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学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点, 它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线(  ) A.有且仅有一条     B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 【解析】 由定义,知|AB|=5+2=7,因为|AB|min=4,所以这样 的直线有且仅有两条. 【答案】 B 2.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两 点,则弦 AB 的长为(  ) A.2 13 B.2 15 C.2 17 D.2 19 【解析】 设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由直线 AB 斜率为-2,且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),代入抛物 线方程 y2=8x 得 4(x-1)2=8x,整理得 x2-4x+1=0,则 x1+x2=4,x1x2 =1,|AB|= 5 (x1+x2)2-4x1x2= 5 16-4=2 15.故选 B. 【答案】 B 3.(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|=5 4 x0,则 x0=(  ) A.1    B.2 C.4    D.8 【解析】 由 y2=x 得 2p=1,即 p=1 2 ,因此焦点 F(1 4 ,0),准线方程为 l:x=-1 4 ,设 A 点到准线的距离为 d,由抛物线的定义可知 d= |AF|,从而 x0+1 4 =5 4 x0,解得 x0=1,故选 A. 【答案】 A 4.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线 方程为(  ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 A,B 两点在抛物线上,得 y21=2px1,① y22=2px2,② 由①-②,得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2).又线段 AB 的中点的纵 坐标为 2,即 y1+y2=4,直线 AB 的斜率为 1,故 2p=4,p=2,因此 抛物线的准线方程为 x=-p 2 =-1. 【答案】 B 5.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一 点,若 O A→ ·A F→ =-4,则点 A 的坐标为(  ) 【导学号:26160061】 A.(2,±2 2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2 2) 【解析】 设 A(x,y),则 y2=4x,① O A→ =(x,y),A F→ =(1-x,-y),O A→ ·A F→ =x-x2-y2=-4,② 由①②可解得 x=1,y=±2. 【答案】 B二、填空题 6.抛物线 y 2 =4x 上的点到直线 x-y+4=0 的最小距离为 ________. 【解析】 可判断直线 y=x+4 与抛物线 y2=4x 相离, 设 y=x+m 与抛物线 y2=4x 相切, 则由Error!消去 x 得 y2-4y+4m=0. ∴Δ=16-16m=0,m=1. 又 y=x+4 与 y=x+1 的距离 d=|4-1| 2 =3 2 2 , 则所求的最小距离为3 2 2 . 【答案】 3 2 2 7.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1, y1),B(x2,y2)两点,则 y21+y 21的最小值是________. 【解析】 设 AB 的方程为 x=my+4,代入 y2=4x 得 y2-4my- 16=0,则 y1+y2=4m,y1y2=-16, ∴y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32, 当 m=0 时,y21+y 22最小为 32. 【答案】 32 8.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB| =25 12 ,|AF|<|BF|,则|AF|=________. 【解析】 设过抛物线焦点的直线为 y=k(x-1 2), 联立得Error!整理得 k2x2-(k2+2)x+1 4 k2=0, x1+x2=k2+2 k2 ,x1x2=1 4 . |AB|=x1+x2+1=k2+2 k2 +1=25 12 ,得 k2=24, 代入 k2x2-(k2+2)x+1 4 k2=0 得 12x2-13x+3=0, 解之得 x1=1 3 ,x2=3 4 ,又|AF|<|BF|, 故|AF|=x1+1 2 =5 6 . 【答案】 5 6 三、解答题 9.求过定点 P(0,1),且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线方 程. 【解】 如图所示,若直线的斜率不存在, 则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0, 由Error!得Error! 即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点. 若直线的斜率存在, 则设直线为 y=kx+1,代入 y2=2x 得: k2x2+(2k-2)x+1=0,当 k=0 时,直线方程为 y=1,与抛物线只有一个交点. 当 k≠0 时,Δ=(2k-2)2-4k2=0⇒k=1 2 .此时,直线方程为 y=1 2 x+ 1. 可知,y=1 或 y=1 2 x+1 为所求的直线方程. 故所求的直线方程为 x=0 或 y=1 或 y=1 2 x+1. 10.已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于 4,求 此抛物线的标准方程. 【解】 由题意,抛物线方程为 y2=2px(p≠0), 焦点 F(p 2 ,0),直线 l:x=p 2 , ∴A,B 两点坐标为(p 2 ,p),(p 2 ,-p), ∴|AB|=2|p|. ∵△OAB 的面积为 4, ∴1 2 ·|p 2 |·2|p|=4,∴p=±2 2. ∴抛物线方程为 y2=±4 2x. [能力提升] 1.(2014·全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜 角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=(  ) A. 30 3 B.6 C.12 D.7 3 【解析】 ∵F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,∴F(3 4 ,0), ∴AB 的方程为 y-0=tan 30°(x-3 4), 即 y= 3 3 x- 3 4 . 联立Error!得 1 3 x2-7 2 x+ 3 16 =0. ∴x1+x2=- -7 2 1 3 =21 2 ,即 xA+xB=21 2 . 由于|AB|=xA+xB+p,所以|AB|=21 2 +3 2 =12. 【答案】 C 2.已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,O 为原点,若|OA→ |= |OB→ |,且抛物线的焦点恰好为△AOB 的垂心,则直线 AB 的方程是(  ) A.x=p B.x=3 2 p C.x=5 2 p D.x=3p 【解析】 ∵|OA→ |=|O B→ |, ∴A,B 关于 x 轴对称. 设 A(x0, 2px0),B(x0,- 2px0). ∵AF⊥OB,F(p 2 ,0),∴ 2px0 x0-p 2 ·(- 2px0 x0 )=-1, ∴x0=5 2 p. 【答案】 C 3.(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0) 的距离和到直线 x=-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0) 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是________. 【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以 F(1,0)为焦点,x=-1 为准线的抛物线,其方程为 y2=4x.设过点(-1,0)且斜率为 k 的直线方 程为 y=k(x+1).代入 y2=4x,得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0.∵机器人接 触不到该直线,∴Δ=(2k2-4)2-4k41.∴k>1 或 k0)的顶点关于直 线 l 的对称点在该抛物线的准线上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 A,B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m, 直线 OB 与直线 m 交于点 N,若 O A→ ·O B→ =0(O 为原点,A,B 异于原 点),试求点 N 的轨迹方程. 【导学号:26160062】 【解】 (1)直线 l:y=1 2 x+5 4 .① 过原点且垂直于 l 的直线方程为 y=-2x.② 由①②,得 x=-1 2 . ∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上,∴-p 2 =-1 2 ×2,∴p=2. ∴抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y). 由 O A→ ·O B→ =0,得 x1x2+y1y2=0. 又 y21=4x1,y22=4x2, 解得 y1y2=-16.③ 直线 ON:y=y2 x2x,即 y=4 y2x.④ 由③④及 y=y1,得点 N 的轨迹方程为 x=-4(y≠0). 查看更多

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