天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 人教A版 / 必修1 / 第二章 基本初等函数（1） / 2.1.2 指数函数及其性质 / 指数函数及其性质知识点总结
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为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划指数函数及其性质知识点总结 指数函数及性质 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： x 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2， x x 1x y?3x?1等函数都不是指数函数． 为什么规定底数a大于零且不等于1： x ??x?0时，a恒等于0， ①如果a?0，则?x x?0时,a无意义.?? ②如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)x，当x? 11 ,x?,???时，在实数范围内函数值不存在．24 x ③如果a?1，则y?1?1是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： 当底数大小不定时，必须分“a?1”和“0?a?1”两种情形讨论。当0?a?1时，x???,y?0；当a?1时x???,y?0。当a?1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当0?a?1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。 ?1 ?目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 指数函数y?a与y???的图象关于y轴对称。 ?a? x x 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 ①y?a②y?b③y?cx④y?dx 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cxx∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx特殊函数 x x y?2x,y?3x, 1y?()x, 21 y?()x的图像： 3 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 类型一、函数的定义域、值域 例1．求下列函数的定义域、值域. AA ?1，或?1即可．BB 3xxx(1)y?；(2)y=4-2+1；(4)y?1?3x【答案】R，(0，1)；R[ 为大于1的常数) 3?1?,??)；??,????0,???；(-∞，-1)∪[1，+∞)4?2? [1 ，a)∪(a，+∞) x 【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切x?R，3≠-1). (1?3x)?11xx ?1?∵y?，又∵3>0，1+3>1，xx 1?31?3 11?1?1???0，，∴xx 1?31?3 1 ?1，∴值域为(0，1).∴0?1? 1?3x 1231xx2xxx目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 (2)定义域为R，y?(2)?2?1?(2?)?，∵2>0，∴2?即x=-1时，y取最小 242 333 值，同时y可以取一切大于的实数，∴值域为[,??).444 12x?1 ??0，即32x?1?3?2，又函数y?3x是增函数，所以(3)要使函数有意义可得到不等式3 9 ∴0? 2x?1??2，即x?? (4)∵ 1?1? ，即??,???，值域是?0,???.2?2? 2xx?1?1??0∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，x?1x?1 ?1x?1 x?1x?1 又∵?0且?1，∴y?a x?1x?1 ?1且y?a ?1x?1 ?a，∴值域为[1，a)∪(a，+∞).目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域：(1)y? 2x(3)y? 2 x?12 ???1不能遗漏.x?1x?1 -1 (2)y? y?a?0,a?1) 【答案】R；?-?，?0,+??；a>1时，?-?，3?；0?；01时，?-?，0?；01时，外层函数y=a在(??，数，在区间?1，+??上为增函数，故函数f(x)?ax 2 2 -2x +??上为增函在区间(-?，1)上为减函数，在区间?1， 数； u ??)上为减函数，内函数u=x2-2x在区间(??，1)上为减函数，在当00且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2， x x 1x y?3x?1等函数都不是指数函数． 为什么规定底数a大于零且不等于1： x ??x?0时，a恒等于0， ①如果a?0，则?x x?0时,a无意义.?? ②如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)，当x? x x 11 ,x?,???时，在实数范围内函数值不存在． 24 ③如果a?1，则y?1?1是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： 当底数大小不定时，必须分“a?1”和“0?a?1”两种情形讨论。当0?a?1时，x???,y?0；当a?1时x???,y?0。当a?1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当0?a?1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ?1 ? 指数函数y?a与y???的图象关于y轴对称。 ?a? x x 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 ①y?a②y?b③y?cx④y?dx 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cxx∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx特殊函数 x x y?2x,y?3x, 1y?()x, 21 y?()x的图像： 3 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数y?(a?3a?3)a是指数函数，求a的值．【答案】2 【解析】由y?(a?3a?3)a是指数函数， 2 x 2 x AA ?1，或?1即可．BB ?a2?3a?3?1,?a?1或a?2, 可得?解得?，所以a?2． a?0且a ?1,??a?0,且a?1, 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： 切入点：利用指数函数的定义来判断； 关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 y?4；y?x；y??4；y?(?4)；y?(2a?1)x(a? x 4 xx 1 且a?1)；y?4?x．2 x 【答案】 ?1? 【解析】为指数函数．其中y?4=??，符合指数函数的定义，而中底 ?4? ?x 数x不是常数，而4不是变数；是-1与指数函数4x的乘积；中底数?4?0，所以不是指数函数． 类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域. 3xxx(1)y?；(2)y=4-2+1； ； (4)y?x 1?3 【答案】R，(0，1)；R[目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 为大于1的常数) 3?1? ??,????0,???；(-∞，-1)∪[1，+∞),??)； 24?? [1，a)∪(a，+∞) x 【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切x?R，3≠-1). (1?3x)?11xx ?1?∵y?，又∵3>0，1+3>1，xx 1?31?3 11 ，∴?1?1???0， 1?3x1?3x 1 ∴0?1??1，∴值域为(0，1). 1?3x 1231xx2xxx (2)定义域为R，y?(2)?2?1?(2?)?，∵2>0，∴2?即x=-1时，y取最小 242 333 值，同时y可以取一切大于的实数，∴值域为[,??).444目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 12x?1 (3)要使函数有意义可得到不等式3??0，即32x?1?3?2，又函数y?3x是增函数，所以 9 ∴0? 1?1? 2x?1??2，即x??，即??,???，值域是?0,???. 2?2? (4)∵ 2xx?1?1??0∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，x?1x?1 x?1x?1 ?0且?1，∴y?a又∵ x?1x?1 2x ?1x?1 ?1且y?a 2x?1x?1 ?a，∴值域为[1，a)∪(a，+∞). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中 x?12 ???1不能遗漏.x?1x?1目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域： x-1 (1)y? 2(2)y?2 (3)y? y?a?0,a?1) 3?；0?；01时，?-?， 【解析】(1)R 3?．(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即x?3，即?-?， (3)为使得原函数有意义，需满足2-1≥0，即2≥1，故x≥0，即?0,+?? x x 0?；01时，?-?， x x 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结 合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 例3．讨论函数f(x)??? ?1??3? x2?2x 的单调性，并求其值域． x2?2x ?1? 【思路点拨】对于x∈R，?? ?3? ?0恒成立，因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间．此函数 是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数f(x)在区间上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数，设x1、x2∈且有x1＜x2， ?1?∴f(x2)??? ?3? 2x2?2x2 1 ?1? ，f(x1)??? ?3? x2?2x1目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ， ?1?22 x2?x1?2(x2?x1)(x2?x1)(x2?x1?2)??f(x2)?3?11???? ．???2????x1?2x1 f(x1)?1??3??3? ???3? 当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0． 2x2?2x2 ?1? 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知?? ?3? (x2?x1)(x2?x1?2) ?1． 又对于x∈R，f(x)?0恒成立，∴f(x2)?f(x1)． ∴函数f(x)在上单调递增． 当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知 ?1?0????3? (x2?x1)(x2?x1?2) ?1．∴f(x2)?f(x1)． ∴函数f(x)在[1，+∞）上单调递减．目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 综上，函数f(x)在区间上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数． 1?1? ∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，0??1，0??? 3?3? ∴函数f(x)的值域为上是增函数，∴函数f(x) ?3? 在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法同解法一． 【总结升华】由本例可知，研究y?a般地有：即当a＞1时，y?a f(x) f(x) u 型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一 f(x) 的单调性与y?f(x)的单调性相同；当0＜a＜1时，y?a 的单调与 y?f(x)的单调性相反． 举一反三： 【变式1】求函数y?3 ?x2?3x?2目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 的单调区间及值域. 1 33 【答案】x?(??,]上单增，在x?[,??)上单减.(0,34] 22 【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x+3x-2，y=3； [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；[3]求值域. 2u 设u=-x+3x-2，y=3， 其中y=3为R上的单调增函数，u=-x+3x-2在x?(??,]上单增， u 2 2 u 32 指数函数 指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N． *目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 n 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。当n是奇数时，nan?a，当n是偶数时，an?|a|??2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a(a?0) ??a(a?0) a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn ? 1a r mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质 a·a?a r目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 r?s (a?0,r,s?R)； rsrs (a)?a(a?0,r,s?R)；rrs (ab)?aa (a?0,r,s?R)． x 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)] 若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； 对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a； xx 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y＝3目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 12?x (2)y＝2x?2?1 (3)y＝3?3x?1 解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， ∴值域是0≤y＜． y?2练习： 1 x?4 xx?1 ；y?()；y?4?2?1； 23 |x| 【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[] A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数①(). ② 满足不等式目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ,则它们的图象是 【例3】比较大小： (1)2、2、4、、的大小关系是：(2) ?45 13?2()2 ． (3)________ 12 13 25 38 49 解(1)∵2?2，2?2，4?2，?2，?2，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241 又＜＜＜＜，∴＜＜4＜＜．38592 13?2 解(2)∵＞1，1＞()， 2 41 3?? ∴＞()2． 2目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 ?45 解(3)借助数打桥，利用指数函数的单调性，＞，作函数y1＝，y2＝的图像如图2．6－3，取x＝，得＞∴＞． 说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与同底与同指数的特点，即为(或)，如例2中的(3)．练习： 与(2) 3 ? 与 ? (3) 与 和 【例4】比较大小nan与an?1(a＞0且a≠1，n＞1)． n解目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 an n?1 a ?a 1n(n?1) 当0＜a＜1，∵n＞1， 1 ＞0， n(n?1) ＜1，∴nan＜an?1 1 当a＞1时，∵n＞1，＞0， n(n?1)∴a∴a 1n(n?1) 1n(n?1) ＞1，nan＞an?1 (2)y＝2x－2， 【例5】作出下列函数的图像： 1x?1 (1)y＝() 2 (3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 11 解(1)y＝()x?1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)． 221 是把函数y＝()x的图像向左平移1个单位得到的． 2 解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的． 解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)． 解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7) ax?1 【例8】已知f(x)＝x(a＞1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3) a?1 证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解(1)定义域是R． a?x?1ax?1目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划 f(－x)＝?x??x＝－f(x)， a?1a?1 ∴函数f(x)为奇函数．目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
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