天天资源网 / 初中数学 / 中考模拟 / [中考]中考数学专题讲解汇总
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中考数学专题1动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从3点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点岀发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为/（秒）・（1）当MN//AB时，求/的值；（2）试探究：/为何值时，△MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得岀结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到/秒时，如图①，过D作DE//AB交BC于E点、,则四边形ABED是平行四边形.•・•AB//DE,AB//MN.・・・DE//MN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）.MCNC'~EC~~CD（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）10-2r10-3~5*【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN二NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MN=NC时，如图②作7VF丄BC交BC于F,则有MC=2FCB|J.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）sinZC=—CD
・・・10-2/=2x—,5解得/=—.8②当MN=MC时，如图③，过M作丄CD于H.则CN=2CH,z3f=2(10-2r)x-.・60■=——•17③当=时，则10-2r=r.10t=—•3综上所述，当Z=—＞冬或巴时，△M/VC为等腰三角形.8173【例2】在AABC中，ZACB二45°.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在M)的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.(2)如果ABHAC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设2=4迥,BC二3,CD二兀，求线段CP的长.(用含兀的式子表示)FC【思路分析11本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：・・・AB二AC,ZACB=45°,/.ZABC=45°.由正方形ADEF得AD二AF,VZDAF=ZBAC=90°,・•・ZDAB=ZFAC,・・・ADAB^AFAC,ZACF=ZABD.AZBCF=ZACB+ZACF=90°.即CF丄BD・【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。(2)CF丄BD.(1)中结论成立.理由是：过点A作AG丄AC交BC于点G,・・・AOAG可证：△GAD9ACAF・・・ZACF=ZAGDM5°ZBCF二ZACB+ZACF二90°.即CE±BD——/厂ct)U【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是术一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-Xo分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点A作AQ丄BC交CB的延长线于点Q,①点D在线段BC上运动时，TZBCA二45°,可求出AQ二CQ二4.AF易证△AQD^ADCP,=DQAQDQ二4-x,.CPx••—4-x4x2•••CP=+x.4②点D在线段BC延长线上运动时，VZBCA=45°,可求出AQ二CQ二4,ADQ二4+x・AAAQD^ADCP,・••竺=££过A作AG丄AC交CB延长线于点G,则44GD三4ACF.・・・CF丄BD,.CPx•=9DQAQ4+兀4x・•・cP=——+x.4【例3］已知如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点，MBC是等边三角形.(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且ZMPQ=60。保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与兀的【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究
在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定ZMPQ二60°,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来•因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯•于是就有了思路.【解析】(1)证明：是等边三角形MB=MC,ZMBC=ZMCB=60°•・・M是AD中点・•・AM=MD・・•AD//BC:.ZAMB=ZMBC=60°,ZDMC=ZMCB=60°:./\AMB^/\DMC:.AB=DC・・・梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等边ZXMBC中，MB=MC=BC=4,ZMBC=ZMCB=60°,ZMPQ=60°ZBMP十ZBPM=ZBPM+ZQPC=120°(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)・・・ZBMP=ZQPC・・・5BMPsMQP・PC二CQ・兀_4—y••——44-x•:PC=x,MQ=y・・・BP=4—x,QC=4-yy=—x~-•%+44(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求岀当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求APQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。(3)解：WQC为直角三角形19y=-(x-2)+3・••当y取最小值时，x=PC=2・・・P是BC的中点，MP丄BC,而ZMPQ=60°,.-.ZCPO=30°,・・・ZPQC=9Q°
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中ABEF绕3点逆时针旋转45。，如图2所示，取DF中点G,连接EG,CG,・你在(1)中得到的结论是否发生变化？写岀你的猜想并加以证明.(3)将图1中ABEF绕B点旋转任意角度,如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)【思路分析1］这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将ABEF旋转45。之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形岀现了。(1)CG=EG(2)(1)中结论没有发生变化，即CG=EG.证明：连接AG,过G点作MN丄AD于M,与EF的延长线交于N点.在ADAG与ADCG中，・.・AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,:.\DAG竺\DCG.・・・AG=CG.在\DMG与AFNG中，•・•ZDGM=ZFGN,FG=DG,乙MDG=ZNFG,:.ADMG仝'FNG.・•・MG=NG在矩形AENM中，AM=EN在Rt/^AMG与R心ENG中，・・•AM=EN,MG=NG,・•・AAMG竺'ENG.・•・AG=EG.・•・EG=CG
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中ABEF绕3点逆时针旋转45。，如图2所示，取DF中点G,连接EG,CG,・你在(1)中得到的结论是否发生变化？写岀你的猜想并加以证明.(3)将图1中ABEF绕B点旋转任意角度,如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)【思路分析1］这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将ABEF旋转45。之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形岀现了。(1)CG=EG(2)(1)中结论没有发生变化，即CG=EG.证明：连接AG,过G点作MN丄AD于M,与EF的延长线交于N点.在ADAG与ADCG中，・.・AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,:.\DAG竺\DCG.・・・AG=CG.在\DMG与AFNG中，•・•ZDGM=ZFGN,FG=DG,乙MDG=ZNFG,:.ADMG仝'FNG.・•・MG=NG在矩形AENM中，AM=EN在Rt/^AMG与R心ENG中，・・•AM=EN,MG=NG,・•・AAMG竺'ENG.・•・AG=EG.・•・EG=CG
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答岀仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果ABEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在ABEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE二EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。(1)(1)'P的结论仍然成立.A【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,将AABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.BE(1)当——二1时，CF二cm,CEBE(2)当—=2时，求sinZDAB'的值；CERF(3)当韭二x时(点C与点E不重合)，请写出AABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关CE系式，(只要写出结论，不要解题过程).【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷
的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中,角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。RFADTAB//CF,•••AABE^AFCE,.•-'一・BFT一2,二CF-3.CECEFC・・•AB〃CF,AZBAE=ZF.又ZBAE=ZBzAE,化ZBZAE=ZF.AMA二MF.(1)CF=6cm；(延长之后一眼看出，EAZY)(2)①如图1,当点E在BC上时，延长AB'交DC于点M,设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.在RtAADM中，由勾股定理得：图1心-如，解得+字.•(设元求解是这类题型中比较重要的方法)siSB，=鬻②如图2,当点E在BC延长线上时，延反AD交B‘E于点N,同①可得NA=NE.设NA=NE=ni,则B‘N=12-m.在RtAAB^N屮，由勾股定理，得m：=(12-m)2+6',解得m=AN=—.29・・・B‘N二一.2・•・sinZDAB，=7V=I(3)①当点E在BC上时,18xy~7+7AR图2(所求AAB，E的面积即为AABE的面积，再由相似表示②当点E在BC延长线上时，y=18x~18.x出边长)【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望考生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决，就很轻松了.为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论,
只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1】已知：如图(1),射线AM//射线BW,AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动(点D与点人不重合、点C与点B不重合)，E是AB边上的动点(点E与4、B不重合)，在运动过程中始终保持DE丄EC,HAD^-DE=AB=a.(1)求证：AADE-\BEC；(2)如图(2),当点E为4B边的中点时，求证：AD+BC=CD；(3)设AE=m，请探究：4BEC的周长是否与加值有关？若有关，请用含有加的代数式表示ABEC的周长；若无关，请说明理由.ADBC第25题(1)ADMBCN第25题(2)【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】力是等边三角形，“为平面内的一个动点，BP二BA,若0°0)的图象经过点4(1,6),x可得加=6.设直线AB的解析式为y=kx+b.・・・4(1,6),B(6,l)两点在函数y=kx+b的图彖上,k=\,6k+b=Lb=7.:.直线AB的解析式为j=-x+7.解得(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是—3【思考2解析】m(1)把x=-39y=l代入y=—，得：m=-3.x3•••反比例函数的解析式为y=--.x33把兀=2,y=n代入y=——得〃=——•x2把兀=一3,y=1；兀=2,y=-—分别代入2—3k+b=1y=/a+b^^RtA£A£>.ADAE小・•・——=——=2.
CDCO
【思考3解析】解：(I)•・•kx2+(2k—3)x+k—3=0是关于x的一元二次方程.•••△二(2£-3)2-4£伙一3)=9由求根公式，得X:J3—gp3(II)T£V0,/•1V—1•k3而xx>x2,X]=—1,x2=——1.紅色一1)=1一3&+伉由题意,・・・一次函数的解析式为y=-16x-8,反比例函数的解析式为y.x【思考4解析】(1)由题意,设B(2a,a)(aH0),则a=——/.a=±2.2a•・・B在第一彖限，・・・a=2.B(4,2)・・・矩形OABC对角线的交点E为(2,1)(2)•・•直线y=2x+m平分矩形OABC必过点(2,1)I=2x2+mm=~3专题3・归纳与猜想一、知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：
（1）比较2/与%2+1的大小①当x=2时，2xx2+1；②当x=l时，2xx2+1；③当x=—1吋，2x2+1.（2）可以推测：当x収任意实数时，2x2+1.分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。解：（1）l)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n,但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n—3。解：S=3n—3o三、拓宽应用例6、⑴如下表：方程1,方程2,方程3,……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1,并将它的解填在表中的空白处：序号方程方程的解16-1=1xx-2曲=左=■28-1=1兀x-3X]=4兀2=63101.二1xx-4X|—5x2=8••••••••••••⑵若方程匚-百=l(d>b丿的解是召=6,勺=1°,求“b的值，该方程是不是⑴中所给岀的-列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。分析：通过解方程不难求岀：xi=3,x2=4,将州=6,x2=10代入方程易求a=j2,b=50木题饺难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。解：(1)解方程=1得,Xi=3,x-2=4；xx-2
(1)将西=6X。=10代入方程纟=\(a>b)f易求得a=12,b=5；'xx-b(2)第n个方程是：""+2)!——=i,它的解是：坷二斤+2,1=2(〃+1)。xx-(n+l)
例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直放行上的边长均为b）：•在图1中，将线段A"?向右平移1个单位到目场，得到封闭图形AA（即阴影部分）•在图2中，将折线44^3向右平移1个单位到B.B2B3，得到封闭图形b3b2b.（即阴影部分）A2B2A1B1A3B3（图1）（图2）（图3）⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：；S3=⑶联想与探索：如图4,在一块矩形草地上，有一条弯彩的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想彖。（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a-l,b,这样面积就不Sj=ab一b；S2=ab--b；S3=ab一b;（3）空白部分表示的草地面积是ab-bo（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a-l,b）例8、阅读下列材料，按要求解答问题。⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：ZA二2ZB。我们由此出发来进行思考。在图a屮，作斜边上bh的高CD，由于ZB二30。,可知c二2b，ZACD二30°,于是AD二一，BD=c——,由厶CDB^AACB2一即a2=cBDIhI理b2=cADa2图b-b2=c(BD-AD)=c(c--)--=c(c-b)=c(2b-b)=bc.22
对于图b由勾股定理有a2=b2+c2,由于b二c,故也有a2-b2=bc,这两块三角尺都具有性质a2-h2=hc,在AABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：如图c,在Z\ABC中，若ZCAB二2ZABC,则a2-b2=bc,在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（）①分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。⑵这个猜测是否正确？请证明。分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。解：（1）③；（2）猜测是正确的。证明：延长BA到D,使AD=AC=b,连结CD,则ZACD=ZADC,・・・ZBAC=ZACD+ZADC,ZBAC=2ZADCVZBAC=2ZABCZABC=ZADC,且BC=CD=a,AAACD^ACBDCa2-b2-be想一想：还有其他证明方法吗?四、巩固训练1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数:J_2625To17372、观察下列图形并填表。12梯形的个数123456n周长5811143、下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n22）个棋子，每个图案的棋子总数为S,按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子来表示。n=2••••S=4n=3・・・・•・S二8n=4S=12n=5S=164、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括-号内打“J”，不成立的打“X”
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5④心§24⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围:⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性05、已知AC、AB是00的弦，AB>ACo（1）如图9,能否在AB上确定一个点E,使AC2=AE-AB,为什么？（2）如图10,在条件（1）的结论下延长EC到P,连结PB。如果PB二PE,试判断PB和—,2、17,20,2+3n3、4n-426（2）PB是的切线（证明略）5、（1）能，连结BC,作ZACE=ZBo（证明略）（3）是。（提示:利用切割线定理和PE二PB、PD二2PE）。专题4・几何探索题巡视探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。一、实验型探索题例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1,在AABC中，AB=AC,把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。图1问题提岀：任意给定一个正n边形，你能把它的而积m等分吗？探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2（1））,这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如
图2（2）,这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2（3））,这样就能把这个正三角形的而积4等分了。（1）（2）⑶图2（1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。A图3（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。（3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的而积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？AD图4（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）Ai图5分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从屮领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。解：（1）先连接正三角形的屮心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3
图4（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）Ai图5分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从屮领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。解：（1）先连接正三角形的屮心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3
个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积ni等分了。理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等,即把正三角形的而积m等分。（3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积hi等分了。（4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的而积m等分了。二、操作型探索题例2.已知线段AC=8,BD=6o（1）已知线段AC丄BD于0（0不与A、B、C、D四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形ABCD的面积分别为,、S2、S3,则S】=,S2=,S3=；D图6D重合）的任意情形，请你就（2）如图6（4）,对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足0不与点A、B、C、四边形ABCD而积的大小提岀猜想，并证明你的结论；（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的而积是多少。分析：题（1）实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（2）是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。解：（1）242424（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足0不与点A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下：显然，S四边形ABCD=（3）所围成的封闭图形的面积仍为24。三、观察猜想型探索题例3.（山西省）如图7,正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。
(2)图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。解：(1)BE=DG,证明如下：在RtABCE和RtADCG中，BC=CD,CE=CG,AABCE^ADCGo故BE=DG。(2)将RtABCE绕点C顺时针旋转90°,可与RtADCG重合。四、图形计数型探索题例4.如图8,在图(1)中，互不重叠的三角形有4个，在图(2)中，互不重叠的三角形有7个，在图(3)中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图(n)中互不重叠的三角形有个(用含n的代数式表示)。分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。解：图(1)：1+1X3=4；图(2)：1+2X3=7；图(3)：1+3X3=10。所以图(n)中有l+3n个互不重叠的三角形，应填3n+L五、其他类型探索题例5.如图9,已知AC、AB是00的弦,AB>ACo(1)(2)图9(1)在图9(1)中，判断能否在AB上确定一点E,使得AC2=AE・AB,并说明理由；(2)在图9(2)中，在条件(1)的结论下，延长EC到P。连接PB,如果PB=PE，试判断PB和的位置关系，并说明理由。分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题(1)是作出满足线段关系式的图形，题(2)是判断图形中的一些线段的相互关系。CC
解：(1)作法有多种，这里举一例。如图10,在00上取点D,使AD=AC,连接CD交AB于点E,则有AC2=AE・AB。连接BC,显然△ACE^AABC,则AB：AC=AC：AE,故AC2=AE・AB。
（2）如图11,过点B作G>0的直径BF,连接CF、BC。可以证明ZPBC+ZFBC=90°,即PB丄BF。所以PB是00的切线。专题5・几何应用题几何应用问题是近几年來中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类:（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽彖出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题吋应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。一、三角形在实际问题中的应用例1.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ZACB二90°,AC=80米，BC-60米。（1）若入口E在边AB上，且A,B等距离，求从入口E到岀口C的最短路线的长；（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时,此水渠的造价最低？最低造价是多少？分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价儿个概念。1.E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路线即为线段CE。水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是RtAABC斜边上的中线CE。RtAABC中，AB=VAC2+BC2=^802+602=100（米）。・・・CE二丄AB二-X100=50（米）。22即从入口E到岀口C的最短路线的长为50米。
（3）当CD是RtAABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。ICD•AB二AC•BC,・•・CD二八"•肚=6（）xS（）=48（米）。AB100/.AD=VaC2-CD2=a/802-482=64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为48x10=480元。例2.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1,图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
分析：本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。解：由AB二1.5米,Saabc=1.5平方米，得BC二2米.设甲加工的桌而边长为x米，VDE//AB,RtACDE^RtACBA,即士工二丄，解得*仝。如图，过点B作RtAABC斜边AC的高BH,交DE于1）,并AC于H。CBAB21.57由AB=1.5米,BC=2米，SAabc=1.5平方米,C=2.5米,BII=1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，VDE//AC,RtABDE-RtABAC,.-.-^-=2£,即H二丄，解得J=因为@＞巴，即天＞八”＞于，所以甲BHAC1.22.537737B同学的加工方法符合要求。二、几何设计问题例3.在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得ZC=90°,AB=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在的边上,且扇形与△/!位、的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找岀圆心和半径，分类时应考虑到所有情况,可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后排除相同情况。解：可以设计如下四种方案：
A例4•小明家有-块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形
或四边形不限）。方案一方案二方案三方案四
分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质来考虑。三、折线运动问题例5.如图，客轮沿折线A-B—C从弭出发经〃再到Q匀速航行，货轮从的中点〃出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折线上的某点Q处.己知AB=BC=200海里，ZABC-90。,客轮速度是货轮速度的2倍.（1）选择：两船相遇之处E点在（）・（A）线段M上（B）线段力上（C）可以在线段M上，也可以在线段比上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB二2DE,当E不是中点时，AB〈2DE,所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE解：（1）B（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里.过〃作DFICB,垂足为尸，连结加.则DE-x,AB+BB2x.•・•在等腰直角三角形肋C中，AB=BC=200,〃是M中点，・•・％、=100,A?=300-2x・在Rt△处中，DE2=DF2+EF2,:.x2=1002+（300-2%）2D.解之，得兀=200土処@・3•••200+10°^>200,3答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200-型海里.四、综合类几何应用
例6•如图1,公路MN和公路PQ在点P处交汇，且ZQPN=30",点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的吋间为多少秒？分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题要判断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN的距离AB,当此ABW100米时就要受到噪声影响；第二个问题只需要噪声影响路段的长度，一…，能求出受影响的时间。解：过点A作AB丄MN,垂足为B在RtAABP中：ZAPB=ZQPN=30°AP二160米则AB=-AP=80米，所以2学校会受到噪声影响。D两点，在RtAABC中：AC二100米，AB二80米以A为圆心，100米为半径作OA,交MN于C、则：BC=^Iac若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数关系式；要使围成的圆形场地的半径为10米，至少需要买儿块这样的帆布缝制围墙？分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。解：（1）6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为6X5—5X0.1=29.5（米）（2）x块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.lx=4.9x,所以y=4.9x（3）要围成半径为10米的圆形场地，则2tiX10=4.9x2（）龙X=4.9要到商店买这样的帆布13块。解儿何应用问题要求我们必须具备扎实的儿何基础知识，较强的阅读理解能力，以及对数学思想方法的常握,只要我们有针对性地复习，就一定能掌握好儿何应用问题的解决方法。练习：1、在生活中需测量一些球（如足球、篮球…）的直径。某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图8,将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射F，得到球的影子加，设光线勿、必分别与球相-ab2=V1OO2-8O2=60（米）・・・CD二2BC二120（米）；・・T8千米/小时二5米/秒・••受影响时间为:120米5米/秒二24（秒）
例7.马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共62.8«12.82（块）
切于点从F,则莎即为球的直径。若测得力〃的长为40cm,ZABC=30°。请你计算出球的直径（精确到1cm）o2、如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东60°方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25巧+25）米，求AB之间的距离。3、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD±,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A,P两点间的距离为X。（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，APCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（图1,图2,图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）AkPArc1DAI1D第一部分真题精讲【例1】已知：如图，肋为O0的直径，0OHAC的中点〃，DELBC于点、E.（1）求证：加为的切线；(2)若DW2,tan^-,求00的直径.
【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，止人怀疑他们是不是串通好了…近年來此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接0D,在AABC中0D就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD±DEo至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出AABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD,从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】(1)证明：联结0D.・・・D为AC中点，0为AB中点,・•・0D为的中位线.・・・0D〃BC.•・•DE丄BC,AZDEC=90°..\Z0DE=ZDEC=90o..・・0D丄DE于点D.・・・DE为00的切线.(2)解：联结DB.JAB为(DO的直径，・・・ZADB二90°.・・・DB丄AC..'.ZCDB二90°.•・•D为AC中点,・・・AB二AC.1/)f在RtADEC屮，DE=2,tanC=-,AEC=-^=4.2tanC(三角函数的意义要记牢)由勾股定理得：DC二2厉.在RtADCB中，BD=DC-tanC=V5.由勾股定理得:BC=5..\AB=BC=5..*.00的直径为5.【例2】已知：如图，DO为\ABC的外接圆，BC为口0的直径，作射线使得84平分ZCBF,过点A作AD1.BF于点D.
(1)求证：04为口0的切线；
(2)若BD=1,tanZBAD=-,求DO的半径.2AA【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题冃中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分ZCBFo看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连0AZ后发现ZABD二ZABC,而0AB构成一个等腰三角形从而ZAB0二ZBA0,自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角ZBAD通过等量关系放在AABC中，从而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明：连接人0・•・・A0=B0,・・・Z2=Z3.■・・BA平分乙CBF,・•・Z1=Z2.・・・Z3=Z1・・・・DB//AO.（得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）•・・AD丄DB,・・・ZBDA=90°.540=90。.・・・A0是00半径，・•・D4为的切线.（2）・・・AD丄DB,BD=1,tanZBAD=-,2•IAD=2.
由勾股定理，得AB=迟.・・・sinZ4二竺.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
・・・BC是＜30直径，・・・ZBAC=90°.・•・ZC+Z2=90°.又・・•Z4+Zl=90°,Z2=Z1,・・・Z4=ZC.(这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB二AB/AC二sinZBAD)在RtAABC中，BC-少-二丄辿一二5.sinCsinZ4・•・DO的半径为丄.2【例3】已知：如图，点D是O0的直径C4延氏线上一点，点B在OO上，且OA=AB=AD.（1）求证：是OO的切线；（2）若点E是劣弧上一点，4E与BC相交于点F,—8,tanZBFA=—,2求OO的半径长.【思路分析】此题条件屮有0A二AB二0D,聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边0D上的屮线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出Z0BD二90°,于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接0B以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与己知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幕定理等纲外内容已经基木不做要求，所以更多的都是利用相似三角形屮借助比例来计算，希望大家认真掌握。【解析】(1)证明：连接OB.•・•OA=AB,OA=OBf・•・OA=AB=OB.:.\ABO是等边三角形.・•・ZBAO=Z1=60°.•・•AB=ADf・•・ZD=Z2=30°.・•・Z1+Z2=90°.・・・DB丄BO.（不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）又・・•点〃在（DO上，・・・DB是OO的切线・（2）解：•・・（％是OO的直径，・•・乙ABC=90°.在ABF中，tanZBFA=^L=^_BF2
\AF=JAB?+BF?=3x・・（设元的思想很重要）AF3・•ZC=ZE,Z3=Z4,\\BFEsMFC..BE_BF_2*AC~AF_3•・•BE=8,\AC=12.・・A0=6.5分【例4】如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=6,AB=8.以BC为直径作口0交A3于点D,交AC于点G,DF丄AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是口O的切线；(2)求sinZE的值・【思路分析】本题和前而略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证0D垂直于EF,但是本题屮并未给0D和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD,利用直径的圆周角是90°,并且AABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。笫二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。【解析】(1)证明：如图，连结CQ,则ZBDC=90°.・•・CD丄AB.
•・・AC=BC,:.AD=BD.・•・D是AB的中点.TO是BC的中点，・・・DO//AC.・・•EF丄AC于F.・・・EF丄DO.・・・£F是DO的切线.(2)连结BG,•.*BC是直径，/.ZBGC=90°=ZCFE・(直径的圆周角都是90°)・•・BG//EF.ECBC设CG=x,贝ijAG=6—x.在RtABGA中，BG2=BC2-CG2.在RtABGC中，BG2=AB2-AG2.(这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法)A62-x2=82-(6-x)2.解得x=~.即CG=~.33在RtABGC中.69【例5】如图，平行四边形力0勿中，以力为圆心，/〃为半径的圆交力〃于尸，交BC于G,延长创交圆于E(1)若勿与。畀相切，试判断⑵与0/1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件不变的情况下，若GC=CD=5,求初的长.【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。
【解析】（1）结论：GD与口0相切证明：连接AG•・•点G、E在圆上，・•・AG=AE•・•四边形ABCD是平行四边形，・•・AD//BC・•・ZB=Zl,Z2=Z3•・•AB=AG:.ZB=Z3AZl=Z2（做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）在MED和\AGDAE=AG•Zl=Z2AD=AD:.\AED竺\AGD:.ZAED=ZAGD・・・£Q与DA相切・•・ZAED=90°AZAGD=90°・・・AG丄DG・•・GD与□A相切（2）•:GC=CD=5f四边形ABCD是平行四边形AAB=DCfZ4=Z5,AB=AG=5•・・AD//BC:.Z4=Z6・•・Z5=Z6=2AZ2=2Z6（很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）・•・Z6=30°AD=10【总结】经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切
点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本
只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题，如图AABC中，AB二AC,点0是BC的中点，❾卩与AB切于点D,求证：3与AC也相切。该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过0做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：如图，厶白內中，AB二AC,0、D将BC三等分，以0B为圆心画求证：与AC相切。本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明0到AC垂线的垂足和A是重合的,这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接A0之后再证明AO=OB,AO±AC,那么就非常严密了。(提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO,B0都用AB表示出来即可证明相等，而厶AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角o)至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。第二部分发散思考【思考1】如图，已知初为(DO的弦，C为00上一点,(1)求证：外〃是O0的切线；A(2)若00的半径为3,/侏4,求初的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单，但是统计下来得分率却很低.因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需耍考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重耍的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。（解法见后）【思考2】已知：如图，〃〃为G>0的弦，过点0作〃〃的平行线，交于点a直线％上一点〃满足小上ACB.（1）判断直线弘与00的位置关系，并证明你的结论;4（2）若00的半径等于4,tanZACB=-,求Q的长.3【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换來证明90°的题冃。重点在于如何利用ZD=ZACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将Z0BD拆分成两个角去证明和为90°o（解法见后）【思考3】已知：如图，在AABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分ZABC交AE于点M,经过B,M两点的00交BC于点G,交AB于点F,FB恰为©0的直径.（1）求证：AE与相切；（2）当i吨时,求。。的半径.【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能己经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此岀法，和我们前面看到的那些题是一个意思。圆,【思考4】如图，等腰△初C中，AC二BC,00为△初C的外接〃为©C上一点，CEVAD于E.
求证：AE=BD+DE.【思路分析】前而的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的冃的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。AE丄CD交DC的延长线【思考5】如图，已知00是AABC的外接圆，AB是。0的直径，D是AB延长线的一点,D目中虽未给出AC评分角公共边，那么很容易发于E,CF丄AB于F,且CE=CE.(1)求证：DE是00的切线；(2)若AB=6,BD=3,求AE和BC的长.【思路分析】乂是一道非常典型的用角证平行的题目。题EAD这样的条件，但是通过给定CE二CF,加上有一个现AEAC和ACAF是全等的。于是问题迎刃而解。笫二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。第三部分思考题解析【思考1解析】1)证明：如图，连接加并延长交于点2连接朋则Z/於90°.・•・Z胡倂Z彷90°.•・•ZE-ZCZC=ZBAD,・・・AEAB-v^BAD=90°.・・・畀〃是(DO的切线.(2)解：由(1)可知ZJ^90°.•・•於2必6,血匸4,BE=Jae2-AB?=2后.ZE=ZC=ZBADyBDIAB,cosZ.BAD=cosZE・・AB_BE…乔一旋*即丄应AD6・12亦••AD=・5【思考2解析】解：(1)直线仞与00相切.
证明：如图3,连结血.-•・•ZOCB^/CBD,Z1二・•・Z2=Z6^A・・•AB//OC,・•・Z2=Z/4.・・・上启上CBD.JOB二OC,:.ZBOC+2X3=180°,•・•ZBOC=2ZA,・•・Z>4+Z3=90o.・・・ZCBD+Z3=90°.・•・Z6^9=90°.・•・直线加与G)O相切.(2)解：・・・乙乍ZACB,tanZACB=-,3•r>4…tanD=—.3在Rt△妙中，Z6^90°,OB=4,tanZ；=-,3/•sin£)=—,OD==5.5sinD・・・CD=OD-OC=\.【思考3解析】1)证明：连结OM,则OM=OB.・・・Z1=Z2・・・・BM平分ZABC・:.Z1=Z3.・・・Z2=Z3.・・・OM//BC.・•・ZAMO=ZAEB.在厶ABC中，AB=AC,AE是角平分线，・・・AE丄BC.・・・ZAEB=90。・・・・ZAMO=90°.:.OM丄AE.:.AE与(DO相切.(2)解：在厶ABC中，AB=AC,4E是角平分线,BE=-BC,ZABC=ZC.2BC=4,cosC=—,
3BE—1,cosZ.ABC=—・3B在AABE中，ZAEB=9Q°f
AB==6.cosZ-ABC设（DO的半径为厂，则AO=6-r.・・・OM//BC,・・・/XAOMABE..OM_AO9，~be~~ab'26解得厂23・・・OO的半径为？・D【思考4解析】证明：如图3,在力厂上截取外/上劭，连结6F、CD.在和△/；》中，AC=BC,ZCAF=ZCBD、AF=BD,・・・/\AC/^/\BCD.:.CF二CD.•・•CELAD于F,・・・EF=DE.:.AE=AF+EF=BD+DE.【思考5解析】证明：（1）连接OC,・・•AE丄CD,CF丄AB.又・・CE=CF,・・・Z1=Z2.・・•OA=OC,・・・Z2=Z3.・・・Z1=Z3.・•・OC//AE・・•・OC丄CD.・・・DE是口Ofi勺切线.
(2)解：・・•AB=6,.・•0B=0C=-AB=3.2在心△OCD+,0C=3,0D=0B+BD=6,・•・ZD=30°.ZC(9D=60°.在RtAADE^,i\D=AB+BD=9,19・・・AE=-AD=-22在AOBC屮，丁ZC0D=60°,OB=OC/•BC=OB=3.
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