天天资源网 / 中小学试题 / 中学数学试题 / 高三高考下册数学试题 / 模拟试题 / 北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题（解析版）
资料简介
房山区 2020 年高考第二次模拟检测
高三数学
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1.已知全集 ，集合 ，那么集合 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算 ，再计算补集得到答案.
【详解】 ， ，解得 或 ，故 ，
故 .
故选：D.
【点睛】本题考查解不等式，补集的计算，属于简单题.
2.在△ 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】根据正弦定理： ，故 ，解得 .
故选：B.
U = R 2{ | 0}A x x x= − > U A =
( ,0] [1, )−∞ ∪ +∞ ( ,0) (1, )−∞ ∪ +∞
(0,1) [0,1]
( ) ( ),0 1,A = −∞ ∪ +∞
2{ | 0}A x x x= − > 2 0x x− > 1x > 0x < ( ) ( ),0 1,A = −∞ ∪ +∞
[0,1]U A =
ABC π
4A = π
3B = 2 3a = b =
2 3 3 2
2 6 3 3
sin sin
a b
A B
=
2 3
sin sin4 3
b
π π=
3 2b =
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
3.函数 的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 ，利用周期公式得到答案.
【详解】 ，故周期 .
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4.若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到 ，再根据 计算即可.
【详解】由题知：双曲线 的渐近线方程为 ，
因为渐近线方程过点 ，
所以 过点 ，即 .
.
故选：C
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意找到 的关系式为解题的关键，属于简单题.
( ) sin π cos πf x x x=
1 2
π 2π
1( ) sin 22f x xπ=
1( ) sin π cos π sin 22f x x x xπ= = 2 12T
π
π= =
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> > (1, 3)
2 3
2 5
3b
a
= 2
21 be a
= +
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> > by xa
= ±
(1, 3)
by xa
= (1, 3) 3b
a
=
2 2 2 2
2 2 21 1 3 2c a b be a a a
+= = = + = + =
, ,a b c
5.函数 的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，得到 .分别画出 和 的图象可知当 时，函数 和
有一个交点.当 时，利用导数研究函数 的单调性和最值即可得到零点个数，再综合
和 的情况即可得到函数的零点个数.
【详解】令 ，得： ，
分别画出 和 的图象，如图所示：
当 时，函数 和 有一个交点.
当 时， ，
令 ， ， ， .
当 ， ， 为减函数，
当 ， ， 为增函数.
所以 ，
所以 在 为增函数，
又因为 ，所以 ， .
2( ) xf x e x= −
0 1
2 3
2( 0) xf x e x= − = 2xe x= xy e= 2y x= 0x < xy e= 2y x=
0x > 2( ) xf x e x= − 0x <
0x >
2( 0) xf x e x= − = 2xe x=
xy e= 2y x=
0x < xy e= 2y x=
0x > ( ) 2xf x e x′ = −
( ) 2xg x e x= − ( ) 2xg x e′ = − ( ) 0g x′ = ln 2x =
(0,ln 2)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
x (ln 2, )∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
ln2
min ( ) (ln 2) 2ln 2 2 ln 4 0g x g e= = − = − >
( )f x (0, )+∞
(0) 1f = (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x >
故 在 无零点.
综上：函数 的零点个数为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
6.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】若 ，则 ，则若 ，则 ，故是充分条件；
若 ，取 ，则 ，故不是必要条件.
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7.已知函数 ，则 （ ）
A. 是奇函数，且在 上是增函数
B. 是奇函数，且在 上是减函数
C. 是偶函数，且在 上是增函数
D. 是偶函数，且在 上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.
【详解】
( )f x (0, )+∞
2( ) xf x e x= − 1
sin sinα β≠ α β≠
α β= sin sinα β= sin sinα β≠ α β≠
α β≠ 2α β π= + sin sinα β=
sin sinα β≠ α β≠
( ) lg |1 | lg |1 |f x x x= + + − ( )f x
(1, )+∞
(1, )+∞
(1, )+∞
(1, )+∞
( ) lg 1 lg 1f x x x− = − + +
，
是偶函数；
当 时， ，
设 ，则 在 上单增，
又 为增函数，所以 在 上单增，
是偶函数，且在 上是增函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看
函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）
直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函
数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）.
8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图可得直观图四棱锥 ，结合图形，即可得到最长的侧棱为 ，根据勾股定理即可求
出 的长．
【详解】根据三视图可得直观图四棱锥 ，如图：
( )f x=
( )f x∴
1x > ( ) ( ) ( )2( ) lg 1 lg 1 lg 1f x x x x= + + − = −
( ) 2 1t x x= − ( )t x (1, )+∞
( ) lgf t t= ( )2( ) lg 1f x x= − (1, )+∞
( )f x∴ (1, )+∞
( ) ( )f x f x− = ± ( ) ( ) 0f x f x− ± =
( )
( ) 1f x
f x
− = ± 1 1−
2 2 2
2 3 4
P ABCD− PB
PB
P ABCD−
底面是一个直角梯形， ， ， , ,且
底面 ，所以 ，
，
∴该四棱锥最长侧棱长为 .
故选:C
【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运
算求解能力.
9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ℃，空气的温度是 ℃，经过 分钟后物体的温度
℃可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于 的常数．现
有 ℃的物体，放在 ℃的空气中冷却， 分钟以后物体的温度是 ℃，则 约等于（参考数据：
）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
℃的物体，放在 ℃的空气中冷却，4 分钟以后物体的温度是 ℃，则 ，从而
，由此能求出 的值．
【 详 解 】 由 题 知 ， ℃ 的 物 体 ， 放 在 ℃ 的 空 气 中 冷 却 ，4 分 钟 以 后 物 体 的 温 度 是 ℃ ， 则
，从而 ，
，得 .
故选:D
【
AD AB⊥ / /AD BC 4=AD 2AB BC PO= = =
PO ⊥ ABCD 2 22 2 2 2PA PD PC= = = + =
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3PB PO OB PO OA AB= + = + + = + + =
2 3
1
θ 0
θ t θ
0 1 0( )e ktθ θ θ θ −= + − k 0
80 20 4 40 k
ln3 1.099≈
0.6 0.5
0.4 0.3
80 20 40 440 20 (80 20) ke−= + −
4 1
3
ke− = k
80 20 40
440 20 (80 20) ke−= + − 4 1
3
ke− =
14 ln ln33k∴− = = − 1 1.009ln3 0.34 4k = ≈ ≈
【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市
分别需要每隔 天、 天、 天、 天去配送一次．已知 月 日李明分别去了这四家超市配送，那么整个
月他不用去配送的天数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为 3、4、6、7 的倍数时要去配送，利用分类加法即可得
解.
【详解】将 月剩余的 30 天依次编号为 1，2，3 30，
因 甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔 天、 天、 天、 天去配送一次，且 月 日李明分别去了
这四家超市配送，
所以李明每逢编号为 3 的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为 4 的倍数的那天要去乙超市配送，每逢
编号为 6 的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为 7 的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共 10 天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共 5 天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共 0 天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共 2 天；
所以李明需要配送的天数为 ，
所以整个 月李明不用去配送的天数是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于
题目条件的转化与合理分类，属于中档题.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11.若 （ ），则 _________．
【答案】
【解析】
为
2 3 5 6 5 1 5
12 13
14 15
5 ⋅⋅⋅
2 3 5 6 5 1
10 5 0 2 17+ + + =
5 30 17 13− =
( )(1 ) 1 3m i i i+ + = + m R∈ m =
2
【分析】
由题意结合复数的乘法法则可得 ，由复数相等的条件即可得解.
【详解】由题意 ，
由 可得 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.
12.若直线 与圆 相切，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合圆的方程可得该圆圆心为 ，半径为 ，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】由题意圆的方程 可转化为 ，
所以该圆圆心为 ，半径为 ，
所以圆心到直线 的距离 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.
13.已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上， ，则点 的横坐标是________，△
（ 为坐标原点）的面积为_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点 的横坐标，得到点 坐标，继而可求△ （ 为坐标
原点）的面积.
【详解】因为 ，所以焦点 ，
设点 ，
( ) ( )1 1 1 3m m i i− + + = +
( ) ( )( )(1 ) 1 1 1 3m i i m m i i+ + = − + + = +
m R∈ 1 1
1 3
m
m
− =
+ = 2m =
2
3x = 2 2 2 0x y x a+ − − = a =
3
( )1,0 1a +
2 2 2 0x y x a+ − − = ( )2 21 1x y a− + = +
( )1,0 1a +
3x = 3 1 1d a= − = + 3a =
3
C 2 2y x= F M C | | 1MF = M
MOF O
1
2
1
4
M M MOF O
2 2y x= 1 ,02F
( )1 1,M x y
所以根据抛物线的定义由： ，
又 ，
所以 ，解得： ，
即点 的横坐标是 .
因为 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
故△ （ 为坐标原点）的面积为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长，
属于基础题.
14.已知正方形 的边长为 ，若 ，则 的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，进而得到 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系：
1
1
2MF x= +
| | 1MF =
1
1 12x + = 1
1
2x =
M 1
2
1
1
2MOFS y OF= × ×△
2
1
12 12y = × = 1 1y = 1
2OF =
1
1 1 1 1
2 2 2 4MOFS y OF= × × = × =△
MOF O 1
4
1
2
1
4
ABCD 2 3BP PD= PA PB⋅
3
4
,PA PB
则 ，
设 ，
，
因为 ，
，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15.对任意两实数 ， ，定义运算“ ”： 给出下列三个结论：
①存在实数 ， ， 使得 成立；
( ) ( ) ( ) ( )0, 2 , 0, 0 , 2, 0 , 2, 2A B C D
( ),P x y
( ) ( ), , 2 , 2= = − − BP x y PD x y
3BP PD=
( )
( )
3 2
3 2
x x
y y
= −
= −
3 2
4
3 2
4
x
y
=
=
3 2 3 2,4 4P
3 2 2 3 2 3 2, , ,4 4 4 4
= − = − −
PA PB
3 2 3 2 2 3 2 3
4 4 4 4 4
⋅ = − × − + × − =
PA PB
3
4
a b ∗ 2 2 , ,
2 2 , .
a b a ba b b a a b
− ≥∗ = − 2
1 2k ka S a+⋅ =
{ }na 12n
na -=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
2n ≥ 1n n na S S −= − na n= ( )1
2n
n nS
+=
2n ≥ 1n n na S S −= − 2 1na n= −
{ }na
12n
na -=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
2
1 2 2 1k
ka S +
+⋅ = − ( )22 1 2 22 2k k
ka − −= =
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka S a+⋅ =
2 2 22 1 2k k+ −− = 2 42 2 4 0k k+− + = ( )2
2 8 60k − =
2 8 2 15k = ±
k 1k > 1 2, ,k ka a S +
2n ≥ 1n n na S S n−= − =
1 1a = na n= *n N∈
( )1
2n
n nS
+=
( )( )
1 2
2 3
2k
k ka S +
+ +⋅ = 2 2
ka k=
若 成等比数列，则 ，即 ，
解得 ，或 （舍去），
故存在 ，使得 成等比数列；
若选③，则当 时， ，
又 符合上式，则 ， ，
∴ ， ，
若 成等比数列，则 ，
则 ，即 ，
解得 ，或 （舍去），
故存在 ，使得 成等比数列．
【点睛】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，考查计算能力，属于中档题．
18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在 时， 时，
时， 时公布实时在园人数．下表记录了 月 日至 日的实时在园人数：
日 日 日 日 日 日 日
时在园人
数
时在园人
数
时在园人
数
时在园人
数
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，
以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是 万人．
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka S a+⋅ = ( )( ) 22 3
2
k k k
+ + =
6k = 1k = −
6k = 1 2, ,k ka a S +
2n ≥ 1n n na S S −= − ( )22 1 2 1n n n= − − = −
1 1a = 2 1na n= − *n N∈
( )2
1 2 2ka S k+⋅ = + ( )22 2 1ka k= −
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka S a+⋅ =
( ) ( )2 22 2 1k k+ = − ( )( )3 1 3 0k k+ − =
3k = 1
3k = −
3k = 1 2, ,k ka a S +
10 12 14
16 10 1 7
1 2 3 4 5 6 7
10
11526 18005 19682 8284 13830 10101 6663
12
26518 37089 42931 16845 34017 23168 14800
14
37322 38045 40631 20711 36558 24706 15125
16
27306 29687 30638 16181 20821 16169 10866
40% 8
（Ⅰ）甲同学从 月 日至 日中随机选 天的下午 时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从 月 日至 日中任选两天，记这两天中这 个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为 ，求
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据 月 日至 日每天 时的在园人数，判断从哪天开始连续三天 时的在园人数的方差最大？
（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 的分布列见解析，数学期望 ；（Ⅲ）从10 月 3 日开始连续三天
时的在园人数的方差最大．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得，在园人数为 万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即
可；
（Ⅱ）从 月 日至 日中，这 个时间的游览舒适度都为“舒适”的有 4 日、6 日、7 日，得 的取值可能
为 0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；
（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．
【详解】解：∵ 以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是 万人，
∴在园人数为 万人以下为“舒适”，
（Ⅰ） 月 日至 日的下午 时去该公园游览，“舒适”的天数为 3 天，
∴甲同学遇上“舒适”的概率 ；
（Ⅱ）从 月 日至 日中，这 个时间的游览舒适度都为“舒适”的有 4 日、6 日、7 日，
∴ 的取值可能为 0，1，2，且服从超几何分布，
∴ ，
，
，
∴ 的分布列为
0 1 2
10 1 7 1 14
10 1 7 4 X X
10 1 7 12 12
3
7 X ( ) 6
7E X = 12
8 40% 3.2× =
10 1 7 4 X
40% 8
8 40% 3.2× =
10 1 7 14
3
7P =
10 1 7 4
X
( ) 2 0
4 3
2
7
6 20 21 7
C CP X C
= = = =
( ) 1 1
4 3
2
7
12 41 21 7
C CP X C
= = = =
( ) 0 2
4 3
2
7
3 12 21 7
C CP X C
= = = =
X
X
∴ 的数学期望 ；
（Ⅲ）从 10 月 3 日开始连续三天 时的在园人数的方差最大．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的
定义，属于基础题．
19.已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为原点，点 在椭圆 上，点 和点 关于 轴对称，直线 与直线 交于点 ，求证：
， 两点的横坐标之积等于 ，并求 的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析； 的取值范围是 .
【解析】
【分析】
（I）根据椭圆的顶点、离心率以及 求得 ，从而求得椭圆的方程.
（II）设出 的坐标，求得直线 和直线 的方程，由此求得交点 的坐标，进而证得 两点
的横坐标之积等于 .求得 的表达式，由此求得 的取值范围.
【详解】（I）由于椭圆焦点在 轴上，所以 ， 所以椭圆的方程为 .
（II）设 则 、 . 依题意可知 ，且 .直线
的方程为 ，直线 的方程为 .由 解得 ，
即 .所以 两点的横坐标之积为 .由
P 2
7
4
7
1
7
X ( ) 2 4 1 60 1 27 7 7 7E X = × + × + × =
12
C ( 2,0)A − (2,0)B x 1
2
C
O P C Q P x AP BQ M
P M 4 OM
2 2
14 3
x y+ = OM ( )2,+∞
2 2 2a b c= + , ,a b c
,P Q AP BQ M ,P M
4 OM OM
x
2 2 2
2 2
1 12
3
a a
c ca
ba b c
= = = ⇒ =
== +
2 2
14 3
x y+ =
( )P m n, ( ),Q m n−
2 2 2
21 3 14 3 4
m n mn
+ = ⇒ = − 2 2m− < < 0m ≠
AP ( )22
ny xm
= ++ BQ ( )22
ny xm
= −−
( )
( )
22
22
ny xm
ny xm
= + +
= − −
4
2
x m
ny m
=
=
4 2, nM m m
,P M 4 4m m
⋅ = OM
.由于 ，且
，所以 ， .也即 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查根据 求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，考查椭圆中的范围问题，属于中
档题.
20.已知函数 ．
（1）求函数 的定义域；
（2）求曲线 在点 处的切线方程；
（3）求证：当 时， ．
【答案】（1） ；（2） ;（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由分母不等于 0 解不等式可求得定义域；
（2）根据导数的几何意义易求出切线方程；
（3）先求导判断函数 在 上的单调性，再求出 最小值，命题得证.
【详解】解：（1）由 得， ， .所以函数 的定义域为
.
（2）由 得： ，又 ，所以
曲线 在点 处的切线方程为： .
（3）由（2）得， .
当 时， 与 单调递增，
所以 在 上单调递增.
2
2 2 2
2 2
16 4 3 1 44 2 16 4
m
n n
m m m m
+ × − + = + = =
2
2
28 3m
m
−= 2
28 3m
= − 2 2m− < <
0m ≠ 2
2
280 4, 7m m
< < >
2
28 3 2m
− > OM ( )2,+∞
, ,a b c
cos( ) e1 sin
xxf x x
= ++
( )f x
( )f x (0 (0))f，
π π( , )2 2x∈ − ( ) 2f x ≥
| 2 ,2x x k k Z
π π ≠ − + ∈ 2y =
( )f x π π( , )2 2x∈ − ( )f x
1 sin 0x+ ≠ 22x kππ≠ − + k Z∈ ( )f x
| 2 ,2x x k k Z
π π ≠ − + ∈
( ) ( )
( )2
sin 1 sin cos cos 1
1 sin1 sin
x xx x x xf x e exx
− + − ⋅ −= =′ + +++ ( )0 0f ′ = ( )0 2f =
( )f x (0 (0))f， 2y =
( ) 1
1 sin
xf x ex
−= ++
′
π π( , )2 2x∈ − 1
1 siny x
−= +
xy e=
( ) 1
1 sin
xf x ex
−= ++
′ π π( , )2 2
−
又 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 .
【点睛】本题考查了函数的定义域求法、导数的几何意义及函数的最值，是高考基本知识，属于中档题.
21.已知集合 的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合 分成元素个数相同且两两没
有公共元素的三个集合 ， ， ，即 ， ， ， ，其中
， ， ，且满足 ， ，
，则称集合 为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合 ， ，判断集合 和集合 是否为“完美集合”？并说明理由；
（Ⅱ）已知集合 为“完美集合”，求正整数 的值；
（Ⅲ）设集合 ，证明：集合 为“完美集合”的一个必要条件是 或
．
【答案】（Ⅰ）集合 是“完美集合”，集合 不是“完美集合”，理由见解析；（Ⅱ）7，9，11 中中任一个；
（Ⅲ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据“完美集合”的定义判断.
（Ⅱ）根据“完美集合”的定义，写出集合 A，B，C 的所有情况，算出 x 的所有可能的值.
（Ⅲ）根据集合 中所有元素的和为 ，以及
和
得到 ，利用 为正整数求解.
【详解】（Ⅰ） 是“完美集合”，此时， ， ， ，
满足 ， .
不 “完美集合”，
若 为“完美集合”，将 分成 3 个集合，每个集合中有两个元素，则 ， .
是
( )0 0f ′ = ( )f x π( ,0)2
− (0, )2
π
( ) ( ) ( )min 0 2f x f x f≥ = =
P 3n *( )n N∈ P
A B C P A B C= ∪ ∪ A B = ∅ A C∩ = ∅ B C = ∅
1 2{ , , , }nA a a a= 1 2{ , , , }nB b b b= 1 2{ , , , }nC c c c= 1 2 nc c c< <
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