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圆方程问题的类型与解法
圆方程问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考试卷，归结起来圆方程问题主
要包括：①求圆的标准方程；②圆的标准方程，一般方程，参数方程之间的关系及运用；③
圆的切线方程问题；④圆的最值问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解
答方法也各不相同。那么在实际处理圆方程问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快
捷准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、圆心在抛物线 =2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及 Y 轴都相切的圆的方程是（ ）
A -x-2y+1=0 B -2x-y+1=0 C -x-2y+ =0 D -2x-y+ =0
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。
【解题思路】运用抛物线的性质，求圆方程的基本方法，结合问题条件求出圆的方程就可得
出选项。
【详细解答】设圆的方程为： +Dx+Ey+F=0， +Dx+Ey+F=0，
+ = ，圆心在抛物线 =2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及 Y 轴
都相切， =2 （- ）， D=-2， 圆的方程为： -2x-y+ =0，
= ，E=-1 D 正确， 选 D。
= ， F=
2、若一三角形的三边所在的直线方程分别为：x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，则能够覆盖此
三角形且面积最小的圆的方程为 ；
【解析】
【知识点】①求圆方程的基本方法；②三角形的定义与性质；③求两条直线交点坐标的基本
方法。
【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法，结合问题条件求出三角形三个顶点的坐
标，从而得到三角形是一个钝角三角形，根据覆盖钝角三角形最小圆是以钝角的对边为直径
的圆就可求出圆的方程。
【详细解答】 由 x+2y-5=0，得 x=1， x+2y-5=0，得 x= 3，y-2=0， 得 x=2， 三角
y-2=0， y=2， x+y-4=0， y=1，x+y-4=0， y=2， 形三个
顶点的坐标分别为 A（1，2），B（3，1），C（2，2）， |AB|= = ，|AC|=
=1，
|BC|= = ， |AB| =5>|AC| +|BC| =1+2=3， ABC 是以 AB 为最大边的钝角
2x
2 2+x y 2 2+x y 2 2+x y 1
4
2 2+x y 1
4
2 2+x y
2 2+x y ⇔ 2)2
D（x+
2)2
E（y+
2 2 4
4
D E F+ − 2x
∴
2
4
D ×
2
E ⇒ ∴ 2 2+x y 1
4
2 2 4
4
D E F+ − 21)2 2
E +（- ⇒ ∴
2 2 4
4
D E F+ − 2
4
D 1
4
∴
⇒ 4 1+ 5 1 0+
1 1+ 2
2 2 2 ∴ ∆三角形， 能够覆盖此三角形且面积最小的圆是以|AB|为直径的圆， 能够覆盖此三角形
且面积最小的圆的方程为： + = 。
3、求以 C（1，3）为圆心，且与直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方程；
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公
式及运用。
【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出圆的半
径 R 得到圆的坐标方程就可得出选项。
【详细解答】设圆的标准方程为： + = ， 圆与直线 3x-4y-7=0 相切，
R= = ， 以 C（1，3）为圆心，且与直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方
程为： + = 。
4、已知圆与 x 轴相切，圆心在直线 3x-y=0 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 ，求圆
的标准方程；
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③直径三角形的定义
与性质。
【解题思路】运用直径三角形的性质，圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合
问题条件得到关于圆心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求
出圆的标准方程。
【详细解答】设圆的标准方程为： + = ， 圆与 x 轴相切，圆心在直线
3x-y=0 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 ， |b|=R， a= 1，
3a-b=0， b= 3，
（ ） +7= ， =9，
圆的标准方程为： + =9 或 + =9。
4、已知圆经过 A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点，求圆的标准方程。
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法。
【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到关于圆
心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。
【详细解答】设圆的标准方程为： + = ， 圆经过 A（5,1）、B(4,4)、C
（1，
⇒ ∴
2)（x- 2 23)2
（y- 5
4
2)（x- 1 2)（y- 3 2R ∴
| 3 1 4 3 7 |
9 16
× − × −
+
16
5
⇒
2)（x- 1 2)（y- 3 256
25
7
2)（x- a 2)b（y- 2R
7 ∴ ⇒ ±
±
| |
1 1
a b−
+
2 2R 2R
∴ 2)（x- 1 2)（y- 3 2)（x+1 2)（y+3
2)（x- a 2)b（y- 2R 3）三点， + = ， a=3， 过 A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点
+ = ， b=2，圆的方程为： + =5。
+ = ， , =5，
『思考问题 1』
（1）【典例 1】是求圆方程的问题，解答这类问题的基本原则是：①如果从条件中容易求出
圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程，则选用圆的标准方程；②如果条件与圆心坐标和
半径没有直接关系，则选用圆的一般方程；
（2）求圆方程常用的方法是：①定义法；②待定系数法；
（3）当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般用定义法，这时只需根据问题条件件求出圆
的半径，问题就可以解决；
（4）当圆心坐标、圆的半径都没有给出求圆的标准方程一般用待定系数法，这时需要根据
问题条件，求出圆心坐标和圆的半径才能解决问题；
（5）待定系数法求圆方程的基本方法是：①根据题意选择圆的标准方程或一般方程；②根
据问题条件列出关于圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项的方程组；③ 解方程组求出
圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项；④ 把求出的结果代入假设式；
（6）求圆方程时常用的有关圆的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆
心在圆任一弦的垂直平分线线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点在同一直线上；
④圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形。
〔练习 1〕解答下列问题：
1、求圆心 M 在 Y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的标准方程；
2、已知圆的圆心在原点，且与直线 4x+3y-70=0 相切，求圆的标准方程；
3、已知圆的半径为 ，圆心在直线 y=2x 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 ，求圆
的标准方程。
4、求过直线 2x+y+4=0 和圆 +2x-4y+1=0 的交点，且面积最小的圆的方程；
5、求过圆 +2x-4y+1=0 和圆 +2x-6y-4=0 交点，且与直线 2x-y+4=0 相切的圆的
方程。
【典例 2】解答下列问题：
1、已知一曲线是到两个定点 O(0，0)，A（3，0）的距离之比为 的点的轨迹，求该曲线的
方程，若曲线是圆，求出圆的半径和圆心坐标。
【解析】
【知识点】①点轨迹方程的定义与求法；②圆一般方程化标准方程的基本方法。
【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件求出曲线的方程，根据圆一般方
程化标准方程的基本方法把圆方程化成圆的标准方程，就可求出圆心坐标和圆的半径。
【详细解答】设动点 P（x，y）， |PO|= ，|PA|= ， = ，
∴ 2)（5- a 2)（1- b 2R ⇒ ∴
2)（4- a 2)（4- b 2R 2)（x- 3 2)（y- 2
2)（1- a 2)（3- b 2R 2R
10 2
2 2+x y
2 2+x y 2 2+x y
1
2
2 2x y+ 2 2( 3)x y− + | |
| |
PO
PA
1
22 = ， +2x-3=0， 该曲线的方程为： +2x-3=0，
是一个圆； +2x-3=0， + =4， 圆的半径 R=2，圆心坐标为（-1，0）。
2、已知方程 -2（m+3）x+2(1-4 )y+16 +9=0 表示一个圆。
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）求该圆半径 r 的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程。
【解析】
【知识点】①圆一般方程化标准方程的基本方法；②点轨迹方程的定义与求法；方程表示一
个圆的充分必要条件；④参数方程化普通方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用圆一般方程化标准方程的基本方法，结合问题条件得到圆的标准方程，
根据方程表示一个圆的充分必要条件得到关于实数 m 的不等式，求解不等式就可求出实数
m 的取值范围；（2）由（1）得到半径关于 m 的函数，根据实数 m 的取值范围求出函数的
值域就可求出圆半径的取值范围；（3）由（1）得到圆心轨迹关于参数 m 的参数方程，利
用参数方程化普通方程的基本方法就可得到圆心的轨迹方程。
【 详 细 解 答 】（ 1 ） -2 （ m+3 ） x+2(1-4 )y+16 +9=0 ， +
=
1+6m-7 表示一个圆， 1+6m-7 >0， - 0；②表示一个点
的充分必要条件是 + -4F=0；③当 + -4F sin ， A 错误；②设 P（x，y）在弧 CD 上， cos = =x，sin = =y，
tan = ， tan > sin > cos ， B 错误；③设 P（x，y）在弧 EF 上， cos
= =x，sin = =y，tan = ， sin > cos > tan ， C 正确；④设 P
（x，y）在弧 GH 上， cos = =x cos > sin ， D 错误， C 正确， 选 C。
3、设抛物线 =4x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 ；
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。
【解题思路】运用抛物线的性质，结合问题条件得到圆心 F 的坐标，从而求出圆半径 R 的
值，就可得出符合题意的圆的方程。
【详细解答】 F 是抛物线 =4x 的焦点， F（1，0）， l 是抛物线 =4x 的准线，圆与
直线 l 相切， R=1+1=2， 符合题意的圆的方程为： + =4。
4、已知圆 C： -2x-4y+1=0 上存在两点关于直线 l：x+my+1=0 对称，则实数 m= 。
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法；②圆的定义与性质。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法，结合问题条件把圆的方程化为标
准方程，从而得到圆心的坐标，根据圆的性质可知直线 l：x+my+1=0 过圆心，得到关于 m
β AOBS扇形 π 2
2
β
π β ⇒ S阴影 AOPS∆ BOPS∆ AOBS扇形 β β ∴
β β ⇒ ∴
2 2+x y
α α α α
α α α
α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
∴ α
α ⇒ α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
α y
x
∴ α α α ⇒ α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
α y
x
∴ α α α ⇒
α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
α y
x
∴ α
α α ⇒ ⇒ ∴
2y
2y ∴
2y
∴ ⇒ 2( 1)x − 2y
2 2+x y的方程，求解方程就可得出 m 的值。
【详细解答】 圆 C： -2x-4y+1=0 ， + =4， 圆心 C（1，2），
圆 C： -2x-4y+1=0 上存在两点关于直线 l：x+my+1=0 对称， 直线 l 过点 C（1，2），
1+2m+1=0， m=-1。
『思考问题 5』
（1）【典例 5】是近几高考或高三的诊断考试中与圆方程相关的问题，解答这类问题需要注
意圆常见几种方程之间的联系；
（2）纵观近几年的高考试题，与圆方程相关的问题主要包括：①给定条件，求圆的方程；②
圆标准方程与一般方程和参数方程的互化；③求圆的切线方程；④与圆相关的最值问题等几
种类型。
〔练习 5〕解答下列问题：
1、已知 A，B 是圆 O： =4 上两个动点，| |=2， = - ，若 M 是线段
AB 的中点，则 . 的值为（ ）
A 3 B 2 C 2 D -3
2、圆 -4x+6y=0 的圆心坐标是（ ）
Ａ (２,３) Ｂ (－２,３) Ｃ (－２，－３) Ｄ (２，－３)
3、如图，将一块半径为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半圆的直径，
上底 CD 的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 ；
4、若圆 C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线 y=1 相切，则圆 C 的方程是 。
2 2+x y ⇔ 2( 1)x − 2( 2)y − ∴
2 2+x y ∴
⇒ ∴
2 2+x y AB OC 5
3 OA 2
3 OB
OC OM
3
2 2+x y
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