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1.3.2球的体积和表面积[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为( )A．1：9 B．1：27C．1：3D．1：1解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1：r2＝1：3，∴S1：S2＝4πr：4πr＝r：r＝1：9.故选A.答案：A2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )A.πB．4πC．4πD．6π解析：球的半径R＝＝，所以球的体积V＝π×()3＝4π.答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是( )A．1B．2C．3D．4解析：设大球半径为R，小球半径为r，所以得，所以R－r＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A．8πB．6πC．4πD．π解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.答案：C5．半径为
的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为( )A．44B．54C．88D．108解析：由题意知，球的半径R＝，故球的体积为πR3＝π·＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，三棱锥P－ABC的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.答案：7．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.解析：设大铁球的半径为Rcm，由πR3＝π×3＋π×3＋π×3，得R3＝216，得R＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.解析：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝(R－1)cm，则(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
答案：5 100π三、解答题(每小题10分，共20分)9．若三个球的表面积之比为1：4：9，求这三个球的体积之比．解析：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，∵三个球的表面积之比为1：4：9，∴4πR：4πR：4πR＝1：4：9，即R：R：R＝1：4：9，∴R1：R2：R3＝1：2：3，∴V1：V2：V3＝πR：πR：πR＝R：R：R＝1：8：27.10．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积．解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝AB＝cm.设球的半径为R，则OO′＝R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝＝＝R，所以R＝2cm.所以V球＝πR3＝π(cm3)．[能力提升](20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A．πB.C.D.
解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝＝.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.答案：B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得解得所以球的半径R＝＝.所以S球＝4πR2＝9π.答案：9π13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，a＝2R3，R3＝a，所以R1：R2：R3＝1：：.所以S1：S2：S3＝R：R：R＝1：2：3.即这三个球的表面积之比为1：2：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，所以R3＝729，R＝9，
所以SE＝18.又因为SD＝16，所以ED＝2.连接AE，因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝12.因为AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4.所以S圆锥侧＝π×4×12＝96π.(2)设内切球O1的半径为r，因为△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，所以S△SAB＝r×32＝×8×16，所以r＝4.所以内切球O1的体积V球＝πr3＝π
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