资料简介
•考试目标主词填空1.定义：冇两个而1L相平行，其余各而都是四边形，并目•每相邻两个四边形的公共边都1L相平行的多而体.2•分类：[按底血边数分：二棱柱、典棱柱、……(按侧棱与底面位置关系分：直棱柱、斜棱柱3.性质：(1)侧棱都是相筹且平行;⑵两底而与平行于底而的截而是全等的多边形;(3)过不相邻两条侧棱的截而是平彳丁四边形.4.侧面积与体积：侧而积：f斜踊〜沁[S直棱柱一c底面•体积：V柱=S恢・h=S忙・I•题型示例点津归纳【例1】如图，己知A0C]—ABC是正三棱柱，D是AC的中点.(1)证明:ABi//平面DBC\；例1题图(2)假设AB】丄BCi,求以BG为棱，DBC\与CBG为面的二血角«的度数.【解前点津】为证明(1)，只要在平面内找到A®的一条平行线即可.(2)先作出二面角的平而角，应充分利川AB}A_BC{这个条件,只要在平面CBG内作与BG垂直的直线，它与A5所成允便等于二面角的平面角，另-种思路，可用而枳射影定理求解.【规范解答】(1)是止三棱柱，・・・四边形B{BCC{是矩形,连结BiC交BCi于E,则B、E=EC.连DE.在△ABC中，9：AD=DC,:.DE//ABX,乂ABig平而DBC\,DEu平而DBC、,:.AB}//平而DBC、.⑵作DF丄BC,垂足为F,则DF丄平面B】BCCi，连结EF,则EF是ED在平面B\BCCi上的射影.TAB]丄BCi,由已知ABy//DE,:.DE丄BCi，则BCi丄EF,:.ZDEF是二面角a的平而和.设AC=1,则CD=~.2•••△ABC是止三角形,
・•・在RtADCF中,DF=DC・sinC=—,CF二DC・cosC=-.44取BC中点G,•・・EB=EC,・・・EG1BC.在Rt/XBEF中，EF2=BF・GF,21乂BF=BC-FC=一,GF二一，34ef2=-X丄，44即:EF=—,・・・UnZDEF=—=4EF:.ZDEF=45°.【解后归纳】木题易错点是：(1)对线线、线而、而而的各种关系缺乏洞察力，对其判定和性质的运用欠熟练，甚至存在漏洞.⑵对于横放的正三棱柱，不习惯，缺乏空间想彖力，看不出而4BC丄B、BCC\；误认为侧而B/CC1为止方形.【例2】正方体ABCD—A}B}CyDx的边长为且DP：PC}=1:2,求过P和下底而对角线AC作一截而的而积.【解前点津】直线AC及直线外一点P确定一个平血，此平血与止方体的几个侧面和底血相交，各交线组成一个多边形，只有把多边形确定，再用平面几何知识求出其边长和血积.【规范解答】如图,・・・p,cg截而，连结CP并延长.・・•直线PC,DD\u侧面CD、,且PC不平行于DD,,:.CP延长线与DD\延长线一定相交，若CPQDD^M点.•・•直线DDi，AD,AQiu侧面DS，令,MW侧面皿,连结AM交AQi于Q点.・•・点P,Q,A,CW截面，连P0,P0u平面41G，故四边形ACPQ为过A,C,P三点的平面与止方体的截血，如图.在△MCD中，D\P〃DC,/\MD、ps/\MDC,0P_MD{~DC~~MD=r同理'qdl=md1~AD~~MDVAD=DC=ayQD}=D}P=-a,3:.PQ//A}C{//AC,故四边形ACPQ为等瞼梯形.Ci例2题图解在等腰梯形ACPQ屮，AC=、过P作阳丄4C于H,
.c—1zpn_i_4/^\duVTT(V24-VT3)2.・S悌形(PQ+AC)•PH=a.218【例3]在三棱柱ABC—A]B]C]中，底面边长AB=AC=2b,BC=2V2b^Ax=l且AiAC=60°，求这个三棱柱的侧而积及体积.【规范解答】如图，作丄4淤于M,连结MC.取BC的屮点Q,连结VZAlAC=ZAlAB=60°,:.MB=MC=73b,ZAMB=ZAMC=90Q.乂・・•MB丄A】A,MC丄A/,・•・AA】丄平而BMC・•・直截而ZXBMC的周长为2凤+2迈bSAA^l:.侧曲积S沪/(2V3b+2V2b)=2(V3+V2)bl,又Sambc=-BC•MD=-X2y/2b・^b1-2b1=V2/?2.22・•・GSmbc・/=V2b2l.【解后归纳】本题应耍求掌握求斜棱柱的侧血积的方法:其一可求各侧血积Z和；其二可利用公式S测二直截而周长X侧棱长.•考试目标主词填空L定义:有一个而是多边形，其余各面是有一个公共顶点的-「和形的多面体.1.分类：按底面边数分：一「棱锥、四棱锥……特例：正棱锥——底而是正多边形并比顶点在底而上射影是底而屮心的棱锥.2.性质：如果棱锥被平行于底面的平曲所截，那么截面和底曲相似,并且它们回积Z比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比.即耳二竺（类推：临=竺）.S底疋V]v_对于正棱锥：（1）各条侧棱相等；（2）各侧面是全等的等腰三角形;（3）棱锥的高和斜窩及斜高在底面上的射影构成一个岂角二角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成一个育角二角形.3.侧面积和体积:s正棱锥侧=〒c底・W为斜咼）
V锥=底.〃（力为咼）•题型示例点津归纳【例1】棱锥P—4BCD的底而是止方形，侧面PAB,P4Q都垂航于底面，另两侧面
与底面成45°角，M,N分别为BC,CD的中点,最长的侧棱为15cm.求:(1)棱锥的高；【解前点津】系.【规范解答】(2)底血屮心0到平血PMN的距离.棱锥的概念在木题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的而而关如图所示.⑴设高为力，由平面PAB,平面PAD都垂直于底面，得〃丄底面AC.XZPBA=45°,:.PA=AB=hAC=42h.山PA"V17z5^5?(、OH—AG=h=(cm).1717【解后归纳】山于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.【例2]如图，已知四棱锥P-ABCD的底而是菱形，丄平面ABCD,PC=4g,ESPA的中点.(1)求证：平面BDE丄平面ABCD；(2)求：E点到平而PBC的距离；(3)求：二而角A—EB—D的平而角的人小.【解前点津】(1)证平面丄平面ABCD,需证平面BDE过平面ABCD的一条垂线0E；(2)欲求E到平面PBC的距离可转化为求宜线0E到平而的距离，进一步转化为求点0到平而PBC的距离.(3)利用三垂线定理作出二而角的平而角ZAGO,从而解出ZAGO可求得ZAGO的人小.【规范解答】证明：(1)连结AC、BD交丁0,连OE、BE、DE.•・・ABCD为菱形，：.OA=OC.又E为P4中点，：.OE//PC.+AC2=PC2及PC=\5,得h=573(cm);(2)VBD丄4C,BZ)丄PA,：.BD丄平而PAC.又MN〃BD、：・MN丄平而PAQ,・•・平而P4Q丄平而PMN.作OH丄PQTH，则。H之长即为所求.作AG丄PQ于G.在RtAPAgAQ=-AC=—h,44例1题图PQ=yjPA2+AQ2=孚h.
:.AG=PAAQPQ亚h17例2题图再山农二竺丄得AGQA3
TPC丄平面ABCQ,・・・0E丄平血ABCQ.又OEu平面BDE,・•・平而BDE丄平而ABCD.(2)解「：OE〃PC、PCu平而PBC,・・・OE〃平而PBC.・・・E到平血PBC的距离与O到平血PBC的距离相等.9CPC丄平ffiABCD,・•・平面PBC丄平面ABCD,过。作OFA.BC于F,贝ljOF丄平而PBC,即OF是O到平而PBC的距离.VZABC=60°,•*»AC=AB=BC=4a,OC=2a,:.OF=OC・sin60°=%・—=^.2・••点E到平血PBC的距离为4ia•(3)解:过O作OG丄BETG,连AG,TOE丄AC,3D丄AC,:.AC丄平而BDE,:.AG丄BE.・•・ZAGO是二而角A—BE—D的平而角.・・・OE」PC=2a,OB二旦x4a=2氐,22/•BE=yloB2+OE2=4a.由三角形而积相等得：如嚳=呼=皿又AO=»C=2a.ZAGO二arctanUnZAGO=—=OGRt/\AOG屮・•・二血角A—EB—D的平血角的大小为【解后归纳】本题考查线线平行、垂直、线面平行与垂直、血血垂直的判定及性质,点到面的距离、二面角大小的求法，综合运用知识的能力，转化能力.【例3]如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底而ABC所成角都是60°，乂ZBAC=60°，且SA1.BC.（1）求证S—ABC为止三棱锥；（2）已知SA=a,求S—ABC的全血积.【解前点津】（1）正棱锥的定义中，底而是正多边形；顶点在底而上射影是底而的中心，两个条件缺一不可.（2）只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底而边长，则问题易于解决.
例3题图【规范解答】（1）证明：作三棱锥S—ABC的高SO,O为垂足.连结AO并延长交BC于D.
因为SA丄BC,所以AD丄BC,乂侧棱与底面所成的角都相等，从而0为的外心,0D为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又ZB4C=60°,故△ABC为正三角形，且。为其屮心，所以S—ABC为正三棱锥.(2)在RtASAO中，由TSA=a,ZSAO=60Q，所以SO二—a,21QQAO=-a,因。为重心，所以AD=-AO=-a.224BC=2BD=2ADcot60°=^-a.OD=丄AD=丄a.234在Rt/XSOD中，SD2=SO2+OD2=214丿16'用、2•“。宀1V13V33(734-739)2••^5-abc—x(——a)sin60°+3x—xax——a=a・2224216【解后归纳】求正棱锥的侧而积或全而积还可以利用公式SEteBfe=cosQ・S正棱從侧(a为侧面与底面所成的二面角)，就本题COS«=^L,5a4«C=—«2,V1316所以Ss-ABC16・・・也可求出全面积.【例4】已知正三棱锥P-ABC底而边长为2,髙也是2.(1)求此三棱锥的全而积；(2)过这棱锥底面的一边作垂直于它所对棱的截面,求这个截而的面积.【规范解答】⑴斜高力‘二迈，3S?=5侧+S底=—x6x2^2-+x22=V3(a/13+1).234⑵设顶点P在底而上的射影为0,连40并延长交眈于E,连结PE,・・・PE丄BCAE丄BC,:・BC丄平血PAE,PA丄BC.在平血PAE中，作EQ丄P4于D,则PA丄截血BCD.在Z\PAE^yAE=—AB4B=2,2:.AE=y/3，在RtAPAO中,PO=2AO=^~,343•IPA=—,TPA•DE=AE•PO,:.DE=-,V32・・・截面DBC的面积是二.2【解后归纳】关于多面体表面积的计算，常用方法是将其表面展开成平血图形，转化为平面几何问题來解决;关于截面积的计算问题,则须根据截血的图形特征选择适当方法求之.
正多面体.球•考试目标主词填空1.多而体欧拉公式(1)欧拉公式V+F—E=2,是描述简单多而体的顶点数、而数、棱数之间持有规律的一个公式.2.球的概念和性质(1)定义：半圜以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面,球向所围成的儿何体叫球体，简称球.3.球而的距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点人恻许这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表而积和体枳球的表血积和体积都是球半径R的函数.(1)半径为R的球表而积公式是：S=4jlS!,(2)半径为R的球体积公式是：5=|n/?3.•题型示例点津归纳【例1】己知铜的单晶的外形是简单儿何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶而，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】设三角形晶面有兀个，八边形晶面有y个.则单晶铜的而数F=x+.y,且棱数E=(3x+8y).乂因为铜的单晶的顶点数*24,H每个顶点处都有3条棱所以棱数E二丄X(3X24)=362山欧拉公式得24+(x+y)・36=2所以x+y=14,再由丄(3x+8y)=362可解得a-8j=6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】本题考查多血体，凸多血体和多血体的欧拉定理及其应用.【例2]一个简单多而体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，冃只有三角形和五边形两种而，求该简单多而体中三角形和五边形的数目各是多少？【解前点津】设该简单多面体屮三角形和五边形数目分别为x个、)，个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.[规范解答】设三角形有x个，五边形有y个，・・•共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，.・・棱数£=1^2=24,2一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱，
.・・棱数为竺也,・・・竺也=24①22另一方血，rh题意知面数F=x+y,rh欧拉定理得：16+（兀+刃・24=2②由①②联立可得：x=lj=9,即三角形而有1个，五边形而有9个.【例3】一个圆锥形漏斗口的内周长为8ncm.漏斗深9.6cm,将一个球放进漏斗里,球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm,求球的体积.【解前点津】作出轴截血图.【规范解答】作共同的轴截血图（如图），得等腰和圆0,球的最高点、C,球心0和圆锥顶点P三点共线，D=ABAPC,依题设：PD=9.6,CD=2AAD=—=4-2兀过C作与PA、阳的延长线分别交丁•点旳、B“则A/】与圆0相切丁・C且有竺二竺=旦“.25.ADPD9.6A^iC=1.25AD=5.PA］二Jac'+pc?=13记PA】与圆0的切点为&则且厶PEO^/\PCAlt得竺=—,PE=PAx-AxE=\3・5二&例3题图•/0E=PEA{CPC10T即得球半径唏，所以它的体枳为小卜宀警w.【解后归纳】作出恻锥与球共同的轴截面，则恻锥与球的重要儿何量与儿何关系都在这一平面图形上充分展现出來了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】在北纬45°的纬度圈上有4、B两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R,求A、B两点的球而距离.【规范解答】如图,设北纬45°圈的圆为0,地球中心为O,贝lJZ4O】B=160°-70°=90°,ZOBOi=45°,OB=R.O\B=O\A=RAB=R,连接AOAB,则AO=BO=AB=R,・・・™3叫・2g「R.故“两点间的球面距离为戶.【解后归纳】为求A、B两点间球而的距离,要把它纽织到△AOB中去分析，只要求得ZAOB的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应川.练习PCA.C
1•球面上有3个点，其屮任童两点的球面距离都等于人恻周长的丄，经过这3个点的小6圆的周长为4兀，那么球的半径为（）A.4侖B.2的C.2D.V3它的经度差为180°）D.3:5则A、B两点的纬度线的距2.在地球表面北纬60°线上有两点,离与A、B两点的球血距离Z比为（A.1：3B.2:3C.3:23.半径为R的三个球两两外切放置桌而上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌而A./?B."匕，则小球的半径为（）12C.-RD.-R134、•已知过球面上三点A、B、C的截面与球心距离等丁球半径的一半，月.AB=BC=C4=2,则球的半径等于(22A」B.-C.-335、.在120°的二面角内，放一个半径为5cm的球切两半平面于4、B两点，那么这两个切点在球面上最短距离是.6、地球半径为6370km,地球表血北纬30°圈上有A、3两个卫星地血接收站，它们亦北纬30°圈上的距离是6370如km,则这两地间的经度差是・3
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