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1.3.2函数的奇偶性.

2024-08-19
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1.3.2奇偶性第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质 xy0 观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. 1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1) 2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．3.奇偶性如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.注意：（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则它是偶函数。（4）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则它是奇函数。【典例分析】【例1】判断下列函数的奇偶性：f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；(5)f(x)＝5；(6)f(x)＝0.（注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0常函数.前提是定义域关于原点对称）. 【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)先求定义域，看是否关于原点对称；(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数【活学活用1】判断下列函数的奇偶性：(2)(5)f(x)=x3+2x；(6)？思考：讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性（1）如图⑴，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，求f(－4).（2）如图⑵，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.【例2】（1）（2）【活学活用2】(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小并试作出y轴右侧的图象．【思考】奇函数f(x)的对称区间上的单调性有什么关系？偶函数呢？已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．【例3】【活学活用3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，求函数f(x)在R上的解析式．【课堂练习】1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为。2．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y 查看更多

1.3.2函数的奇偶性.

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