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第五讲约数与倍数（二）知识点拨约数个数定理与约数和定理1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：，所以21000所有约数的和为此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。例题精讲约数个数问题【例1】数的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢?【解析】对任意一个自然数，我们首先可以将它作因式分解，化成质数及其次数的乘积，以为例，我们有.要算它的约数的个数，我们可以这样来理解：约数的因数只可能是,.并且它们的次数不会超过原数的次数，从而约数的因数的的次数可以为，,,,,；而的次数也只可能是或.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况：不包含的约数：,,,,,,情况：包含的约数:，，，，，.从而我们可以任意地从中选若干个，的次数，即：()().(个)所以它的约数的和：()()至于要算它们的约数的积，我们可以将它的约数配对：一个约数和它被原数除的数组成一对(如和是的一对).这样，对于非平方数而言，我们得到整数对，并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言，仅仅是多了一个数(它的开方)，从而通过对它的约数的个数，可以求出它们的积.
对本题而言，我们有(;)，(;)，(;)，(;)，(;)，(;)共对.从而它们的积为.【例1】求在到中，恰好有个约数的所有自然数.【解析】逆用约数个数定理：或，所以自然数只有两种分解可能，一种是一种是,但第一种情况以内这样的数不存在，第二种情况只有等于的可能，所以或因此满足条件的自然数只有和.【巩固】在到中，恰好有个约数的数有多少个？【解析】只能表示为()或()()，所以恰好有个约数的数要么能表示成某个质数的次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，以内符合前者的只有，符合后者的数枚举如下：所以符合条件的自然数一共有种．【例2】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．【例3】有一个自然数，它的个位是零，它共有个约数，这个数最小可能是多少？【解析】因为，(舍去)，又因为这个数只含，两个不同的质因子，又要求最小，所以这个数应为，所以个位是零又有个约数的最小自然数为.【例4】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数．【解析】由于，从质数的观点看整除，如果自然数N能被30整除，那么自然数N至少含有三个质因数2，3，5．设：．自然数N恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：．注意到是三个约数之积，由此可知自然数N中质因数的个数恰好有3个．因此，由此可知必是的一个排列．综上所述，所求的自然数有：，，，，，．【例5】自然数N有45个正约数。N的最小值为。【解析】由于，根据约数个数公式，自然数N可能分解成、、、等形式，在以上各种形式下，N的最小值分别为、、、，比较这些数的大小，可知，所以最小值是．【巩固】在有个约数的数中，最小的一个正整数是多少？【解析】因为，所以有个约数的数的一般形式为：或或或，即或或或.为使这样的正整数较小，底数应为尽可能小的质数，且应使底数较小的指数较大，然后从各种形式的数中取最小的一个.比较
以最小，所以所求的最小数为.【例1】已知是一个有12个约数的合数，、有24个约数，有40个约数，求有多少个约数？【解析】设，中不含有2、3、5因子，那么的约数个数有①(其中为的约数个数)的约数个数为，与①比较得到,于是，的约数个数为，与①比较，于是，的约数个数为，与①比较得到，于是，将、、代入①得到，的约数个数为.【铺垫】已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数.【解析】由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有1个因子2，可将A分解成，其中B是奇数，根据约数个数公式，它的约数的个数为(其中N为B的约数个数)，则，它的约数个数为个．【例2】能被2145整除且恰有2145个约数的数有个．【解析】先将2145分解质因数：，所以能被2145整除的数必定含有3，5，11，13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘积，矛盾．所以所求的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数．对于这样的每一个数，分解质因数后3，5，11，13这4个因子的幂次都恰好是，，，的一个排列，所以共有种【巩固】(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【解析】1001的倍数可以表示为，由于，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为，其中．如果这个数恰有1001个约数，则，但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么只有7，11，13这3个质因数．设，则，、、分别为7，11，13，共有种选择，每种选择对应一个，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．【例3】如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？【解析】设这个自然数是，，将分解质因数，设，其中x，y，z可以是0或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数．因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以．
可得，要想使最小，需要使最大，而，，，所以，得到．要想使等号成立，必须，，，即此数为一个不是2，3，167的质数的166次方，此时这个数的约数有167个．故这个自然数最少有167个约数．约数倍数综合运用【例1】筐里有个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【解析】，共有个约数，去掉和还有个约数.所以共有种不同拿法【例2】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？【解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用由公式的结果倒推，A有9个约数，那么符合公式的要求有，，或者，若要求A的值尽可能小，则A不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明A的形式为的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A最小为，类似的可以知道,同时为满足最小要求。C为8个约数情况可能有两种，，其中当时数字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为【例3】(2008年101中学考题)已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则．【解析】，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果A为，那么1728不是A的倍数，不符题意，所以，那么为B的约数，设，则，得，所以．【例4】已知两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知有12个约数，有10个约数，求与的和．【解析】因为，如果设，，那么中较小的数是1，中较小的数是2．由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积．所以，．又，，由于，所以，那么，，得到，．那么，得到，所以，，．【巩固】、两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知有12个约数，有8个约数，那么______．【解析】，、至少含有两个3和一个2．因为有12个约数，，所以可能是、或，有8个约数，，所以，于是只能是，故．
【例1】要使这个积是的倍数，并要使最小，则．【解析】分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：则是的倍数，则得到，使最小，则．【例2】自然数是48的倍数，但不是28的倍数，并且恰好有48个约数(包括1和它本身)，那么的最小值是多少？【解析】由于是48的倍数，所以是和3的倍数；由于不是28的倍数，所以不是7的倍数，也就是不含因子7．由于恰好有48个约数，不妨设，其中，．则．由于，则，又是48的约数，至少为6，所以最大为8，可能为8，6，4，3，2．这几个数最多只能分成3个大于1的整数之积，所以的质因子除了2以外最多有3个．为了使尽可能小，的质因子也应尽可能小，即的质因子应取最小的几个：2，3，5，11，而且较小的质因子的次幂应更高．⑴如果，则，，可能为(1，1，1)，(3，1，0)，(7，0，0)，对应的分别为，，，其中最小的为；⑵如果，则，，只能为0，可能为(2，1)，(5，0)，对应的分别为，，其中较小的为；比较可知小于；⑶如果，则，，只能为0，可能为(1，1)，(3，0)，对应的分别为，，它们都大于；⑷如果，则至少为16，此时至少为15，而已经大于，所以此时满足条件的必然大于．综上可知最小为，即为4320． 课后作业练习1有多少个约数？这些约数的和是多少？【解析】. 的约数：，，，共个. 的约数：，共个. 根据乘法原理，的约数个数为： ()(). 这些约数的和()().练习2在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？【解析】由于，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有符合条件，后者中符合条件有、、、、、，所以符合条件的有7个．
练习1已知有个约数，有个约数，有个约数，有多少个约数？【解析】设，有个约数，(为的约数个数)，于是有个约数，所以，有个约数，由此求得，，所以有个约数.练习2能被210整除且恰有210个约数的数有个．【解析】，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有个．练习3两数的最大公约数是12，已知有8个约数，有9个约数，求和。【解析】。提示：，，。
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