天天资源网 / 初中数学 / 中考模拟 / [中考]济南中考数学训练③
资料简介
初中数学学考一轮复习重点题集②一、选择题（共7小题）1、（1998•湖州）若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c的变化范围是（ ）A、0＜s＜2B、S＞1C、1＜S＜2D、﹣1＜S＜12、已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（ ）A、B、C、D、3、已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（ ）A、（﹣2，3）B、（2，﹣3）C、（﹣3，2）D、（3，﹣2）4、（2001•黑龙江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）A、4：10：25B、4：9：25C、2：3：5D、2：5：255、给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且y随x的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（如图）；④在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．其中正确的是（ ）A、③④B、①②③C、②④D、①②③④6、如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）A、k1+k2B、k1﹣k2C、k1•k2D、7、如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则（ ）
A、Sn=S△ABCB、Sn=S△ABCC、Sn=S△ABCD、Sn=S△ABC二、解答题（共21小题）8、（2007•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．10、（2008•白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．（1）点A的坐标是 _________ ，点C的坐标是 _________ ；（2）当t= _________ 秒或秒时，MN=AC；（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．11、如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间之间的函数关系式，及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．12、（2008•广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣5）和（﹣2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．13、（2008•怀化）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0），B（0，﹣8）两点．（1）请求出直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得
S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，O为坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数（k＞0）的图象上的一点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m），△OPA的面积为S，且．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）若已知k=2，请问OP2是否有最小值？若有，请求出OP2的最小值；若没有，请说明理由．15、（2003•福州）已知：如图，二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．16、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．17、（2010•锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18、已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形． _________ ， _________ ；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示） _________ ；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．19、（2009•长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y甲（棵），乙班植树的总量为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．（1）当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式．（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵．（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当x=8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．20、（2007•
玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．21、（2005•连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+与双曲线y=（m＞0）的交点．（1）求m和k的值；（2）设双曲线y=（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=AB，写出你的探究过程和结论．22、（2009•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
23、（2008•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．24、（2009•武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？25、某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如下图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？26、（2008•黄石）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200170乙店160150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？27、（2007•济南）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（﹣，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．28、已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD的边AD上一点并且不与点A、D重合，MN是线段BP的垂直平分线，与AB、BP、CD分别交于点M、O、N，设AP=x．（1）求BM（结果用含有x的代数式表示）；（2）请你判断四边形MNCB的面积是否有最小值？若有最小值，求出使其面积取得最小值时的x的值并求出面积的最小值；若没有最小值，说明你的理由．三、填空题（共2小题）29、如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积= _________ ．30、（2010•温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于 _________ ．
答案与评分标准一、选择题（共7小题）1、（1998•湖州）若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c的变化范围是（ ）A、0＜s＜2B、S＞1C、1＜S＜2D、﹣1＜S＜1考点：二次函数图象与系数的关系。分析：由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，a﹣b+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出S=a+b+c的变化范围．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），∴易得：c=1，a﹣b+c=0，a＜0，b＞0，由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1，由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a+b＜1，且c=1，得到0＜a+b+c＜2，∴0＜s＜2．故选A．点评：此题考查了点与函数的关系，解题的关键是画草图，利用数形结合思想解题．2、已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（ ）A、B、C、D、考点：旋转的性质；正方形的性质。专题：数形结合。分析：首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽RtECD，再利用相似比得出NE=CD=2.5，运用正方形性质得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．解答：解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽RtECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，NE=CD=2.5．∵AC平分正方形直角，
∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴CE=NE=×=，故选：C．点评：此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法．3、已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（ ）A、（﹣2，3）B、（2，﹣3）C、（﹣3，2）D、（3，﹣2）考点：坐标与图形变化-旋转。分析：根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，即与原来的图形全等．解答：解：原来点A的坐标为（2，3），逆时针旋转90°后就到了第二象限，旋转前后的三角形全等，从而得A1点坐标为（﹣3，2）．故选C．点评：解答此题的关键是明确：（a，b）绕原点旋转逆时针90°后的点的坐标为（﹣b，a）．4、（2001•黑龙江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）A、4：10：25B、4：9：25C、2：3：5D、2：5：25考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析：根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．解答：解：由题意得△DFE∽△BFA∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：5∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25．故选A．点评：本题用到的知识点为；相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比．5、给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且y随x的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（如图）；④在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．其中正确的是（ ）A、③④B、①②③C、②④D、①②③④考点：圆周角定理；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理的证明；矩形的判定。专题：推理填空题。分析：分别根据反比例函数的性质、矩形的性质及勾股定理、圆心角、弧、弦的关系对每小题进行逐一解答．解答：解：①反比例函数的图象的图象两个分支分别位于一、三象限，而不是经过一、三象限，故此小题错误；②对角线相等且有一个内角是直角的平行四边形时矩形，故此小题错误；③符合勾股定理的历史，故此小题正确；④符合圆心角、弧、弦的关系，故此小题正确．所以③④正确．故选A．点评：本题考查的是反比例函数的性质、矩形的性质及勾股定理、圆心角、弧、弦的关系，是一道较为简单的题目．
6、如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）A、k1+k2B、k1﹣k2C、k1•k2D、考点：反比例函数系数k的几何意义。专题：数形结合。分析：四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．解答：解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．故选B．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．7、如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则（ ）A、Sn=S△ABCB、Sn=S△ABCC、Sn=S△ABCD、Sn=S△ABC考点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心。专题：规律型。分析：首先证明构成等差数列，而=2，故=2+1•（n﹣1）=n+1，则可以得到△ABC与△BDnEn面积之间的关系，从而求解．解答：解：∵S△BDnEn=S△DnEn•CEn，∴DnEn=D1E1•CEn•，而D1E1=BC，CE1=AC，∴S△BDnEn=•BC••CEn=•CEn=BC•AC[]2=S△ABC•[]2，延长CD1至F使得D1F=CD1，∴四边形ACBF为矩形．∴===，
对于=，两边均取倒数，∴=1+，即是﹣=1，∴构成等差数列．而=2，故=2+1•（n﹣1）=n+1，∴S△BDnEn=S△ABC•[]2，则Sn=S△ABC．故选D．点评：本题主要考查了三角形面积的计算，正确证明构成等差数列是解题关键．二、解答题（共21小题）8、（2007•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题；开放型。分析：（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=；（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，），过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0），
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．解答：解：（1）由题意可知C（0，﹣3），﹣=1，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN=1，CM=，∴CN=2，于是m=﹣1．同理可求得B（3，0），∴a×32﹣2﹣2a×3﹣3=0，得a=1．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．∵M到AB，CD的距离相等，OB=OC，∴OA=OD，∴点D的坐标为（0，1），∴在Rt△BCO中，BC==3，∴，在△BCE中，∵BC2+CE2=（32+32）+[（1﹣0）2+（﹣4+3）2]=20=（3﹣1）2+（0+4）2=BE2∴△BCE是Rt△，∴，即，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=．（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，）．过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．点评：此题考查了二次函数与圆的知识的综合应用，要注意分析图形，应用相似三角形的性质与判定，要注意数形结合思想的应用．9、（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣
2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．考点：反比例函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线Y=上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为2，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2=n2+=（n﹣）2+4，所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．10、（2008•白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．（1）点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）当t= 秒或秒时，MN=AC；（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．（2）当MN=AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2；②当MN是△ABC的中位线时，OM=OA=6，因此t=6；（3）本题要分类进行讨论：①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，可用矩形OABC的面积﹣三角形BMN的面积﹣三角形OCN的面积﹣三角形OAM的面积来求得．（也可过O作直线m的垂线设垂足为F，那么在直角三角形OMF中，可根据OD的长和∠ODE的正弦值求出OF的长，求MN的方法一样）．（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．解答：解：（1）（4，0），（0，3）；（2）当MN=AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2；②当MN是△ABC的中位线时，OM=OA=6，因此t=6；（3）当0＜t≤4时，OM=t∵由△OMN∽△OAC，得=，∴ON=，S=t2当4＜t＜8时，如图，∵OD=t，∴AD=t﹣4方法一：由△DAM∽△AOC，可得AM=（t﹣4）∴BM=6﹣由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8﹣t∴CN=t﹣4S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积=12﹣（t﹣4）﹣（8﹣t）（6﹣）﹣=t2+3t方法二：易知四边形ADNC是平行四边形，∴CN=AD=t﹣4，BN=8﹣t．由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=6﹣，
∴AM=（t﹣4）以下同方法一．（4）有最大值．方法一：当0＜t≤4时，∵抛物线S=t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大∴当t=4时，S可取到最大值×42=6；（11分）当4＜t＜8时，∵抛物线S=t2+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），∴S＜6．综上，当t=4时，S有最大值6．方法二：∵S=∴当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图象如图所示．显然，当t=4时，S有最大值6．点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．11、如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间之间的函数关系式，及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：综合题；分类讨论。分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；（4）分两种情况进行列方程解决问题．解答：解：（1）如图，
过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO==，∴∠BAO=60°；（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，点P的运动速度为2个单位/秒；（3）P（10﹣t，t）（0≤t≤5），∵S=（2t+2）（10﹣t），=﹣（t﹣）2+，∴当时，S有最大值为，此时；（4）当P在AB上时，根据P点纵做坐标得出：，解得：，当P在BC上时，，此方程无解，故t不存在，综上所知当t=时，PO=PQ．点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．12、（2008•广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣5）和（﹣2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2）∵点B是y=x与y=x2﹣2x﹣4的交点，根据题意可求得N，M的坐标，则可表示出MN的长，通过纵坐标的绝对值的和求得；（3）把△BOM分成两个△OMN与△
BMN，把MN作为两个三角形的底，通过点B，P的纵坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．解答：解：（1）由题意得解得b=﹣2，c=﹣4（3分）∴此抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣4；（2）由题意得：，∴点B的坐标为（4，4），将x=m代入y=x条件得y=m，∴点N的坐标为（m，m），同理点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣4），点P的坐标为（m，0），∴PN=|m|，MP=|m2﹣2m﹣4|∵0＜m＜+1∴MN=PN+MP=﹣m2+3m+4；（3）作BC⊥MN于点C则BC=4﹣m，OP=m，S=MN•OP+MN•BC=2（﹣m2+3m+4）=﹣2（m﹣）2+12（11分）∵﹣2＜0∴当m﹣=0，则m=时，S有最大值．点评：此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．13、（2008•怀化）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0），B（0，﹣8）两点．（1）请求出直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据“两点法”可求直线AB解析式；（2）求直径AB，得半径MC的值，由中位线定理得MN=OB，CN=MC﹣MN，又CM垂直平分线段AO，可得C点横坐标及纵坐标，设抛物线顶点式，把B点坐标代入即可求抛物线解析式；（3）由（2）可求线段DE的长，△ABC的面积可求，这样可求△PDE中DE边上的高，可表示P点的纵坐标，代入抛物线解析式求P点横坐标即可．解答：解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），∵直线AB经过A（﹣6，0），B（0，﹣8），
∴由此可得解得∴直线AB的函数表达式为y=﹣x﹣8．（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得，∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∴半径MA=5，设抛物线的对称轴交x轴于点N，∵MN⊥x，∴由垂径定理，得AN=ON=OA=3．在Rt△AMN中，，∴CN=MC﹣MN=5﹣4=1，∴顶点C的坐标为（﹣3，1），设抛物线的表达式为y=a（x+3）2+1，∵它经过B（0，﹣8），∴把x=0，y=﹣8代入上式，得﹣8=a（0+3）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线的表达式为y=﹣（x+3）2+1=﹣x2﹣6x﹣8．（3）如图，连接AC，BC，S△ABC=S△AMC+S△BMC=•MC•AN+MC•ON=×5×3+×5×3=15．在抛物线y=﹣x2﹣6x﹣8中，设y=0，则﹣x2﹣6x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4．∴D，E的坐标分别是（﹣4，0），（﹣2，0），∴DE=2；设在抛物线上存在点P（x，y），使得S△PDE=S△ABC=×15=1，则S△PDE=•DE•|y|=×2×|y|=1，∴y=±1，当y=1时，﹣x2﹣6x﹣8=1，解得x1=x2=﹣3，∴P1（﹣3，1）；当y=﹣1时，﹣x2﹣6x﹣8=﹣1，解得x1=﹣3+，x2=﹣3﹣，∴P2（﹣3+，﹣1），P3（﹣3﹣，﹣1）．综上所述，这样的P点存在，且有三个，P1（﹣3，1），P2（﹣3+，﹣1），P3（﹣3﹣，﹣1）．
点评：本题主要考查方程、函数、三角形、圆等基础知识，考查综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力，考查待定系数法、数形结合、方程与函数的思想方法．14、如图，O为坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数（k＞0）的图象上的一点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m），△OPA的面积为S，且．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）若已知k=2，请问OP2是否有最小值？若有，请求出OP2的最小值；若没有，请说明理由．考点：反比例函数综合题。分析：（1）当n=1时，根据三角形的面积即可求得a的值，从而写出点A的坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到m=n，OA=2n．再根据三角形的面积得到关于k的方程，求解；（3）根据k=2，得n=，再根据勾股定理用m表示OP2，利用配方法求得其最小值．解答：解：（1）n=1时，S=an=a=，所以a=，所以A（，0）．（2分）（2）∵OP=AP，∠OPA=90°，∴△OPA为等腰直角三角形．∴OA=2n，m=n，∴S=2nn=n2，∴n2=1+（4分），∵mn=k，∴n2=k，得k=1+，k2﹣4k+4=0，（5分）∴k=2；（6分）
（3）∵n=，∴OP2=m2+n2=m2+（7分）=．（8分）当m﹣=0时，OP2有最小值，最小值是4．（9分）点评：此题综合考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式、勾股定理以及配方法．15、（2003•福州）已知：如图，二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）令二次函数解析式中x=0，可得出C点坐标，令y=0，可得出A、B的坐标．（2）由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本题可分两种情况进行讨论：①当△PDB∽△COB时；②当△PDB∽△BOC时；可根据不同的相似三角形得出的不同的对应线段成比例来求出DP的长，即可表示出P点的坐标．（3）若四边形ABPQ为平行四边形，那么Q点的坐标可有P点坐标向左平移AB个单位来得出，然后将Q点坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值．解答：解：（1）令y=0得2x2﹣2=0解得x=±1，点A为（﹣1，0），点B为（1，0），令x=0，得y=﹣2，所以点C为（0，﹣2），（2）＜1＞当△PDB∽△COB时，有，∵BD=m﹣1，OC=2，OB=1，∴=，∴PD=2（m﹣1），∴P1（m，2m﹣2）．（2）当△PDB∽△BOC时，，∵OB=1，BD=m﹣1，OC=2，∴=，PD=，∴P2（m，﹣）．（3）假设抛物线y=2x2﹣2上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，∴PQ=AB=2，点Q的横坐标为m﹣2．当点P1为（m，2m﹣2）时，点Q1的坐标是（m﹣2，2m﹣2）（9分）
∵点Q1在抛物线y=2x2﹣2图象上，∴2m﹣2=2（m﹣2）2﹣2，m﹣1=m2﹣4m+4﹣1，m2﹣5m+4=0，m1=1（舍去），m2=4．当点P2为（m，﹣）时，点Q2的坐标是（m﹣2，﹣），∵Q2在抛物线y=2x2﹣2图象上，∴﹣=2（m﹣2）2﹣2，m﹣1=4（m﹣2）2﹣4m﹣1，=4m2﹣16m+16﹣44m2﹣17m+13=0（m﹣1）（4m﹣13）=0，∴m3=1（舍去），m4=，∴m的值为4、．点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识．16、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．考点：菱形的判定；正方形的判定。专题：证明题；探究型。分析：（1）探究问题，也就是证明问题，可以先假设，题中OE，OF可通过平行线，角平分线确定二者之间的关系．（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形．（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．解答：（1）证明：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∵OE=OC，OC=OF∴OE=OF．∵MN∥BC∴∠OEC=∠BCE∴∠OFC=∠FCD∵∠BCE=∠OCE（OE是∠BCA的内角平分线）∴∠OEC=∠OCE∴OE=OC∵∠OCF=∠FCD（OF是∠BCA的外角平分线）∴∠OCF=∠OFC∴OF=OC∴OE=OF（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，
∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．点评：熟练掌握菱形及正方形的性质及判定定理，能够解决一些简单的运动问题．17、（2010•锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．（3）本题要分三种情况进行讨论：①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．解答：解：（1）∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x﹣4）（x+2）=0．∴x1=4，x2=﹣2．∴A（4，0），B（﹣2，0）．又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∴．∴．∴所求抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．
（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．∵点B坐标为（﹣2，0），点A坐标（4，0），∴AB=6，BP=m+2．∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．∴=．∴=∴EG=．∴S△CPE=S△CBP﹣S△EBP=BP•CO﹣BP•EG∴S△CPE=（m+2）（4﹣）=﹣m2+m+．∴S△CPE=﹣（m﹣1）2+3．又∵﹣2≤m≤4，∴当m=1时，S△CPE有最大值3．此时P点的坐标为（1，0）．（3）存在Q点，其坐标为Q1（1，1），Q2（1，），Q3（1，﹣），Q4（1，4+），Q5（1，4﹣）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．18、已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形． △OAD∽△CDB ， △ADB∽△ECB ；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示） （1，﹣4a） ；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。专题：综合题。
分析：（1）由圆周角定理知：∠ADB=90°，首先可联想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一对相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；（2）①用公式法或配方法均能求出顶点B的坐标；②根据抛物线的解析式，易求得B、D、A的坐标，也就得到了OA、OD、CD、BC的长，根据（1）得出的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a的值，也就能求出抛物线的解析式；③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN与△OAD相似，则△PAN也必须是等腰Rt△；可根据抛物线的解析式设出P点坐标，然后根据PN=AN的条件来求出P点的坐标．（注意P点横坐标的取值范围）解答：解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（4分）（2）①（1，﹣4a）（5分）②∵△OAD∽△CDB∴（6分）∵ax2﹣2ax﹣3a=0，可得A（3，0）（8分）又OC=﹣4a，OD=﹣3a，CD=﹣a，CB=1，∴∴a2=1，∵a＜0，∴a=﹣1；故抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3（10分）③存在，（11分）设P（x，﹣x2+2x+3）∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形∴PN=AN当x＜0（x＜﹣1）时，﹣x+3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=﹣2，x2=3（舍去），∴P（﹣2，﹣5）（13分）当x＞0（x＞3）时，x﹣3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合题意舍去）符合条件的点P为（﹣2，﹣5）．（14分）点评：此题考查了直角梯形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度较大．19、（2009•长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y甲（棵），乙班植树的总量为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．（1）当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式．（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵．（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当x=8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．考点：一次函数的应用。分析：由图可知：（1）甲是正比例函数关系，经过（6，120），乙是一次函数关系经过（0，30）和另一个与甲的交点；（2）代入函数式求出y值就知道了；（3）相差20棵有两种情况，可以是甲比乙多，也可以是乙比甲多．解答：解：（1）设y甲=k1x，把（6，120）代入，得k1=20，∴y甲=20x．当x=3时，y甲=60．设y乙=k2x+b，把（0，30），（3，60）代入，
得，解得∴y乙=10x+30．（3分）（2）当x=8时，y甲=8×20=160，y乙=8×10+30=110．∵160+110=270＞260270＞260∴当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵．（6分）（3）设乙班增加人数后平均每小时植树a棵．当乙班比甲班多植树20棵时，有（6×10+30+2a）﹣20×8=20．解得a=45；当甲班比乙班多植树20棵时，有20×8﹣（6×10+30+2a）=20．解得a=25．所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵．（10分）点评：（1）读懂图象信息，用待定系数法求函数解析式．（2）植树总量相差20棵要分：甲比乙多和乙比甲多两种情况讨论．此问学生可能考虑不全．20、（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．解答：解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m．（1分）∴m=1．（2分）设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．（3分）∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．（4分）∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（5分）（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．∴PE=h=yP﹣yE（6分）=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）（7分）=﹣x2+3x．（8分）即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（9分）
（3）存在．（10分）解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．（11分）∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．（12分）解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）（13分）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．（14分）解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．（11分）设直线CE的函数关系式为y=x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．（12分）解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．点评：此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．21、（2005•连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+与双曲线y=（m＞0）的交点．（1）求m和k的值；（2）设双曲线y=（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=AB，写出你的探究过程和结论．考点：反比例函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）由题意易知点A横坐标为1，代入Y=，可用含m的代数式表示它的纵坐标；同理可表示点B坐标，再代入方程组即可求m和k的值；（2）用反证法证明．假设存在，运用一元二次方程判别式即可解出．解答：解：（1）∵A，B在双曲线y=（m＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，∴A，B的坐标分别（1，m），（2m，）．（1分）
又点A，B在直线y=kx+上，∴（2分）解得或（4分）当k=﹣4且m=时，点A，B的坐标都是（1，，不合题意，应舍去；当k=﹣且m=4时，点A，B的坐标分别为（1，4），（8，，符合题意．∴k=﹣且m=4．（5分）（2）假设存在点P使得MN=AB．∵AC∥y轴，MP∥y轴，∴AC∥MP，∴∠PMN=∠CAB，∴Rt△ACB∽Rt△MPN，∴，（7分）设点P坐标为P（x，）（1＜x＜8），∴M点坐标为M（x，﹣x+），∴MP=﹣．又∵AC=4﹣，∴，即2x2﹣11x+16=0（※）（9分）∵△=（﹣11）2﹣4×2×16=﹣7＜0．∴方程（※）无实数根．∴不存在点P使得MN=AB．（10分）点评：此题难度中等，考查反比例函数的性质及坐标意义．解答此题时同学们要注意运用数形结合的思想．22、（2009•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知抛物线过C（0，﹣2）点，那么c=﹣2；根据对称轴为x=﹣1，因此﹣=﹣
1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式．（2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点．可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据得出的一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标．（3）△PDE的面积=△OAC的面积﹣△PDC的面积﹣△ODE的面积﹣△AEP的面积三角形OAC中，已知了A，C的坐标，可求出三角形OAC的面积．三角形PDC中，以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出三角形PDC的面积．三角形ODE中，可先用m表示出OD的长，然后根据三角形ODE与三角形OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出三角形ODE的面积．三角形PEA中，以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出三角形PEA的面积．由此可表示出三角形ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式．然后根据函数的性质求出三角形的最大面积以及对应的m的值．解答：解：（1）由题意得，解得，∴此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．（2）连接AC、BC．因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P．设直线AC的表达式为y=kx+b，则，解得，∴此直线的表达式为y=﹣x﹣2，把x=﹣1代入得y=﹣∴P点的坐标为（﹣1，﹣）．（3）S存在最大值，理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．∴△OED∽△OAC．∴，即，∴OE=3﹣m，OA=3，AE=m，
∴S=S△OAC﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD=×3×2﹣×（3﹣m）×（2﹣m）﹣×m×﹣×m×1=﹣m2+m=﹣（m﹣1）2+∵∴当m=1时，S最大=．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似等重要知识点；（3）中无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过“和，差”的关系来求出其面积．23、（2008•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知抛物线的顶点坐标就可以利用顶点式求函数的解析式．（2）AB是圆的直径，因而∠ADB=∠AEB=90°，得到PN∥AD，得到=，同理=，这样就可以求出的值．（3）易证△AEB为等腰直角三角形，过点P作PH⊥BE与H，四边形PHEM是矩形，易证△APM∽△PBH，则，再证明△MEP∽△EGF，则因而可证．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3（1分）将A（﹣1，0）代入：0=a（﹣1﹣1）2﹣3，解得a=（2分）所以，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣x﹣（3分）（2）是定值，=1（4分）∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，所以①同理：②（5分）①+②：（6分）（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB，∴EA=EB，∵∠AEB=90°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）如图，过点P作PH⊥BE与H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．∴PH=ME且PH∥ME．在△APM和△PBH中，∵∠AMP=∠PBH=90°，∠EAB=∠BPH=45°，∴PH=BH，且△APM∽△PBH，∴，∴①（8分）在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°，∵∠MEP+∠SEG=90°，∴∠FGE=∠MEP，∵∠PME=∠FEG=90°，∴△MEP∽△EGF，∴②由①、②知：（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及相似三角形的对应边的比相等．24、（2009•武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？考点：二次函数的应用。专题：综合题。分析：（1）根据题意可知y与x的函数关系式．（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．解答：解：（1）由题意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．25、某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如下图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？考点：反比例函数的应用。专题：跨学科。分析：（1）设v与F之间的函数关系是为v=，把（3000，20）代入即可；（2）当F=1200牛时，求出v即可；（3）计算出v=30时的F值，F不小于这个值即可．
解答：解：（1）设v与F之间的函数关系是为v=，把（3000，20）代入v=得，P=60000，∴这辆汽车的功率是60000瓦；这一函数的表达式为：；（2）把F=1200牛代入（米/秒）；∴v的速度是3600×50÷1000=180千米/时，（3）把v≤30代入v=得：F≥2000（牛），∴F≥2000牛．点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．26、（2008•黄石）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200170乙店160150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。专题：方案型。分析：（1）首先设甲店B型产品有（70﹣x），乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，列出不等式方程组求解即可；（2）由（1）可得几种不同的分配方案；（3）依题意得出W与a的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．解答：解：依题意，甲店B型产品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，则（1）W=200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=20x+16800．由解得10≤x≤40．（2分）（2）由W=20x+16800≥17560，∴x≥38．∴38≤x≤40，x=38，39，40．∴有三种不同的分配方案．①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．（3）依题意：W=（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=（20﹣a）x+16800．①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大；②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样；
③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．（8分）点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，（1）根据A型、B型产品都能卖完，列出不等式关系式即可求解；（2）由（2）关系式，结合总利润不低于17560元，列不等式解答；（3）根据a的不同取值范围，代入利润关系式解答．27、（2007•济南）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（﹣，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和∠CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：（1）在直角三角形ACO中，根据已知条件可以求得OA，AC的长，再根据勾股定理求得OC的长，根据锐角三角函数的概念求得∠CAO的度数；（2）要求反比例函数的表达式，需要求得点D的坐标．作DE⊥x轴于点E，根据对顶角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的长，根据三角形的外角的性质可以求得∠ADO=30°．则OD=OA．从而求得OE，DE的长，再根据点D的坐标求得反比例函数的表达式．解答：解：（1）∵∠AOC=90°，∴AC是⊙B的直径．∴AC=2．又∵点A的坐标为（﹣，0），∴OA=．∴．∴sin∠CAO=．∴∠CAO=30°；（2）如图，连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E，∵OD为⊙B的切线，∴OB⊥OD．∴∠BOD=90°．∵AB=OB，∴∠AOB=∠OAB=30°．∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．在△AOD中，∠ODA=180°﹣120°﹣30°=30°=∠OAD．∴OD=OA=．在Rt△DOE中，∠DOE=180°﹣120°=60°，∴OE=OD•cos60°=OD=，ED=OD•sin60°=．∴点D的坐标为．设过D点的反比例函数的表达式为，∴．∴．
点评：此题主要是运用了30度的直角三角形的性质、切线的性质和等腰三角形的判定和性质，综合性较强，同学们要重点掌握．28、已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD的边AD上一点并且不与点A、D重合，MN是线段BP的垂直平分线，与AB、BP、CD分别交于点M、O、N，设AP=x．（1）求BM（结果用含有x的代数式表示）；（2）请你判断四边形MNCB的面积是否有最小值？若有最小值，求出使其面积取得最小值时的x的值并求出面积的最小值；若没有最小值，说明你的理由．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。分析：（1）首先由正方形的性质与线段垂直平分线的性质求得BP与OB的值，又由∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，易得Rt△BOM∽Rt△BAP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BM的长；（2）首先作NE⊥AB于E，由（1）可得Rt△BOM∽Rt△BAP，则可证得：Rt△MNE≌Rt△PBA，即可求得CN的值，求得四边形MNCB的最大值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，MN是PB的垂直平分线，∴∠A=90°，∠MOB=90°，OB=，∴，OB=，又∵∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，∴Rt△BOM∽Rt△BAP．∴，即MB•AB=OB•PB，∴4MB=•=，∴．（2）四边形MNCB的面积有最小值．作NE⊥AB于E，则∠MEN=∠BEN=90°=∠A，NE=BC=BA=4，由（1）知Rt△BOM∽Rt△BAP，∴∠NME=∠APB，∴Rt△MNE≌Rt△PBA，∴ME=PA=x，∴CN=BE=MB﹣ME=x2﹣x+2，
∴S四边形MNCB=（CN+MB）•NE=[（x2﹣x+2）+（x2+2）]•4=（x﹣2）2+6，∴当x=2时，四边形MNCB的面积有最小值6．点评：本小题主要考查运用三角形相似解决相关的问题的能力与数形结合的能力以及运算能力．此题属综合性题目，属较难的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．三、填空题（共2小题）29、如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积= 100π ．考点：切线的性质。分析：连接OB，由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF2=CD2+DF2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面积S△EBC=S△OEB+S△OBC求得⊙O半径，求出面积．解答：解：连接OB，由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；由BE：EA=5：3，设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF2=CD2+DF2，即CF2=（8x）2+（CF﹣4x）2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，EB2+BC2=EC2，即（5x）2+（10x）2=152，解得：x=3，则BE=15，BC=30．再由S△EBC=S△OEB+S△OBC，则×BE×BC=×BE×r+×BC×r，解得：r=10；则⊙O的面积为πr2=100π．点评：本题考查了切线的性质及勾股定理的应用，难度稍大，解题时要理清思路．30、（2010•温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于 27+13 ．考点：勾股定理的证明。分析：在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．解答：解：延长BA交QR与点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．AC=AB•cos30°=4×=2．则QH=HA=HG=AC=2．在直角△HMA中HM=AH•sin60°=2×=3．AM=HA•cos60°=．在直角△AMR中MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR•=7+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13．故答案为：27+13．
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记