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集合问题的类型与解法
我们知道，集合问题是近几年高考的热点问题之一，基本上是每卷必有集合问题的一个五分
小题；从题型上看为选择题或填空题，难度系数较低。纵观近几年的高考试题，集合问题归
结起来主要包括：①集合元素的问题；②集合与集合的关系问题；③集合的运算问题；④集
合的新概念问题等几种类型。各种类型结构上具有各自的特征，解答方法也各不相同，那么
在解答集合问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通
过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、（1）已知集合 A=｛（x，y）| + =1｝，B=｛（x，y）|y=x｝，则 A∩B 中元素的个
数为（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
（2）已知集合 A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则 A∩B 中元素的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合元素的定义与
性质。
【解题思路】（1）运用交集的运算方法，结合集合的表示方法，通运算求出 A∩B，利用元
素的性质就可得出选项；（2）运用交集的运算方法，结合集合的表示方法，通运算求出 A∩
B，利用元素的性质就可得出选项。 y
【详细解答】（1）如图， 由 + =1，得 x= ， y=x
y=x， y= ， x
或 x=- ， A∩B={（ ， ），（- ，- ）}，
y=- ， B 正确， 选 B；（2） A∩B={2，4}， B 正确， 选 B。
2、已知集合 A=｛1，2｝，B=｛a， +3｝，若 A∩B=｛1｝，则实数 a 的值为 ；
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合相等的定义与
性质；④方程的定义与解法。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可知 1 B，由 +3
3，从而得到 a=1。
【详细解答】 A∩B=｛1｝， 1 B， +3 3， a=1。
3、设集合 A=｛x|1≤x≤5｝，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是（ ）
2x 2y
2x 2y 2
2
2
2
2
2
∴ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⇒ ∴ ⇒ ∴
2a
∈ 2a ≥
∴ ∈
2a ≥ ∴
OA 6 B 5 C 4 D 3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合元素的定义与
性质。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件通过运算求出 A∩Z，
利用元素的性质就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x|1≤x≤5｝，Z 为整数集， A∩Z={1，2，3，4，5}， B 正确，
选 B。
4、设集合 A=｛1,2,3｝，B=｛4,5｝，M=｛x|x=a+b,a∈A,b∈B｝,则 M 中元素的个数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合元素的定义与性质。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件，求出集合 M，利用元素的性质就可得出
选项。
【详细解答】 1+4=5，1+5=6，2+4=6，2+5=7，3+4=7，3+5=8， M=｛x|x=a+b,a∈A,b∈
B｝={5，6，7，8}， B 正确， 选 B。
5、（1）已知集合 M=｛1,2，zi｝,i 为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，则复数 z=（）
A -2i B 2i C -4i D 4i
（2）若集合 A=｛x∈R|a +ax+1=0｝中只有一个元素，则 a=（）
A 4 B 2 C 0 D 0 或 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③复数的定义与运算；
④一元二次方程的定义与解法；⑤参数分类的原则与方法。
【解题思路】（1）设 Z=a+bi，运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可得
zi=4，利用复数的运算方法，结合问题条件求出 a，b 的值就可得出选项；（2）运用集合的
表示方法，结合问题条件可知方程 a +ax+1=0 只有一个根，利用参数分类的原则和方法，
分情况求出 a 的值就可得出选项。
【详细解答】（1）Z=a+bi， 集合 M=｛1,2，zi｝,i 为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，
zi=（a+bi）i=ai+b =-b+ai=4， -b=4，a=0， b=-4，a=0， Z=-4i， C 正确，
选 C；（2） 集合 A=｛x∈R|a +ax+1=0｝中只有一个元素， 方程 a +ax+1=0 只有一
个根，①当 a=0 时，a +ax+1=0 1=0，显然等式不成立，此时无解；②当 a 0 时，
方程 a +ax+1=0 只有一个根， = -4a=0， a=0 或 a=4， a 0， a=4， 综上
所述，当集合 A=｛x∈R|a +ax+1=0｝中只有一个元素时，a=4， A 正确， 选 A。
6、设常数 a∈R，集合 A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝,B=｛x|x≥a-1｝,若 A∪B=R，则 a 的取值范
围为（ ）
A （-∞，2) B （-∞，2〕 C （2，+∞） D 〔2,+∞）
【解析】
∴ ⇒ ∴
∴
⇒ ∴
2x
2x
∴ 2i ⇒ ⇒ ∴ ⇒ ∴
2x ∴ 2x
2x ⇔ ≠
2x ∴ ∆ 2a ⇒ ≠ ∴ ∴
2x ⇒ ∴【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法；③不等式的定义与解
法；④参数分类的原则与基本方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件，得到关于参数 a 的不
等式，利用参数分类原则与基本方法分别求解不等式就可得出选项。
【详细解答】①当 a>1 时，如图， A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝
=｛x|x 1 或 x≥a｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R， 0 a-1 1 a
a-1 1， 1
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