资料简介
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专题 5.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
1．（2020·安徽高三月考（文））要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】B
【解析】
，故只需向左平移 个单位就可得到
.
故选：B
2.（2019·四川高考模拟（理））将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）
的图象，则 g（x）的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
将函数 的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为
．
故选 A．
3．（2019·上海高考模拟）将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把图象上
( ) πf x sin 2x 6
= +
π
6
( )g x cos2x= ( )g x cos2x= − ( )g x sin2x= ( ) πg x sin 2x 3
= +
( ) sin 2 6f x x
π = + 6
π
sin[2( ) ] sin(2 ) cos26 6 2y x x x
π π π= + + = + =
sin 6y x
π = − 4
π
2cos 2 6y x
π = − 3sin 2 cos2y x x= −
2
π
4
π
3
π
6
π
3sin 2 cos2 2sin 2 6y x x x
π = − = − 4
π
2sin 2 2sin 2 2cos 24 6 6 2 6y x x x
π π π π π = + − = − + = − 2 / 20
各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
向右平移 个单位长度得：
横坐标扩大到原来的 倍得：
本题正确选项：
4．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（理））函数 的图象可由函数
的图象（ ）
A．向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到
B．向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到
C．向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变得到
D．向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变得到
【答案】D
【解析】
由 得：
将它的图象向左平移 个单位，
可得函数 的图象，
5sin 2 12
xy
π = − sin 2 12
xy
π = +
5sin 2 12y x
π = −
5sin 2 24
xy
π = −
4
π 5sin sin4 6 12y x x
π π π = − − = −
2 5sin 2 12
xy
π = −
A
sin 2 6y x
π = +
3sin 2 cos2y x x= −
3
π
6
π
3
π 1
2
6
π 1
2
3sin2 cos2y x x= − 2sin 2 6y x
π = −
6
π
2sin 2 2sin 26 6 6y x x
π π π = + − = + 3 / 20
再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变得到： 图象.
故选：D
5. （2019·河南高考模拟（理））已知将函数 的图象向右平
移 个单位长度得到函数 的图象，若 和 的图象都关于 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题
又 和 的图象都关于 对称，则 ，得 ，
即 ，又 ，故 ， ，则
故选：A
6．（2020·河南开封�高一期末）已知 （ ）在区间 上单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
由 ， ，
1
2
sin 2 6y x
π = +
( ) ( )sin 0 6, 2 2f x x
π πω ϕ ω ϕ = + < < − < ω ,6 4
π π
ω
20, 3
2 260, 7,3 3
∪
26 507, ,193 3
∪
2 500, ,193 3
∪
( ) sin 3 cos 2sin( )3f x x x x
πω ω ω= + = +
2 22 3 2k x k
π π ππ ω π− + + k Z∈ 4 / 20
得 ， ，
即 ，即函数的单调递增区间为 ， ，
在区间 上单调递增，
，即 ，
即 ，
，
当 时 ，此时 ，
当 时， ，
当 时， ，此时不成立，
综上 的范围是 或 ，
即 ，
故选：B．
7．（2020·江苏盐城�高一期末）【多选题】设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值为
D． 的图象关于点 对称
【答案】ABCD
52 26 6k x k
π ππ ω π− + k Z∈
52 26 6k k
x
π ππ π
ω ω
− +
52 26 6,
k k
π ππ π
ω ω
− +
k Z∈
( )f x ,6 4
π π
∴
52 6
6
2 6
4
k
k
ππ π
ω
ππ π
ω
−
+
12 5
28 3
k
k
ω
ω
− +
212 5 8 3k kω− +
0ω >
∴ 0k = 25 3
ω−
20 3
ω<
1k = 267 3
ω
2k = 219 16 3
ω +
ω 20 3
ω<
267 3
ω
2 260, 7,3 3
∪
( ) sin 2 cos2f x x x= +
( )f x π
( )y f x=
8x
π=
( )f x 2
( )y f x= 7 ,08
π
5 / 20
【解析】
，
最小正周期为 ，最大值为 ，故 A、C 正确；
令 （ ），则 （ ），当 时， ，故 B 正确；
令 （ ），则 （ ），当 时， ，图象关于点 对称，
故 D 正确；
故选：ABCD.
8．（2020·福建高一期末）【多选题】关于函数 ，则（ ）
A．函数 的最小值为 B．函数 的最小正周期为
C．函数 在 上有三个零点 D．函数 在 单调递增
【答案】AC
【解析】
，
对于 B 选项， ， ， ，
所以，函数 的最小正周期不是 ，B 选项错误；
对于 A 选项， ，
则 是函数 的周期.
当 时， ，
此时 ， ，则 ；
( ) sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x
π = + = +
2
2T
π π= = 2
2 4 2x k
π π π+ = + k Z∈
8x k
π π= + k Z∈ 0k =
8x
π=
2 4x k
π π+ = k Z∈
8 2
kx
π π= − + k Z∈ 2k = 7
8x
π= 7 ,08
π
( ) 22cos 2 sin cos 22 2 2
x x xf x = + −
( )f x 2− ( )f x π
( )f x [ ],π π− ( )f x [ ],2π π
( ) 2 1 cos2cos 2 sin cos 2 2 sin 2 sin cos 12 2 2 2
x x x xf x x x x
+= + − = × + − = + −
( )0 cos0 1 0f = − = ( ) cos 1 2f π π= − = − ( ) ( )0f f π≠
( )y f x= π
( ) ( ) ( ) ( )2 sin 2 cos 2 1 sin cos 1f x x x x x f xπ π π+ = + + + − = + − =
2π ( )y f x=
( )2 2k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈ ( ) sin cos 1 2 sin 14f x x x x
π = + − = + −
( )52 24 4k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 2 sin 12 4
πx − ≤ + ≤
( ) 2f x ≥ − 6 / 20
当 时， ，
此时 ， ，则 .
综上所述，函数 的最小值为 ，A 选项正确；
对于 C 选项，令 ，可得 ，
等式两边平方得 ，即 ，即 ，
可得 或 ，
当 时，方程 的解为 ， ， ，
所以，函数 在 上有三个零点，C 选项正确；
对于 D 选项，当 时， ，
，所以，函数 在区间 上不单调，D 选项错误.
故选：AC.
9．（2019·河南高考模拟（理））已知函数 的两条对称轴之间距离的最小值为
4，将函数 的图象向右平移 1 个单位长度后得到函数 的图象，则
___________.
【答案】
【解析】
依题意， ，所以 ，故 ，
，因为 ，所以
.
10．（2015·天津高考真题（理））已知函数 ，
( ) sin ( 0)4f x x
πω ω = + >
( )f x ( )g x
(1) (2) (3) (2019)g g g g+ + + + =
2 1+
4 82
T T= =，
4
πω = ( ) sin 4 4f x x
π π = +
( ) ( 1) sin sin4 4 4 4g x f x x x
π π π π = − = − + = ( 1 ) ( 2 ) ( (83) ) 0g gg g + ++ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 + +g 2019 1 + 2 3 2 1g g g g g g+ + = + = +
( )2 2 2k x k k Zπ π π π+ ≤ ≤ + ∈ ( ) cos sin 1 2 sin 14f x x x x
π = − − = − − −
( )3 72 24 4 4k x k k Z
π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈ 21 sin 4 2x
π − ≤ − ≤
( ) 2f x ≥ −
( )y f x= 2−
( ) sin cos 1 0f x x x= + − = sin 1 cosx x= −
( )22sin 1 cosx x= − ( )221 cos 1 cosx x− = − ( )cos 1 cos 0x x− =
cos 0x = cos 1x =
[ ],x π π∈ − ( ) 0f x = 1 2x
π= 2
3
2x
π= 3 0x =
( )y f x= [ ],π π−
[ ],2x π π∈ ( ) cos sin 1 2 sin 14f x x x x
π = − − = − − −
3 7
4 4 4x
π π π≤ − ≤ ( )y f x= [ ],2π π 7 / 20
(I)求 最小正周期；
(II)求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） , .
【解析】
（Ⅰ） 由已知，有
.
所以 的最小正周期 .
（Ⅱ）因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，
，所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
1．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数 的最小正
周期为 ，将其图象向右平移 个单位后得函数 的图象，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【解析】
由题意得 ，故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
( ) ( )cos 2 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > ∴ =
∴ ( ) 2sin 2 3f x x
π = + 6
π
( ) 2sin 2 6 3g x x
π π = − +
( ) sin 2 3g x x
π = +
2 3 2x k
π ππ+ = +
2 12
kx
π π= + k Z∈
0k =
12x
π= ( )y g x=
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω | | 2
ϕ π<
( )f x
4
π
( )g x ( )g x 10 / 20
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由图可得
故 ，
解得 ，
将点 代入函数 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，故函数 ，
因为将 图象上的所有点向左平移 个单位得到函数 的图象
所以 ，
当 时
解得： ，
故当 时， 单调递增，
故选 A.
7 , ( )12 12k k k
π ππ π − − ∈ Z 5, ( )12 12k k k
π ππ π − + ∈ Z
5 7, ( )24 24k k k
π ππ π − + ∈ Z 11 , ( )24 24k k k
π ππ π − + ∈ Z
5
4 12 6 4
T π π π= − =
2T
ππ ω= =
2ω =
( , )6 A
π
( ) sin(2 )f x A x ϕ= +
si n( )A A 3
π ϕ= +
| | 2
ϕ π<
6
π=ϕ ( ) sin(2 )6f x A x
π= +
( )f x
4
π ( )g x
( ) si n( ( ) ) si n( )2g x A 2 x A 2x4 6 3
π π π= + + = +
,22k 2x 2k k z2 3 2
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈
,7 k x k k z12 12
π ππ π− + ≤ ≤ − + ∈
[ , ] ,7x k k k z12 12
π ππ π∈ − + − + ∈ ( )g x 11 / 20
5．（2019·山西高考模拟（文））函数 （其中 ， ）的部分图象如图所示、
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 的单调递增区间为
C．函数 为偶函数
D．函数 的图象的对称轴为直线
【答案】B
【解析】
由函数 的图象可知函数 的周期为 、过点 、最大值为 3，
所以 , ， ， ， ，
所以取 时，函数 的解析式为 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度得 ，
当 时，即 时，函数 单调递
增，故选 B.
6．（2020·山东青岛�高三其他）【多选题】将函数 的图象向右平移 个单位长度得
到函数 的图象，若函数 在区间 上是单调增函数，则实数 可能的取值为（ ）
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω
( )f x
3
π ( )y g x=
( )g x
( )g x 5 , ( )12 12k k k Z
π ππ π − + + ∈
( )g x
( )g x ( )6x k k Z
ππ= + ∈
( ) ( )sinf x A xω ϕ= + ( )f x π 5 312
，π
A 3= 2T
π πω= = ω 2= 5 53sin 2 312 12f
π π ϕ = × + =
( )23 k k Z
πϕ π= − + ∈
0k = ( )f x ( ) 3sin 2 3f x x
π = −
( )f x
3
π ( ) 3sin 2 3sin 23 3 3g x x x
π π π = + − = +
( )2 2 22 3 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ( )5 ,12 12x k k k Z
π ππ π ∈ − + + ∈
( )g x
( ) sin ( 0)f x xω ω= >
12
π
( )y g x= ( )g x 0, 2
π
ω 12 / 20
A． B．1 C． D．2
【答案】ABC
【解析】
由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
若函数 在区间 上是单调增函数，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的可能的取值为 .
故选：ABC.
7．（2020·江苏南京�高三开学考试）【多选题】将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函
数 的图象，则（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点( ，0)对称
C．函数 在区间( ， )上单调递增
D．函数 在区间(0， )上有两个零点
【答案】ACD
【解析】
可得 ，当 ， ，故 A 正确；
当 ， ，故 B 错误；
当 ( ， )， ( ，0)，故 C 正确；
当 (0， )， ( ， )，故 D 正确．
2
3
6
5
( ) ( )sin 0f x xω ω= >
12
π
( ) sin 12y g x x
ωπω = = −
( )g x 0, 2
π
12 2
2 12 2
ωπ π
ωπ ωπ π
− ≥ −
− ≤
60 5
ω< ≤
ω 2 6,1,3 5
( ) sin 2f x x=
6
π
( )y g x=
( )g x
12x
π=
( )g x 6
π
( )g x 5
12
π−
6
π−
( )g x 7
6
π
( ) sin(2 )3g x x
π= +
12x
π= 2 3 2x
π π+ =
6x
π= 22 3 3x
π π+ =
x∈ 5
12
π−
6
π− 2 3x
π+ ∈
2
π−
x∈ 7
6
π
2 3x
π+ ∈
3
π 8
3
π 13 / 20
故选：ACD．
8．（2020·山东高三其他）【多选题】若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在区间 上单调递减
C． 不是函数 图象的对称轴 D． 在 上的最小值为
【答案】ACD
【解析】
．
的最小正周期为 ，选项 A 正确；
当 时， 时，故 在 上有增有减，选项 B 错误； ，故
不是 图象的一条对称轴，选项 C 正确；
当 时， ，且当 ，即 时， 取最小值 ，D 正
确．
故选：ACD
9．（2019·天津耀华中学高三月考）已知函数 的图象过点 ，
且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位长度后与原来的图象重合，当 ，
且 时， ，则 __________.
【答案】
【解析】
函数 的图象，过点 ，
( ) cos 2 12f x x
π = + 8
π
( )g x
( )g x π ( )g x 0, 2
π
12x
π= ( )g x ( )g x ,6 6
π π −
1
2
−
( ) cos 2 cos 28 12 3g x x x
π π π = + + = +
( )g x π
0, 2x
π ∈
42 ,3 3 3x
π π π + ∈ ( )g x 0, 2
π
012g
π =
12x
π= ( )g x
,6 6x
π π ∈ −
22 0,3 3x
π π + ∈
22 3 3x
π π+ =
6x
π= ( )g x 1
2
− 14 / 20
则： ，解得： ，由于： ，所以： .则： .
同时 的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合，
所以： .则： .
函数在 上单调，则： ，解得： .所以： .
则： .
函数的对称轴方程为： ，得 .
已知： ，且 时，则：当 时， .
由于： ，则 .
故答案为： .
10．（2020·四川内江�高一期末（理））已知函数 （其中 ， ， ，
）的部分图象如图所示， 是图象的最高点， 为图象与 轴的交点， 为坐标原点.若
， ， .
（1）求 的大小；
（2）求函数 的解析式；
（3）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
( ) sin( )f x A xω ϕ= + x∈R 0A > 0>ω
0 2
πϕ< < P Q x O
6OQ = 4OP = 2 7PQ =
POQ∠
( )y f x=
[ 2,2]α ∈ − 3( ) 2f α = sin 8
π α
3
π
( ) 2 3sin( )8 4f x x
π π= + 2 30
8
− 15 / 20
【解析】
（1）在 中， ,
;
（2）由（1）知 ，即 ，
，周期 ，
即 ， ，
将 代入 ，得 ，
， ，
；
（3） ，
，
， ，
，
.
1．（2020·天津高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
OPQ△
2 2 2 16 36 28 1cos 2 2 4 6 2
OP OQ PQPOQ OP OQ
+ - + -Ð = = =× ´ ´
3POQ p\ Ð =
2, 2 3P Px y= = ( )2,2 3P
2 3A\ = ( )4 6 2 16T = ´ - =
2 16
π
ω =
8
πω∴ =
P ( ) 2 3sin( )8f x x
π ϕ= + sin 14
π ϕ + =
0 2
πϕ< > <
( )y f x= ( )g x ( )g x
2π 24g
π =
3
8f
π =
2− 2− 2 2
( )f x (0) sin 0 = , 0,f A k kϕ ϕ π= = ∴ =， 0ϕ =
1 2( ) sin , 2 ,12
2
g x A x T
πω π
ω
= ∴ = =
2ω = 2A = ( ) 24g
π =
( ) 2sin 2f x x= 3( ) 2.8f
π =
πsin(2 )43 x﹢ π
6
5
24x
π= −
3sin[2( ) ] 3sin(2 )6 4 12y x x
π π π= − + = −
72 ( ) ( )12 2 24 2
kx k k Z x k Z
π π π ππ− = + ∈ ∴ = + ∈
1k = − 5
24x
π= − 18 / 20
故答案为：
4.(2019 年高考浙江卷)设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
5. （2017·北京高考真题（文））已知函数 .
（I）求 f(x)的最小正周期；
（II）求证：当 时， ．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（Ⅰ） .
所以 的最小正周期 .
( ) sin ,f x x x= ∈R
[0,2 ),θ ∈ π ( )f x θ+ θ
2 2[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x
π π= + + +
π
2
θ = 3π
2
3 3[1 ,1 ]2 2
− +
( ) sin( )f x xθ θ+ = + sin( ) sin( )x xθ θ+ = − +
sin cos cos sin sin cos cos sinx x x xθ θ θ θ+ = − +
2sin cos 0x θ =
cos 0θ =
[0,2π)θ ∈ π
2
θ = 3π
2
2 2
2 2π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x
= + + + = + + +
π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 36 2 1 cos2 sin 22 2 2 2 2
x x
x x
− + − + = + = − −
3 π1 cos 22 3x = − +
3 3[1 ,1 ]2 2
− +
5
24x
π= − 19 / 20
（Ⅱ）因为 ，
所以 .
所以 .
所以当 时， .
6．（2017·浙江高考真题）已知函数
（I）求 的值
（II）求 的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II） 的最小正周期是 ， .
【解析】
（Ⅰ）由 ， ，
．
得 ．
（Ⅱ）由 与 得
．
．
所以 的最小正周期是 ．
由正弦函数的性质得
，
解得 ，
( ) ( )2 2f x sin x cos x 2 3sinxcosx x R= − − ∈
2f 3
π
( )f x
( )f x π 2+k +k k6 3 Z
π ππ π ∈ ，
2 3sin 3 2
π = 2 1cos 3 2
π = −
2 22 3 1 3 12 33 2 2 2 2f
π = − − − × × −
2 23f
π =
2 2cos2 cos sinx x x= − sin2 2sin cosx x x=
( ) cos2 3sin2f x x x= − −
2sin 2 6x
π = − +
( )f x π
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 20 / 20
所以， 的单调递增区间是 ．( )f x 2,6 3k k k Z
π ππ π + + ∈ ，
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