD+OF=CN+NM+BM=BC=24，ON+OE+MF=CD+DG+GA=AC=27，∴△ODN，△OGE，△OFM的周长之和为AC+BC+AB=81，故答案为：81．18．分析：根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，因此新三角形周长是前一个三角形周长的．解：△ABC周长为1，∵每条中位线均为其对应边的长度的，∴第2个三角形对应周长为；第3个三角形对应的周长为×=（）2；第4个三角形对应的周长为××=（）3；…以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1；
∴第2014个三角形对应的周长为（）2013．故答案为：（）2013．三．解答题（共8小题）19．分析：根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC=∠GCB（两直线平行，内错角相等），∵DG=DC，∴∠DGC=∠DCG，∴∠DCG=∠GCB，∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，∴∠DCP=∠FCP，∵在△PCF和△PCE中，∴△PCF≌△PCE（SAS），∴PF=PE．20．分析：（1）根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线即可求解；（2）根据任意凸n边形的对角线有条，即可解答；（3）不存在，根据，解得：n=，n不为正整数所以不存在．解：（1）n边形过每一个顶点的对角线有（n﹣3）条；故答案为：（n﹣3）．（2）根据，解得：n=8或n=﹣5（舍去），∴它是八边形．（3）不存在，
理由：，解得：n=，∵n不为正整数，∴不存在． 21．分析：（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．22．分析：（1）由全等三角形的性质得出AB=DE，AC=DF，由平行四边形的判定定理即可得出结论；（2）由平移和全等三角形的性质得出AC=DF，BC=EF，由平行四边形的判定定理即可得出结论；（3）由平移和全等三角形的性质得出AB∥DE，AB=DE，由平行四边形的判定定理即可得出结论．解：（1）四边形ABDC是平行四边形；理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，∴四边形ABDC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；故答案为：平行四边形；（2）四边形ABDE是平行四边形；理由如下：根据题意得：F（C）是四边形ABDE对角线的交点，∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，BC=EF，
∴四边形ABDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（3）是；理由：由平移的性质得：AB∥DE，又∵AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．23．分析：连接AC，交BD于点O．由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再结合已知条件证得OE=OF，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论；变式：由ASA证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等BE=DF，得出OE=OF，即可得出结论．证明：连接AC，交BD于点O．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵BE=DF，∴OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF．又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．变式：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，∴∠ABE=∠CDF．在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE=DF，∴OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF．又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．
24．【考点】三角形中位线定理．分析：（1）根据等腰三角形的性质和已知得到AF=FD，根据三角形中位线定理得到EF与BD的数量关系；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行解答即可．解：（1）∵CD=CA，CF平分∠ACB，∴AF=FD，又AE=EB，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD；（2）∵EF为△ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠ADC=∠EFD=60°，又CD=CA，∴△ADC是等边三角形．25．【考点】平行四边形的判定；三角形三边关系；等边三角形的判定．分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选两个即可；（2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．分两种情况证明：当BC与CE不在同一条直线上时，60°角所对的两边之和大于其中一条对角线的长；当BC与CE在同一条直线上时60°角所对的两边之和等于其中一条对角线的长．解：（1）等腰梯形、矩形、正方形．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=BD，且∠AOD=60度．求证：BC+AD≥AC．证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．连接CE，BE．
故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形．∵AC=DE，AC=BD，∴DE=BD，∵∠EDO=60°，∴△BDE是等边三角形．所以DE=BE=AC．①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），在△BCE中，有BC+CE＞BE．所以BC+AD＞AC．②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），则BC+CE=BE．因此BC+AD=AC综合①、②，得BC+AD≥AC．即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．26．分析：（1）延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，根据AF⊥BD，AG⊥CE，求证Rt△AGC≌Rt△NGC，可得AC=CN，AG=NG，同理可证：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位线即可．（2）根据GF是△AMN的中位线，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代换即可．（3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，即可求得GF=（AC+BC﹣AB）（1）FG=（AB+BC+AC）；（2）答：FG=（AB+AC﹣BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°在Rt△AGC和Rt△CGN中∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG∴△AGC≌Rt△NGC∴AC=CN，AG=NG同理可证：AF=FM，AB=BM．∴GF是△AMN的中位线∴GF=MN．∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM∴AB+AC﹣BC=MN∴GF=MN=（AB+AC﹣BC）；（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC﹣AB）．
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