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简易逻辑问题的类型与解法 大家知道,简易逻辑问题是近几年高考的热点问题之一,基本上每卷都有一至二个五分小题, 从题型上看,是选择题或填空题,难度属于中档或低档类题目。纵观近几年的高考试卷,归 结起来简易逻辑问题主要包括:①判断命题的真假;②四种命题之间的关系;③充分条件, 必要条件,充分必要条件的判断;④复合命题的结构及真假判断;⑤全称量词与特称量词问 题;⑥求参数的值或潜在范围等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征,解答方法也各 不相同,那么在实际解答简易逻辑问题时,到底如何抓住题型的结构特征,快捷,准确地给 予解答呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、下列判断正确的是( ) A “x<-2”是“ln(x+3) <0”的充分不必要条件 B 函数 f(x)= + 的最小 值为 2 C 当 , ∈R 时,命题“若 = ,则 sin =sin ”的逆否命题为真命题 D 命 题“ x>0, +2019>0”的否命题是“ 0, +2019 0” 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质;②命题真假判断的基本方法;③充分条件,必要条件,充 分必要条件判断的基本方法;④基本不等式及运用;⑤四种命题之间的关系;⑥全称命题, 特称命题的定义与性质。 【解题思路】运用命题真假判断的基本方法,结合问题条件分别对各选项的命题真假进行判 断,从而得出选项。 【详细解答】对 A, 当 x=-4 时,-40 时, + -xy-1=0,设 (s,1), (1,t),s∈[0,1], t∈[0,1], -s=0, s∈ [0,1], -s 0, 0+0-0-1=-10,y| |”的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 (2)设函数 f(x)=cosx+bsinx(b 为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件,必要条件,充分必要条件的定义与性质;②判断充分条件,必要条 件,充分必要条件的基本方法。 【解题思路】(1)运用判断充分条件,必要条件,充分必要条件的基本方法,结合问题条件 对问题进行判断就可得出选项;(2)运用判断充分条件,必要条件,充分必要条件的基本 方法,结合问题条件对问题进行判断就可得出选项。 【详细解答】(1)如图, + = , = A - , | |=| - |,当 与 的夹角为锐角时, | + | =| | +| | +2 . >| | +| | B C -2 . =| - | =| | , | + |>| |, 由 与 的夹角为锐角, 能够推出| + |>| |; 当| + |>| |时,| | =| - | =| | + | | -2 . ,| + | =| | +| | +2 . , | | +| | +2 . >| | +| | -2 . , 4 . >0, 与 的夹角为锐角, C 正确, 选 C;(2)当 b=0 时, f(x)=cosx+bsinx= cosx 是偶函数, 由 b=0 能够推出 f(x)为偶函数;当 f(x)为偶函数时, f(x)=cosx+bsinx= sin(x+ )(其中 tan = )是偶函数, x+ = +x, = , tan = 为正无穷大, b=0, 由 f(x) 为偶函数能够推出 b=0, C 正确, 选 C。 3、若 x 为实数,则“ x 2 ”是“2 3”成立的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件,必要条件,充分必要条件的定义与性质;②判断充分条件,必要条 4 π  ϕ 4 π ∴ × 4 π ϕ π ⇒ ϕ 3 4 π π ϕ 3 4 π π 4 π ∴ ϕ 4 π ϕ 4 π ⇒ ∴ AB AC AB AC BC  AB BC AC ∴ BC AC AB ⇒ BC AC AB AB AC AB AC 2 AB 2 AC 2 AB AC AB 2 AC 2 AB AC AB AC 2 BC 2 ⇒ AB AC BC ∴ AB AC AB AC BC  AB AC BC BC 2 AB AC 2 AB 2 AC 2 AB AC AB AC 2 AB 2 AC 2 AB AC ∴ AB 2 AC 2 AB AC AB 2 AC 2 AB AC ⇒ AB AC ⇒ AB AC ⇒ ∴  ∴  21 b+ ϕ ϕ 1 b ∴ ϕ 2 π ⇒ ϕ 2 π ⇒ ϕ 1 b ⇒ ∴ ⇒ ∴ 2 2 ≤ ≤ 2 2 ≤ 2 2x x + ≤件,充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断充分条件,必要条件,充分必要条件的基本方法,结合问题条件对问 题进行判断就可得出选项。 【详细解答】当 x 2 时, =x+ 2 =2 , 由 x 2 不 能 推 出 2 3 ; 当 2 3 时 , 0 且 0, 1 x 2, 由 2 3 能够推出 x 2 , B 正确, 选 B。 4、已知锐角 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,则“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件,必要条件,充分必要条件的定义与性质;②判断充分条件,必要条 件,充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断充分条件,必要条件,充分必要条件的基本方法,结合问题条件对问 题进行判断就可得出选项。 【详细解答】当锐角 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,sinA>sinB 时,能够推出 tanA> tanB;当锐角 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,anA>tanB 时,也能够推出 sinA>sinB, C 正确, 选 C。 5、设 , 为非零向量,则“存在负数 ,使得 = ”是“ . <0”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件,必要条件,充分必要条件的定义与性质;②判断充分条件,必要条 件,充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断充分条件,必要条件,充分必要条件的基本方法,结合问题条件对问 题进行判断就可得出选项。 【详细解答】当 , 为非零向量,存在负数 ,使得 = 时, . =| |.| |cos 1, 命题 p 是假命题, p 是真命题;对命题 q, a,b∈(0,+ ), a+ 2 ,b+ 2 , , 至少有一个大于或等腰 1, 命题 q 是真命题, B 正确, 选 B;(2) 对命题 p, ∈(0,+ ), + >1, 命题 p 是假命题, p 是真命题;对命 题 q, x >0, x+ 2 =2, 命题 q 是真命题, B 正确, 选 B。 2、设 、 、 是非零向量,已知命题 p:若 . =0, . =0,则 . =0;命题 q:若 // , // ,则 // 。则下列命题中真命题是( ) A p q B p q C ( ) ( ) D p ( ) 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质;②判断命题真假的基本方法;③复合命题的定义与性质;④ 判断复合命题真假的基本方法。 【解题思路】运用判断复合命题真假的基本方法,结合问题条件对命题进行判断就可得出选 项。 【详细解答】对命题 p, 、 、 是非零向量, . =0, . =0, , , // , 命题 p 是假命题;对命题 q, 、 、 是非零向量, // , // , // , 命题 q 是真命题, A 正确, 选 A。 ∃ 0x ∞ 03x 0x 1 2016 ∀ ∞ 1 b 1 a ∧ ¬ ∧ ∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∃ 0x ∞ 03x 0x 1 2016 ∀ 1 x ≥ ∧ ¬ ∧ ∧ ¬ ¬ ∧ ¬  0x ∞ ∴ 03x 0x ⇒ ∴ ¬  ∞ ∴ 1 b ≥ 1.a b 1 a ≥ 1.b a ⇒ 1.a b 1.b a ∴ ⇒ ∴  0x ∞ ∴ 03x 0x ⇒ ∴ ¬  ∴ 1 x ≥ 1.x x ⇒ ⇒ ∴ a b c a b b c a c a b b c a c ∨ ∧ p¬ ∧ q¬ ∨ q¬  a b c a b b c ∴ a ⊥ b b ⊥ c ⇒ a c ∴  a b c a b b c ∴ a c ⇒ ⇒ ∴3、给定两个命题 p,q,若 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质;②判断命题真假的基本方法;③复合命题的定义与性质;④ 判断复合命题真假的基本方法;⑤充分条件,必要条件,充分必要条件的定义与性质;⑥判 断充分条件,必要条件,充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断复合命题真假的基本方法,结合问题条件对命题进行判断就可得出选 项。 【详细解答】 命题 p,q 满足 是 q 的必要而不充分条件, 由 不能推出 q,由 q 能 够推出 , 由 p 能够推出 ,由 不能推出 p, p 是 的充分不必要条件, A 正确, 选 A。 『思考问题 4』 (1)【典例 4】是复合命题真假判断的问题,解答这类问题需要理解逻辑连接词“且”, “或”,“非”的意义,注意复合命题的几种结构形式①p∧q;②p∨q;③ p;掌握复合命 题真假判断的基本方法; (2)复合命题真假判断的基本方法是:①确定问题中的简单命题;②确定复合命题的结构 形式;③判断简单命题的真假;④结合相应的真值表得出结果。 〔练习 4〕解答下列问题: 1、设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 ,命题 q:函数 y=cosx 的图像关于直线 x= 对称,则下列判断正确的是( ) A p 为真 B 为真 C p q 为真 D p q 为真 2、设命题 p:函数 y=cos2x 的最小正周期为 ,命题 q:函数 y=sin(x- )的图像的一条对 称轴是 x= ,则下列判断正确的是( ) A p 为真 B 为真 C p q 为真 D p q 为真 3、若命题“p∧q”为假,且“ p”为假,则( ) A p 或 q 为假 B q 为假 C q 为真 D 不能判断 q 的真假 4、若命题 p:x=2 且 y=3,则 p 为( ) A x 2 或 y 3 B x 2 且 y 3 C x=2 或 y 3 D x 2 或 y= 3 5、已知命题 p:存在 x∈R,使 sinx= ,命题 q:不等式 +x+1≥0 对 x∈R 恒成立,给 出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ q”是假命题;③命题“ p∨q” 是真命题;④命题“ p∨ q”是假命题。其中正确的是( ) A ②③ B ②④ C ③④ D ①②③ p¬ q¬  p¬ ∴ p¬ p¬ ⇒ q¬ q¬ ∴ q¬ ⇒ ∴ ¬ 2 π 2 π q¬ ∧ ∨ 2 π 4 π 4 π q¬ ∧ ∨ ¬ ¬ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 2 2 2x ¬ ¬ ¬ ¬6、已知命题 p:若方程 a +x-1=0 有实数解,则 a≥- 且 a 0;命题 q:函数 y= -2x 在[0,3]上的最大值与最小值之和为 2,则下列为真命题的是( ) A p∧q B p∧ q C p∨ q D p∨q 7、关于函数 f(x)=sin(2x+ ),命题 p:函数 y=f(x)的图像关于点( ,0)成中心对称; 命题 q:当 t= 时,函数 y=f(x+t)为偶函数。下列命题中的真命题是( ) A p∧q B p∧( q ) C p∨( q ) D p∨q 【典例 5】解答下列问题: 1、命题“ x∈(1,+ ),x-1 lnx”的否定是( ) A x∈(1,+ ),x-1 lnx B x∈(1,+ ),x-1<lnx C ∈(1,+ ), -1 ln D ∈(1,+ ), -1<ln 【解析】 【知识点】①全称命题的定义与性质;②特称命题的定义与性质;③全称命题否定的基本方 法。 【解题思路】运用全称命题否定的基本方法,结合问题条件写出全称命题的否定命题就可得 出选项。 【详细解答】 全称命题的否定命题是特称命题, 可以排除 A,B; x-1 lnx 的否定是 x-1 查看更多

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