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三省三校第四次模拟(内部) 数学试卷(理科) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 ,解对数不等式求得集合 ,由此求得 . 【详解】由 ,解得 ,所以 .由 ,解得 , 所以 .所以 . 故选:A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合并集的概念和运算, 属于基础题. 2.已知复数 ( 为虚数单位, ), 在复平面上对应的点在第四象限,则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数除法运算化简 ,根据 在复平面上对应的点在第四象限列不等式组,解不等式组求得 的取值范 围. 【详解】 , 由题意知 ,所以 . 故选:B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题. { }2| 4 0= −   − { }na 1 2a = 5 28a a= { }na 7S =【分析】 求等比数列基本量公比 ,再求前 项和 . 【详解】由 , 有 , . 故选:B. 【点睛】本题考查等差等比数列通项公式及等比数列前 项和 . 等比数列基本量涉及五个量: ,已知其中三个量,选用恰当的公式,利用方程(组)可求 出剩余的两个量. 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 的值为 2,则输出 的值为( ) A. 123 B. 125 C. 127 D. 129 【答案】C 【解析】 【分析】 先执行循环体语句,再判断,直到当 成立时,退出循环体,输出此时 的值. 【详解】因为输入的 的值为 2,所以 ,显然此时 不成立,再进入循环体, 所以 ,显然此时 不成立,再进入循环体,所以 ,显然此时 成 立,退出循环体,输出 的值为 127. 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图中循环结构的输出问题,考查了数学运算能力. 6.已知 , 是两个不同平面, , 是两条不同直线,①若 , , 则 ;②若 q n nS 5 28a a= 3 35 2 8 2aq a ∴ = = = 2q = ( )7 7 2 1 2 2541 2S × − = =− n nS 1 n na n Sq a, , , , x x 100x > x x 22 1 3x = − = 100x > 32 1 7x = − = 100x > 72 1 127x = − = 100x > x α β m n n β⊥ //α β m α⊥ //nm, , 则 ;③若 , , ,则 ;④若 , , , 则 ;在上述四个命题中,真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据面面平行的判定定理、平行线的性质、线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理对四个命题,逐一 判断即可选出正确答案. 【详解】①根据线面垂直的性质可知,若 , , 则 ,①正确; ②若 , , 则 , 相交或异面,故②错误; ③根据线面垂直判定定理可知,若 , ,则 ,又因为 ,则 ,故③正确; ④若 , , ,则 ,或 , 相交或异面,故④错误. 只有①③正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、面面平行的判定、平行线的性质、线面平行的性质定理考查了空间 想象能力. 7.已知函数 是偶函数,则函数 的最大值为( ) A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由偶函数的定义 化简可求得 ,则 ,借助基本不等式和余弦 函数性质即可得解. 【详解】因为函数 是偶函数, 所以 ,即 ,化简可得: , //m α α β⊥ n β⊥ //nm n β⊥ //α β //m α m n⊥ m α⊥ α β⊥ βn// m n⊥ n β⊥ //α β m α⊥ //nm //m α α β⊥ n β⊥ //nm ,m n n β⊥ //α β n α⊥ //m α m n⊥ m α⊥ α β⊥ βn// m n⊥ //nm ,m n ( ) 2 cos 4 x x xf x a = + ( )f x 1 2 ( ) ( )f x f x− = 1a = ( ) 2 cos cos=4 1 2 2 x x x x x xf x −= + + ( ) 2 cos 4 x x xf x a = + ( ) ( )f x f x− = ( )2 cos 2 cos 4 4 x x x x x x a a − − − =+ + ( )4 1 4 1x xa − = −解得: ,即 . 又因为 , , 所以 (当且仅当 时两个“ ”同时成立). 故选:C. 【点睛】本题考查偶函数的定义,考查求函数的最值,合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键, 属于中档题. 8.已知 α 为锐角,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 ,求得 .进而求得 .因为 利用两 角差的正弦公式即可求得 ,进而得到 , ,计算可得出结果. 【详解】因为 ,所以 . 因为 ,所以 . 所以 , , 所以 , , 所以 . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题,考查了三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦公 1a = ( ) 2 cos cos=4 1 2 2 x x x x x xf x −= + + cos 1x ≤ 2 2 2x x−+ ≥ ( ) 1 2f x ≤ 0x = = 3cos 4 5 πα + =   tan2α = 7 10 3 10 1 3 7 24 0, 2 πα  ∈   3,4 4 4 α π π π + ∈   4sin 4 5 πα + =   sin sin 4 4 π πα α = + −   sinα cosα sin 2 ,cos2 ,α α 0, 2 πα  ∈   3,4 4 4 α π π π + ∈   3cos 4 5 πα + =   4sin 4 5 πα + =   4 2 3 2 2sin sin sin cos cos sin4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10 π π π π π πα α α α     = + − = + − + = × − × =           2 2 7 2cos 1 10 10 α  = − =    2 7 2 7sin 2 2 10 10 25 α = × × = 2 2 24cos2 1 2 10 25 α  = − × =    7tan 2 24 α =式和二倍角公式,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 9.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,圆 : 与 双曲线的一个交点为 ,若 ,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由圆与双曲线相交可知 ,据此知 为直角三角形,利用勾股定理及双曲线的 定义即可求解. 【详解】设 , ,焦距为 , 由 得 , 所以 , 所以 为直角三角形, 有 ,解得 , 又 , 所以 . 故选:D 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据直角三角形的边角关系以及双曲线的定义建立方程是解 决本题的关键. 10.把函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象,函数 图 像的一条对称轴为直线 ,若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是( ) A. 2 或 5 B. 2 或 3 C. 2 D. 5 【答案】C 2 2 2 2: 1x yC a b − = ( )0, 0a b> > 1F 2F O 22 22 0x y a b+ − − = P 1 23PF PF= 3 1 2 + 2 3 1+ 1 2| | | |= | |PO c OF OF= = 1 2PF F△ 2PF x= 1 3PF x= 2c 22 22 0x y a b+ − − = 2 2 2x y c+ = 1 2| | | |= | |PO c OF OF= = 1 2PF F△ 2 2 23 4x x c+ = x c= 1 22 | | | | 3a PF PF x x= − = − ( )2 3 1 3 1 ce x = = + − ( ) cos 3f x x πω = +   ( )0ω > 6 π ( )g x ( )g x 6x π= ( )f x 2,3 3 π π     ω【解析】 【分析】 函数 图象向左平移 个单位得到 ,由一条对称轴为 ,代入对称轴 方程,即可得到 ,根据 上单调递增可得 ,计算即可得出结果. 【详解】把函数 的图象向左平移 得到 , 因为一条对称轴为直线 ,所以 , 解得: ,又由 ,有 ,故 ,经检验知 合题意. 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换,考查对称轴、周期、单调性等知识,熟练掌握三角函数的图 象和性质是解题的关键,属于中档题. 11.已知三棱锥 (记 所在的平面为底面)内接于球 , ,当三棱锥 侧面积最大时,球 的体积为 ,则此时 的面积为( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设 , , ,当三棱锥 三个侧面的面积之和最大时, , , 两两垂直,此时球 的直径为以 , , 为棱的长方体的对角线. 又 ,得 , 所以 ,有 ,得 , 则 , , 此时 , , ,由 , ( )f x 6 π ( )=cos 6 3g x x π πω ω + +   6x π= 3 1kω = − 2,3 3 π π     2 2 3 32T π π π ω  = −   ≥ ( )f x 6 π ( ) cos =cos6 3 6 3g x x x π π π πω ω ω    = + + + +         6x π= =6 6 3 3 3 k π π π π πω ω ω π+ + + = ( )k ∈Z 3 1kω = − ( )k ∈Z 2 2 3 32T π π π ω  = −   ≥ 3ω ≤ 2ω = 2ω = P ABC− ABC O : : 1: 2:3PA PB PC = P ABC− O 56 14 3 ABC PA x= 2PB x= 3=PC x P ABC− PA PB PC O PA PB PC 34 56 14 3 3Rπ π= 14R = 2 2 2 24PA PB PC R+ + = ( )2214 4 14x = × 2x = 2PA = 4PB = 6PC = 2 5AB = 2 10AC = 2 13BC = 20 40 52 2cos 102 2 5 2 10 BAC + −∠ = = × ×, 的面积为 . 故选:C 【点睛】本题考查球的内接几何体问题,考查补形方法的应用,考查球的体积公式的应用,三棱锥 三个侧面的面积之和最大时, , , 两两垂直以及此时将之补成长方体得出球的直径是解题的 关键,属于中档题. 12.若不等式 恒成立,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 当 时 , , , 显 然 成 立 ; 当 时 , 不 等 式 , 化 为 ,两边取对数得到 ,进而转化为 恒成立,构造新函数 ,利用导数求得函数 的单调性与最值,即可求解. 【详解】由题意,当 时, ,可得 , ①当 时, ,则 ,不等式显然成立; ②当 时,不等式 ,可化为 , 两边取对数,可得 , 令 ,可得 , 又由函数 单调递增,所以只需 ,即 在 恒成立, 令 ,有 , , 由 ,即 ,解得 , 由 ,即 ,解得 , 所以函数 的增区间为 ,减区间为 , 7 2sin 10BAC∠ = ABC 1 7 22 5 2 10 142 10 × × × = P ABC− PA PB PC 2 lnmx xmxe ≥ m 2 1 ,e  +∞  1 ,2e  +∞  1,e  +∞   1 , e  +∞  0 1x< ≤ ln 0x < 2mx 0mxe > 1x ≥ 2mx lnmxe x≥ 22 mx lnmx e x x≥ ( ) ( )2 2ln lnln lnmx mx xx+ ≥ + 2 ln xm x ≥ ( ) 2 ln xh x x = ( )h x x e= 2m 1eme e⋅ ≥ 0m > 0 1x< ≤ ln 0x < 2mx 0mxe > 1x ≥ 2mx lnmxe x≥ 22 mx lnmx e x x≥ ( ) ( )2 2ln lnln lnmx mx xx+ ≥ + ( ) ln , 1g x x x x= + ≥ ( ) ( )2 lng mx xg≥ ( )g x 2 lnmx x≥ 2 ln xm x ≥ [1, )+∞ ( ) 2 ln xh x x = ( ) 4 3 2 ln 1 2lnx x x xh x x x − −′ = = ( )1x ≥ ( ) 0h x′ > 1 2ln 0x− > 1 x e< < ( ) 0h x′ < 1 2ln 0x− < x e> ( )h x ( )1, e ( ),e +∞所以当 时,函数 取得最大值 , 综上可得,实数 的取值范围为 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与 计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应 的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问 题. 二、填空题:本题共 4 小题 13.已知实数 , 满足 则 的最小值_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 画出可行域,解出可行域的顶点坐标,代入目标函数求出相应的数值,比较大小得到目标函数的最值. 【详解】 由 同理 , , x e= ( )h x ( ) ( )max ln 1 2 eh x h e e e = = = m 1 ,2e  +∞  x y 0, 2 0, 2 0, x y x y x − ≤  + − ≤  + ≥ 2z x y= + 6− 2 0 1 0 1 x y x x y y + − = = ⇒ − = =  (1,1),C∴ ( 2, 2),B − − ( 2,4),A − 3Cz∴ = 6Bz = − 0Az =取最小值 故答案为: . 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或 边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶 点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值;若可行域不是封闭图形还是需 要借助截距的几何意义来求最值. 14.已知平面向量 , , , 若 则向量 与 的夹角的大小为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据平面向量互相垂直的性质,结合平面向量数量积的运算性质、平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为 ,所以 , 得 ,设向量 与 的夹角为 , 所以 ,因为 ,所以 . 故答案为: 【点睛】本题考查了平面向量垂直的性质,考查了平面向量的数量积运算性质,考查了平面向量夹角公式 的应用,考查了数学运算能力. 15.设 为等差数列 的前 项和,已知在 中只有 最小,则 .(填“ ”或“ ”或 “ ”) 【答案】 【解析】 【分析】 利用 最小得出 , ,然后,利用等差数列求和公式即可求解 【 详 解 】 , 有 , , 由 题 意 可 得 , ,故有 . 6Bz∴ = − 6− a b 2a = 3b = ( )3 4a a b⊥ −   a b 6 π ( )3 4a a b⊥ −   ( ) 2 3 4 0 3 4 0 12 4 0a a b a a b a b⋅ − = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ =        3a b⋅ =  a b θ 3 3cos 22 3 a b a b θ ⋅= = = ×⋅     [0, ]θ π∈ 6 πθ = 6 π nS { }na n nS 7S 15 13 ______ 02S S− > = < > 7S 8 0a > 7 0a < 6 7 8S S S> < 8 0a > 7 0a < ( )1 13 13 7 13 13 02 a aS a += = < ( )1 15 15 8 15 15 02 a aS a += = > 15 132 0S S− >答案: 【点睛】本题考查如何求等差数列的前 项和最小,属于基础题 16.已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 l 与抛物线相交于 、 两点, 为坐标原点,直 线 、 与抛物线的准线分别相交于点 , ,则 的最小值为_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】 设直线 的方程为 ,联立方程,利用根与系数的关系,求得 及 结合直线 和 的方程,得出点 和 的坐标取得 ,再结合基本不等式,即可求解. 【详解】设点 、 坐标分别为 , ,直线 的方程为 , 联立方程 消去 后整理为 , 可得 , ,则 , 直线 的方程为 ,可求得点 的坐标为 , 直线 的方程为 ,可求得点 的坐标为 , 记抛物线的准线与 轴的交点为 ,有 , 由 ,当且仅当 时,等号成立, 所以 的最小值为 4. 故答案为:4 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方 程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解, 能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 题为必考题,每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 的 > n 2: 4C y x= F F A B O OA OB P Q PQ l 1my x= − 1 2 1 2,y y y y+ 1 2 1=x x OA OB P Q 4PD QD⋅ = A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y l 1my x= − 2 4 1 y x my x  =  = − x 2 4 4 0y my− − = 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = − 2 2 1 2 1 2 116 y yx x = = OA 1 1 yy xx = P 1 1 1, y x  − −    OB 2 2 yy xx = Q 2 2 1, y x  −    x D 1 2 1 2 4 41 y yPD QD x x ⋅ = = = 42PQ PD QD PD QD= + ⋅ =≥ PD QD= PQ 17 ~ 21(一)必考题: 17.在 中,角 , , 所对的边分别为 、 、 ,已知 (1)求角 的大小; (2)若 的面积为 ,且 ,求 , . 【答案】(1) ;(2) , 或 , 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理和题设条件,化简整理得 ,得到 , 即可求解角 的大小; (2)由三角形的面积公式,求得 ,再由余弦定理,得到 ,进而求得 ,联立 方程组,即可求得 的值. 【详解】(1)在 中,因为 , 由正弦定理得 , 即 , 因为 ,所以 , 即 , 又因为 ,可得 ,所以 , 又由 ,所以 . (2)由三角形的面积公式,可得 ,解得 , 因为 ,可得 , 所以 ,即 , 由 ,解得 或 , 故 , 或 , . ABC A B C a b c ( )3 cos cos tanb a C A A= + A ABC 3 6a = b c 3 π 2b = 2 2c = 2 2b = 2c = ( )tan 3 sin 0A B− = tan 3A = A 4bc = 2 2 10b c+ = 3 2b c+ = ,b c ABC ( )3 cos cos tanb a C c A A= + ( )3sin sin cos sin cos tanB A C C A A= + ( )3sin sin tanB A C A= + ( ) ( )sin sin sinA C B Bπ+ = − = 3sin sin tanB B A= ( )tan 3 sin 0A B− = 0 B π< < sin 0B ≠ tan 3A = 0 A π< < 3A π= 1 3sin 32 4ABCS bc A bc= = =△ 4bc = 2 2 2 2 2 6 1cos 2 2 4 2 b c a b cA bc + − + −= = =× 2 2 10b c+ = ( )2 10 2 4 18b c+ = + × = 3 2b c+ = 3 2 4 b c bc  + = = 2 2 2 b c  = = 2 2 2 b c  = = 2b = 2 2c = 2 2b = 2c =【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时, 要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运 算与求解能力,属于基础题. 18.如图,在三棱锥 中, 为 的中点, 为 的中点, 为 的中点, , , 平面 . (1)求证:平面 平面 ; (2)求二面角 的余弦值 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 【分析】 (1)先结合线面平行的判定定理,证得 平面 和 平面 ,再利用面面平行的判定定理, 即可证得平面 平面 ; (2)以 为坐标原点,向量 , , 方向分别为 , , 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 分别求得平面 和平面 的一个法向量 和 ,利用向量的夹角公式,即可求解. 【详解】(1)在 中,因为 , ,可得 , 在 中,因为 , ,可得 , 因为 平面 , 平面 ,所以 平面 , 又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 , 因为 , 平面 , 平面 , 所以平面 平面 . (2)如图所示,连 ,由 , ,则 , 在 中, ,可得 , , 因为 平面 ,可得 , , 两两垂直,以 为坐标原点,向量 , , 方向分 A BCD− O AB E AC F AD 2DC AC BC= = = 2AB = DO ⊥ ABC //OEF BCD D OE F− − 6 3 //OE BCD //EF BCD //OEF BCD O OB OC OD x y z OED OEF m n ABC∆ AO OB= AE EC= //OE BC ACD∆ AO OB= AF FD= //EF CD OE ⊄ BCD BC ⊂ BCD //OE BCD EF ⊄ BCD CD ⊂ BCD //EF BCD EF EO E= EF ⊂ OEF EO ⊂ OEF //OEF BCD CO AC BC= AO OB= CO AB⊥ AOC△ 2 2 2 1 1OC AC AO= − = − = 1AO OB OC= = = 1OD = OD ⊥ ABC OB OC OD O OB OC OD别为 , , 轴,建立如图所示空间直角坐标系. 则 , , , , , , . 所以 , , , 设平面 的法向量为 ,则 , 取 , , ,可得平面 的一个法向量为 , 设平面 的法向量为 ,则 , 取 , , ,有可得平面 的一个法向量为 , 又由 , , ,可得 , 故二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定与证明,以及空间角的求解问题,意在考查学生的空间想象能 力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定 的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向 量的夹角公式求解. 19.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某大型企业为帮扶贫困职工,设立“扶贫帮困基金”,采用如下方式 进行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个,红球三个,每位献爱心的参与者投币 100 x y z ( )0,0,0O ( )1,0,0B ( )1,0,0A − ( )0,1,0C ( )0,0,1D 1 1, ,02 2E  −   1 1,0,2 2F  −   1 1, ,02 2OE  = −    ( )0,0,1OD = 1 1,0,2 2OF  = −    OED ( ), ,m x y z= 1 1 02 2 0 OE m x y OD m z  ⋅ = − + =  ⋅ = =   1x = 1y = 0z = OED ( )1,1,0m = OEF ( ), ,n a b c= 1 1 02 2 1 1 02 2 OE n a b OF n a c  ⋅ = − + =  ⋅ = − + =   1a = 1b = 1c = OEF ( )1,1,1n = 2m n⋅ =  2m = 3n = ( ) 2 6cos , 32 3 m n = = ×   D OE F− − 6 3元有一次摸奖机会,一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回),若有一个红球,奖金 20 元,两个红球 奖金 40 元,三个全为红球奖金 200 元. (1)求一位献爱心参与者不能获奖的概率; (2)若该次募捐有 300 位献爱心参与者,求此次募捐所得善款的数学期望. 【答案】(1) ;(2) 元 【解析】 【分析】 (1)不能获奖即摸到三个白球,由古典概型可求得解; (2)由题可知,设一个献爱心参与者参加活动,学校所得善款为 元,则 ,80,60,-100,求出每 种情况的概率,求出期望,最后再乘以 300. 【详解】解:(1)一位“献爱心参与者不能中奖”记为事件 ,则 . (2)设一个献爱心参与者参加活动,企业所得善款为 元,则 ,80,60,-100, 则 , , , . 若只有一个参与者募捐,学校所得善款的数学期望为 元. 所以此次募捐所得善款的数学期望为 元. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率解决数学期望问题. 求古典概型概率的方法(1)判断是否是古典概型,(2)列举或计算基本事件总数和所求基本事件数(3) 用古典概型的概率公式计算 20.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的右焦点为 ,上顶点为 , ,点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的标准方程; (2)动直线 l 与椭圆 相交于 、 两点,与 轴相交于点 ,与 轴的正半轴相交于点 , 为线段 5 21 23500 X 100X = A 3 6 3 9 5( ) 21 CP A C = = X 100X = ( ) 3 6 3 9 5100 21 CP X C = = = ( ) 1 2 3 6 3 9 1580 28 C CP X C = = = ( ) 2 1 3 6 3 9 360 14 C CP X C = = = ( ) 3 3 3 9 1100 84 CP X C = − = = ( ) 5 15 3 1 235100 80 60 10021 28 14 84 3E X = × + × + × + × = 235 300 235003 × = xOy 2 2 2 2: 1x yC a b + = 0a b> > F B 30OBF∠ = ° 62, 2A  −    C C C P Q x M y N T的中点,若 为定值 ,请判断直线 l 是否过定点,求实数 的值, 并说明理由. 【答案】(1) ;(2)直线 l 过定点 , ,理由见解析. 【解析】 【分析】 ( 1 ) 设 点 的 坐 标 为 . 由 , 可 得 , , 故 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ,把点 代入,求出 ,即得椭圆 的标准方程; (2)由题意可设直线 的方程为 , ,则 .由 ,消去 ,韦达定理可得 .由 ,可得 为定值, 故 ,即求 ,即得直线 l 过定点. 【详解】(1)设点 的坐标为 . 由 , , , ,可得 , . 椭圆 的标准方程为 , 点 在椭圆 上, , , 故椭圆 的标准方程为 . (2)由题意可知直线 的斜率存在且不为 0,设直线 的方程为 , 设 ,则 . 由 ,消去 ,整理可得 , PQ 7 4 4OP OQ OT OM OT ON⋅ − ⋅ − ⋅      n n 2 2 14 3 x y+ = ( )0,1 21n = − F ( ),0c 30OBF∠ = ° 2a c= 3b c= C 2 2 2 2 14 3 x y c c + = 62, 2A  −    c C l y kx m= + ( )0m > ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( ),0 0,,m k N mM  −   2 2 14 3 x y y kx m  + =  = + y 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y+ + ( ) 2 1 2 1 2 27 84 27 4 34OP OQ OT OM OT mx x y yON k ⋅ − ⋅ − ⋅ = + − +       ( )2 2 2 21 4 4 4 3 k m n k  − + − = + 24 3m− = ,m n F ( ),0c OF c= OB b= BF a= 30OBF∠ = ° 2a c= 3b c= ∴ C 2 2 2 2 14 3 x y c c + =  62, 2A  −    C 2 2 1 1 12 2c c ∴ + = 1c∴ = C 2 2 14 3 x y+ = l l y kx m= + ( )0m > ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( ),0 0,,m k N mM  −   2 2 14 3 x y y kx m  + =  = + y ( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =则 , . 由 , 可得 . , , , . , , , 若 定值,则必有 , 解得 , , , . 故直线 过定点 , . 【点睛】本题考查椭圆 标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的运算能力,属于难题. 21.已知函数 (1)若曲线 在点 处的切线 l 过点 ,求实数 的值; (2)若函数 有两个零点,求实数 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 为 的 1 2 2 8 4 3 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k −= + ( )( ) ( )2 2 2 2 2 264 4 4 3 4 12 16 12 3 9 0k m k m k m∆ = − + − = − + > 2 24 3 0k m− + > ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8 62 24 3 4 3 k m my y kx m kx m k x x m mk k ∴ + = + + + = + + = − + =+ + ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + + ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 8 3 12 4 3 4 3 4 3 k m k m m kmk k k − −= − + =+ + + 2 2 1 2 1 2 2 7 12 12 4 3 m kx x y y k − −∴ + = + 2 2 4 3,4 3 4 3 km mT k k  − + +  ,mOM ON mk  ∴ + = −     ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 7 4 3 4 3 4 3 m m mOT OM ON k k k ⋅ + = + =+ + +    ( )7 4 4 7 4OP OQ OT OM OT ON OP OQ OT OM ON∴ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ +           ( ) 2 1 2 1 2 2 287 4 3 mx x y y k = + − =+ ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 7 7 12 12 7 3 12 1228 4 3 4 3 4 3 m k m km k k k − − − − − =+ + + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 7 12 3 12 21 4 4 4 3 4 3 k m k m k k    − + − − + −   = =+ + 7 4 4OP OQ OT OM OT ON⋅ − ⋅ − ⋅      24 3m− = 1m = ± 0m > 1m∴ = 21n∴ = − l ( )0,1 21n = − ( ) 2 lnxf x xe ax a x= − − ( )a R∈ ( )y f x= ( )( )1, 1f (0, 2 1)e− − a ( )f x a 1− ( )2 ,e +∞【分析】 (1)对函数 进行求导,根据导数的几何意义,结合直线点斜式方程、点在直线上进行求解即可; (2)对函数 进行求导,分类讨论求出函数的单调性,结合零点的定义、零点存在原理,通过构造新 函数,对新函数进行求导,根据新函数的单调性进行求解即可. 【详解】解:(1)由 ,有 , , 切线 的方程为 ,代入点 有 ,解 得 ,故实数 的值为-1. (2)函数 的定义域为 ,由 , . ①当 时, ,此时函数 单调递增,最多只有一个零点; ②当 时,令 ,由 可知函数 单调递增,又由 , ,可得存在 ,使得 ,有 ,可知函数 的减区间为 ,增区间为 . 若函数 有两个零点,必有 ,得 , 又由 , 令 ,有 ,令 可得 ,故函数 的增区间为 ,减 区间为 ,有 , 当 时,即 时, ,可得此时函 数 有两个零点. ( )f x ( )f x ( ) ( )2 1 x af x x e a x ′ = + − − ( )1 4 2f e a′ = − ( )1 2f e a= − l ( ) ( )( )2 4 2 1y e a e a x− − = − − ( )0, 2 1e− − ( ) ( )2 1 2 4 2e e a e a− − − − = − − 1a = − a ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 1 2 1 1 2x x xa xa af x x e a x e x ex x x +  ′ = + − − = + − = + −   ( )( )21 2x xe a x + − = 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x 0a > ( ) 2 xg x xe a= − ( 0)x ≥ ( ) ( )2 1 0xg x x e′ = + > ( )g x ( )0 0g a= − < ( ) ( )2 2 1 0a ag a ae a a e= − = − > ( )0 0,x a∈ ( )0 0g x = 0 0 2 x ax e = ( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( )f x ( ) ( )0 0 0 0 0 0 02 ln lnxf x x e ax a x a a x x= − − = − + 0 0ln( ) ln 1 ln 02 2 x a aa a x e a a a = − = − = − ( ) ( )2 1 ln 0 a a a a a a a aeaf e ae a e a e e − − − − > − − = − = > ( ) lnh x x x= − ( ) 1 11 xh x x x −′ = − = ( ) 0h x′ > 1x > ( )h x ( )1,+∞ ( )0,1 ( ) ( )1 1h x h≥ = lnx a> xe a> ( ) ( ) ( )2 ln ln ln 0xf x x e a a x ax a x a x x a= − − > − = − ≥ > ( )f x由上知,若函数 有两个零点,则实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了已知函数零点的个数求参数取值范围问题,考查了分类讨论 思想和数学运算能力. (二)选考题:请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22.在平面直角坐标系 中,已知曲线 的参数方程为: ,( 为参数),以坐标原点为极 点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)求曲线 和直线 l 直角坐标方程; (2)若点 在曲线 上,且点 到直线 l 的距离最小,求点 的坐标. 【答案】(1) : , : ;(2) 【解析】 【分析】 (1)由曲线 的参数方程化为 ,平方相加,求得曲线 的直角坐标方程,把直线 的极坐标 方程化为 ,进而求得直线 的直角坐标方程; (2)设点 ,求得点 到直线 的距离 ,结合三角函数的性质, 即可求解. 【详解】(1)由曲线 的参数方程为: ,( 为参数),可得 , 平方相加,可得 ,即曲线 的直角坐标方程为 , 由直线 的极坐标方程化为 , 将 , 代入可得 , 的 ( )f x a ( )2 ,e +∞ xOy C 3 cos sin x y β β  = = β x 3 2sin 4 2 πρ θ − =   C P C P P C 2 13 zx y+ = l 3 0x y− + = 3 1,2 2  −   C cos 3 x y sin β β  =  = C l ( )2 3 2sin cos2 2 ρ θ θ− = l ( )3 cos ,sinP α α P l 2cos( ) 36 2 d πα + + = C 3 cos sin x y β β  = = β cos 3 x y sin β β  =  = 2 13 zx y+ = C 2 13 zx y+ = l ( )2 3 2sin cos2 2 ρ θ θ− = cos xρ θ = sin yρ θ = 3 0x y− + =故直线 的直角坐标方程为 . (2)由点 在曲线 上,设点 , 则点 到直线 的距离 当 时,即 ,点 到直线 的距离的最小值为 , 此时点 的坐标为 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及点到直线的距离 公式和三角函数的性质的综合应用,着重考查推理与运算能力. 23.已知函数 . (1)求不等式 的解集; (2)若 时, 恒成立,求实数 的值. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 (1)利用绝对值的定义将函数 化为 然后分段求解不等式,得出答案. (2)当 时,即 恒成立,得出此时 的范围,当 时, 恒成立,得出此时 的范围,然后综合得出答案. 【详解】解:(1) 当 时, ,得 ; 当 时,由 ,得 ; 当 时, ,无解. l 3 0x y− + = P C ( )3 cos ,sinP α α ( )2a α π≤ < P l 2cos 33 cos sin 3 6 2 2 d παα α  + + − +  = = cos 16a π + = −   5 6a π= P l 2 2 P 3 1,2 2  −   ( ) 2f x x x= − − ( ) 1f x  [ ]2,2x∈ − ( )f x mx≥ m 1, 2  −∞   1− ( )f x ( ) 2, 0 2 2 ,0 2, 2, 2 x f x x x x  [ ]0 2x∈ , ( ) 2 2f x x mx= − ≥ m 2 0x− ≤ < ( ) 2f x mx= ≥ m ( ) 2, 0 2 2 ,0 2, 2, 2 x f x x x x  0x < ( ) 1f x ≥ 0x < 0 2x≤ ≤ 2 2 1x− ≥ 10 2x≤ ≤ 2x > 2 1− ≥所以不等式 的解集为: (2)当 时, 恒成立. 当 , 恒成立, 当 时, 恒成立,即 恒成立,所以 ,即 当 时, 恒成立,即 ,即 综上,实数 的值为-1. 【点睛】本题考查含绝对值的不等式的求解和恒成立问题,关键是由绝对值的定义打开绝对值,再分段处 理,属于中档题. . ( ) 1f x  1, 2  −∞   [ ]0 2x∈ , ( ) 2 2f x x mx= − ≥ 0x = 2 0m≥ × m R∈ 0 2x< ≤ 2 2x mx− ≥ 22m x + ≤ 2 1m + ≤ 1m ≤ − 2 0x− ≤ < ( ) 2f x mx= ≥ 2m x ≥ 1m ≥ − m 查看更多

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