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学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列结论不正确的是(  ) A.若 y=3,则 y′=0 B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 C.若 y=- x+x,则 y′=- 1 2 x +1 D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x 【解析】 ∵y=sin x+cos x, ∴y′=(sin x)′+(cos x)′=cos x-sin x.故选 D. 【答案】 D 2.函数 y=( x+1)( x-1)的导数等于(  ) A.1          B.- 1 2 x C. 1 2x D.- 1 4x 【解析】 因为 y=( x+1)( x-1)=x-1,所以 y′=x′-1′ =1. 【答案】 A 3.曲线 y= x x+2 在点(-1,-1)处的切线方程为(  ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+2 【解析】 ∵y′=x′(x+2)-x(x+2)′ (x+2)2 = 2 (x+2)2 ,∴k=y′|x=-1= 2 (-1+2)2 =2, ∴切线方程为 y+1=2(x+1), 即 y=2x+1.故选 A. 【答案】 A 4.已知曲线 y=x2 4 -3ln x 的一条切线的斜率为1 2 ,则切点的横坐标 为(  ) A.3 B.2 C.1 D.1 2 【解析】 因为 y′=x 2 -3 x ,所以由导数的几何意义可知,x 2 -3 x = 1 2 ,解得 x=3(x=-2 不合题意,舍去). 【答案】 A 5.函数 f(x)=x3 的斜率等于 1 的切线有(  ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不确定 【解析】 ∵f′(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则 3x20=1,得 x0=± 3 3 ,即在点( 3 3 , 3 9 )和点(- 3 3 ,- 3 9 )处有斜率为 1 的切线.故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6.已知 f(x)=5 2 x2,g(x)=x3,若 f′(x)-g′(x)=-2,则 x=________. 【导学号:26160079】【解析】 因为 f′(x)=5x,g′(x)=3x2,所以 5x-3x2=-2,解 得 x1=-1 3 ,x2=2. 【答案】 -1 3 或 2 7.若曲线 y=x- 1 2 在点(a,a- 1 2 )处的切线与两个坐标轴围成的三角 形的面积为 18,则 a=________. 【解析】 ∵y=x- 1 2 ,∴y′=-1 2 x- 3 2 , ∴曲线在点(a,a- 1 2 )处的切线斜率 k=-1 2 a- 3 2 , ∴切线方程为 y-a- 1 2 =-1 2 a- 3 2 (x-a). 令 x=0 得 y=3 2 a- 1 2 ;令 y=0 得 x=3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=1 2 ·3a· 3 2 a- 1 2 =9 4 a 1 2 =18,∴a=64. 【答案】 64 8.已知函数 f(x)=f′(π 4 )cos x+sin x,则 f (π 4 )的值为________. 【解析】 ∵f′(x)=-f′(π 4 )sin x+cos x, ∴f′(π 4 )=-f′(π 4 )× 2 2 + 2 2 , 得 f′(π 4 )= 2-1. ∴f(x)=( 2-1)cos x+sin x,∴f(π 4 )=1.【答案】 1 三、解答题 9.求下列函数的导数: (1)y=(x+1)2(x-1); (2)y=x2sin x; (3)y=ex+1 ex-1 . 【解】 (1)法一:y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+ 1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1. 法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1, y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1. (2)y′=(x2sin x)′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′=(ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′ (ex-1)2 =ex(ex-1)-(ex+1)ex (ex-1)2 = -2ex (ex-1)2 . 10.设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)= -b,其中常数 a,b∈R.求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 【解】 因为 f(x)=x3+ax2+bx+1, 所以 f′(x)=3x2+2ax+b. 令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,又 f′(1)=2a, 所以 3+2a+b=2a,解得 b=-3. 令 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,又 f′(2)=-b,所以 12+4a+b= -b,解得 a=-3 2 . 所以 f(x)=x3-3 2 x2-3x+1,从而 f(1)=-5 2 .又 f′(1)=2×(-3 2 )=-3,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 方程为:y-(-5 2 )=-3(x-1),即 6x+2y-1=0. [能力提升] 1.已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为(  ) A. 1 e B.-1 e C.-e D.e 【解析】 y′=ex,设切点为(x0,y0),则Error! ∴ex0=ex0·x0,∴x0=1,∴k=e.故选 D. 【答案】 D 2.若 f0(x)=sin x,f 1(x)=f′ 0(x),f 2(x)=f′ 1(x),…,f n+1 (x)= f′n(x),n∈N,则 f2 016(x)=(  ) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 【解析】 因为 f1(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)=(-cos x)′=sin x,f5(x)=(sin x)′= cos x,所以循环周期为 4,因此 f2 016(x)=f4(x)=sin x. 【答案】 A 3.已知 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,则 f′(0)= ________. 【解析】 因为 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6, 所以 f′(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+2)(x+3)(x+ 4)(x+5)+x(x+1)(x+3)(x+4)·(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)+x(x +1)(x+2)(x+3)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4), 所以 f′(0)=1×2×3×4×5=120.【答案】 120 4.设函数 f(x)=ax-b x ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x -4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)求证:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 【导学号:26160080】 【解】 (1)7x-4y-12=0 可化为 y=7 4 x-3. 当 x=2 时,y=1 2 .又 f′(x)=a+b x2 , 于是Error!解得Error! 故 f(x)=x-3 x . (2)证明:设点 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+3 x2 可知曲线 y =f(x)在点 P(x 0,y0)处的切线方程为:y-y 0=(1+3 x20)(x-x 0),即 y- (x0-3 x0)=(1+3 x20)(x-x0). 令 x=0,得 y=- 6 x0 ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为 (0,-6 x0).令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标 为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积 为1 2 ·|-6 x0|·|2x0|=6.故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 围成的三角形 的面积为定值,此定值为 6. 查看更多

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