资料简介
2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）
专题 06 不等式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题
1．不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 等价于 即 ，
故不等式的解为 或 ，故解集为 ，选 D.
2．设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用赋值法:令 排除 A,B,C,选 D.
3．若正实数 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】C
【解析】根据题意，若正实数 ，满足 ，
则 ，
1 1
2x
<
( ,2)−∞ (2, )+∞ (0,2) ( , 0) (2, )−∞ +∞
1 1
2x
< 2 02
x
x
− < ( )2 0x x − >
0x < 2x > ( ) ( ),0 2,−∞ +∞
,a b∈R 0a b− >
0b a− > 3 3 0a b+ < 2 2 0a b− < 0b a+ >
1, 0a b= =
,a b 1a b+ = 3
3
b
a b
+
2 6 4 3
,a b 1a b+ =
3 3 3 3 33 2 3 53 3 3 3
b b a b b a b a
a b a b a b a b
++ = + = + + × × + =
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为 5；
4．已知 ,则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】解：∵x＞0，y＞0，且 2x+y=2，
∴xy= （2x•y）≤ （ ）2= ，当且仅当 x= ，y=1 时取等号，
故则 xy 的最大值为 ，故选 A
5．若点 P(x, y)在以 A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知的条件可知，点 A,B，C 围成的三角形 ABC，其内动点 P（x,y），那么所求的为动点 P 与
定点 M（1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点 A，B,C 的坐标，分别求解
,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得， 的取值范围是
，选 D.
6．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1 2 2a b> 2 2x xa b⋅ > ⋅
2x
1
a
2
b
2 2
1
a
2
b
1 2
a b
+
⋅ b
a
2a
b
2b a
a b
× 2
b
a
2a
b 2 2
1
a
2
b 2
x ( )9 4 3 4 0x xa+ + ⋅ + = a
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 （当且仅当 时
等号成立），解得
10．函数 的图像在点 处的切线斜率的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】 ,当且仅当 时取等号，因此切线斜率
的最小值是 2，选 D.
11．已知 a，b R 且 ab≠0，对于任意 x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a0 C．b0
【答案】C
【解析】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
( , 8] [0, )−∞ − +∞ ( ), 4−∞ −
[ 8, 4)− − ( , 8]−∞ −
9 (4 ) 3 4 0x xa+ + ⋅ + = 4 43 (4 ) 0, (4 ) 3 43 3
x x
x xa a+ + + = ∴− + = + ≥ 3 2x =
8a ≤ −
( ) 21f x nx x= + − ( 0, )bx a b a R+ > ∈ ( )( ),b f b
2 2 3
1 1 1( ) 2 ( ) 2 2f x x b k f b b bx b b
′ ′= + − ∴ = = + ≥ ⋅ = 1b =
∈
0ab ≠ 0a ≠ 0b≠ ( ) ( )( )( 2 )f x x a x b x a b= − − − − ( )f x
1 2 3, , 2x a x b x a b= = = +
0a > 2 3x x< 1 > 0x ( ) 0f x ≥ 2a b a+ = 0b <
= −b a 0b < 0b <
0a < 2 3x x> 1 0x < ( ) 0f x ≥ 0b <
0b 2 2a ab b> >
A 1 1 12, 1, , 12a b a b
= − = − = − = − A
B 0c = 2 2 0ac bc= = B
C 1 1
a b
> 1, 2b a= − = − b a
a b
< C
D 20,a b a ab< ∴ 2ab b> D
x 2 ( 1) 0x a x a− + + < 2 a
( 3,5)− ( 2,4)− [ 3,5]− [ 2,4]−
x 2 ( 1) 0x a x a− + + < ( 1)( ) 0x x a− − <
1a > 1 x a< <
1a < 1< 0y > 2 3x y+ =
2 3x y
xy
+
3 2 2− 2 2 1+ 2 1− 2 1+
【解析】已知 ， ， ，
则 ，
当且仅当 时，即当 ，且 ，等号成立，
故 的最小值为 ，
15．已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 时取“ ”号，
所以 的取值范围为 ，
16．函数 、 分别是定义在 上的偶函数、奇函数，且 ，若存在 ，
使不等式 成立，则实数 的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【解析】∵ ，①
0x > 0y > 2 3x y+ =
2 2 2 23 ( 2 ) 2 2 21 2 1 2 2 1x y x x y y x xy y x y x y
xy xy xy y x y x
+ + + + += = = + + + = +
2 22x y= 3 2 3x = − 6 3 2
2y
−=
2 3x y
xy
+
1 2 2+
( ) 2 1 2x xf x e e mx+ −= − − R m
( ,2 e−∞ )2 ,e +∞ ( ,4 e−∞ )4 ,e +∞
( ) 2 1 2x xf x e e mx+ −= − − R
( ) 2 1 222 0x xf x e e m+ −+′ = − ≥ R
2 1 222 x xe e m+ − ≥+ R
2 1 2 2 1 22 2 2 2 2 4x x x xe e e e e+ − + −≥+ × = 1
4x = − =
m ( ,4 e−∞
( )f x ( )g x R ( ) ( )2 xf x g x e+ = 2( ]0,x∈
( ) ( )2 0f x mg x− ≤ m
4 2 8 2
( ) ( )2 xf x g x e+ =
∴ ，又函数 、 分别是定义在 上的偶函数、奇函数，
∴ ，②
由①②得 ， ，
不等式 为 ，（*），
设 ，这是一个增函数，当 时， ，
（*）变为 ， ，
若存在 ，使不等式 成立，则为：
存在 ，使 成立，
由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，∴ 的最小值是
．
∴ ．
故选：B.
17．（多选题）下列命题为真命题的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 且 ，则
【答案】BCD
【解析】选项 A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题；
( ) ( )2 xf x g x e−− + − = ( )f x ( )g x R
( ) 2 ( ) xf x g x e−− =
1( ) ( )2
x xf x e e−= + 1( ) ( )4
x xg x e e−= −
( ) ( )2 0f x mg x− ≤ 2 21 1( ) ( ) 02 4
x x x xe e m e e− −+ − − ≤
x xt e e−= − 0 2]x∈（ ， 2
2
1(0, ]t e e
∈ −
2 12 02t mt+ − ≤ 22( 2) 22( )tm tt t
+≥ = +
2( ]0,x∈ ( ) ( )2 0f x mg x− ≤
2
2
1(0, ]t e e
∈ − 22( )m t t
≥ +
2 22( ) 2 2 4 2t tt t
+ ≥ × × = 2t t
= 2t = 22( )2t +
4 2
4 2m ≥
0a b> > 2 2ac bc> 0a b< < 2 2a ab b> >
0 0a b c> > a b> 1 1
a b
> 0ab <
0c =
选项 B: ，所以本命题是真命题；
选项 C: ，所以本命题是真命题；
选项 D: ，所以本命题是真命题，所以本题
选 BCD.
18．（多选题）设 ，且 ，那么（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】AD
【解析】解：①由题已知得： ,
故有 ,
解得 或 （舍）,
即 （当且仅当 时取等号）,A 正确;
②因为 ,
所以 ,
又因为
,
2 2 2 2,0 0
a b a ba ab ab b a ab ba b
< ⇒ > ∴ > > < > ⇒ > > ⇒ < < < ∴ >
21 1 1 1 0 0, 0 0b a a b b a aba b a b ab
−> ⇒ − > ⇒ > > ∴ − < ∴ > ( ) 1ab a b− + =
+a b ( )2 2 1+ +a b ( )2
2 1+
ab 3 2 2+ ab 3 2 2+
2
2
a bab
+ ≤
2( ) 4( ) 4 0a b a b+ − + − ≥
2 2 2a b+ ≥ + 2 2 2a b+ ≤ − +
2 2 2a b+ ≥ + 2 1a b= = +
2a b ab+ ≥
( ) 2a b ab− + ≤ − ( ) 2ab a b ab ab− + ≤ −
( ) 1ab a b− + =
1 2ab ab≤ − 2 2 1ab ab⇒ ≤ − +
有最小值 ,D 正确.
故选 AD
19．（多选题）已知函数 有且只有一个零点，则( )
A．
B．
C．若不等式 的解集为 ，则
D．若不等式 的解集为 ，且 ，则
【答案】ABD
【解析】因为 有且只有一个零点，
故可得 ，即可 .
对 ： 等价于 ，显然 ，故 正确；
对 ： ，故 正确；
对 ：因为不等式 的解集为 ，
故可得 ，故 错误；
对 ：因为不等式 的解集为 ，且 ，
( )2
2 1ab≤ − 1 2ab⇒ − ≥
2 1ab ≥ + 3 2 2ab⇒ ≥ +
ab 3 2 2+
2( ) ( 0)f x x ax b a= + + >
2 2 4a b− ≤
2 1 4a b
+ ≥
2 0x ax b+ − < ( )1 2,x x 1 2 0x x >
2x ax b c+ + < ( )1 2,x x 1 2 4x x− = 4c =
2( ) ( 0)f x x ax b a= + + >
2 4 0a b= − =
2 4 0a b= >
A 2 2 4a b− ≤ 2 4 4 0b b− + ≥ ( )22 0b − ≥ A
B 2 1 1 14 2 4 4a b bb b b
+ = + ≥ × = B
C 2 0x ax b+ − < ( )1 2,x x
1 2 0x x b= − < C
D 2x ax b c+ + < ( )1 2,x x 1 2 4x x− =
则方程 的两根为 ，
故可得 ，
故可得 ，故 正确.
20．（多选题）设 ， ， ，以下四个命题中正确的是（ ）．
A．若 为定值 ，则 有最大值
B．若 ，则 有最大值 4
C．若 ，则 有最小值 4
D．若 总成立，则 的取值范围为
【答案】CD
【解析】 为定值 时， 应有最小值 ，∴A 不正确；
当 时，
，∴B 不正确；
，
当且仅当 ，等号成立，∴C 正确；
由 ，又 ，
∴ ，∴ ，∴D 正确．
二、解答题
2 0x ax b c+ + − = 1 2,x x
( ) ( )2 2
1 2 1 24 4 4 2 4x x x x a b c c c+ − = − − = = =
4c = D
,x y R+∈ S x y= + P xy=
P m S 2 m
S P= P
S P= S
2S kP≥ k 4k ≤
P m S 2 m
S P= 2x y xy xy xy+ = ⇒ ≥
min2 4 4xy xy P⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ =
2
min
( ) 4 44
x yS P x y xy x y S
+= ⇒ + = ≤ ⇒ + ≥ ⇒ =
2x y= =
2
2 SS kP k P
⇒ ≤≥
2 2 2 2 2 2 4S x y xy xy xy
P xy xy
+ + += ≥ =
2
min
4S
P
= 4k ≤
21．已知正数 ， ， 满足 ，求证： .
【解析】证明：由正数 ， ， 满足 ，
则
（当且仅当 时等号成立）,
22．已知不等式
（1）若对于所有的实数 不等式恒成立，求 的取值范围；
（2）设不等式对于满足 的一切 的值都成立，求 的取值范围．
【解析】（1）不存在这样的 使得不等式恒成立（2）{푥| ―1 + 7
2 < 푥 < 1 + 3
2 }
（1）当푚 = 0时,1 ― 2푥 < 0，即当푥 > 1
2时不等式不恒成立，不满足条件
当푚 ≠ 0时，设푓(푥) = 푚푥2 ― 2푥 ― 푚 +1，由于푓(푥) < 0恒成立，则有{ 푚 < 0
4 ― 4푚(1 ― 푚) < 0
解得푚 ∈ 휑
综上所述，不存在这样的 使得不等式恒成立．
（2）由题意 ― 2 ≤ 푚 ≤ 2，设푔(푥) = (푥2 ― 1)푚 +(1 ― 2푥)，则有{푔( ― 2) < 0
푔(2) < 0
即{ ―2푥2 ― 2푥 + 3 < 0
2푥2 ― 2푥 ― 1 < 0 ，解得 ―1 + 7
2 < 푥 < 1 + 3
2
所以 的取值范围为{푥| ―1 + 7
2 < 푥 < 1 + 3
2 }
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
a b c 1abc = ( 2)( 2)( 2) 27a b c+ + + ≥
a b c 1abc =
( 2)( 2)( 2)a b c+ + + ( 1 1)( 1 1)( 1 1)a b c= + + + + + +
3 3 33 3 3a b c⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅≥
327 abc= ⋅
27= 1a b c= = =
( ) 2 1f x x x= − − +
( ) 2f x −
( )2 1 2 1 3x x x x− − + ≤ − − + ≤
( ) ( )2 1 0x x− ⋅ + ≥ 1x ≤ − 2x ≥ =
( )3 3f x− ≤ ≤ ( )9 3 3
2 2 2f x− ≤ − ≤
1 2 1 2 1 1 2 322 2 3 3 2 2 2
m n n m
m n m n m n
+ + = + ⋅ = + + + ≥
2
2
n m
m n
= 1m = 2n =
( )1 2 3
2 2f xm n
+ ≥ −
( ) 2 1 1f x x x= − + +
( ) 2f x x≤ +
( )y f x= m 0a > 0b > a b m+ = 1 2
1 2a b
++ +
【解析】解（1）因为
从图可知满足不等式 的解集为 .
（2）由图可知函数 的最小值为 ，即 .
所以 ，从而 ，
从而
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 .
25．某工厂生产某种商品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件需另投入成本为 （万元）.
当年产量不足 80 千件时， （万元）；当年产量不小于 80 千件时，
( )
3 , 1,
12 1 1 2, 1 ,2
13 , .2
x x
f x x x x x
x x
− < −
= − + + = − + − ≤ ≤
>
( ) 2f x x≤ + [ ]0,1
( )y f x= 3
2
3
2m =
3
2a b+ = 91 2 2a b+ + + =
( ) ( )1 1 2 1 21 21 2 9 1 2a ba b a b
+ = + + + + + + + +
( ) ( )2 1 2 12 2 2 2 6 4 23 3 29 1 2 9 1 2 9
a ab b
a b a b
+ − + + += + + ≥ + ⋅ = + + + +
( )2 12
1 2
ab
a b
++ =+ +
9 2 11 14 9 2,2 2a b
− −= =
1 2
1 2a b
++ +
6 4 2
9
+
( )x x N ∗∈ ( )C x
21( ) 103C x x x= +
（万元）.通过市场分析，每件售价为 500 元最为合适.
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式；
（2）该产品年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？
【解析】（1）依题意 ，
，
（2）由（1）得
当 时， ，
当 时， 万元，
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，即 万元
所以利润的最大值为 万元.
答：该产品年产量为 100 千件时，该厂所获利润最大.
10000( ) 51 1450C x x x
= + −
L x
2 *
*
1 10 0 80,3( ) 1000051 1450 80,
x x x x N
C x
x x x Nx
+ < < ∈=
+ − ≥ ∈
2 *
*
1 40 250 0 80,350 ( ) 250 10000 1200 80,
x x x x N
L x C x
x x x Nx
− + − < < ∈= − − =
− − + ≥ ∈
*0 80,x x N< < ∈ 2 21 140 250 ( 60) 9503 3L x x x= − + − = − − +
60x = max 950L =
*80,x x N≥ ∈ 10000( ) 1200 2 10000 1200 1000L x x
= − + + ≤ − + =
10000 100x x
= = max 1000L =
1000
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