资料简介
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江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试
数 学 试 题
(总分 160 分，考试时间 120 分钟)
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上）
1． 已知集合 ，则 ______.
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 =______.
3． 某学校共有师生 3 200 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的
样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是________．
4． 如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为________．
5．一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球(除颜色外其余均相同)，现从
中随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为
________．
6．一种水稻品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：
9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．
7．已知离心率 的双曲线 的左、右焦
点分别为 ，虚轴的两个端点分别为 ，若四边形 的面积为 ，
则双曲线 的焦距为______.
8． 若不等式组Error!表示的平面区域的面积为 S，则 S 的值为________．
9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为 1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥
的体积为________．
10． 已知函数 ， ，则
____.
11．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围
{ } { }0,3,4 1,0,2,3A B＝ ， ＝ － A B∩ ＝
3 4
1
iz i
+= − i z
2e =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yD a ba b
− = > >
1 2,F F 1 2,A A 1 1 2 2A F A F 4 3
D
( )=sin 2 (0 )3f x x x
π π + ≤
q 4 1 88a a－ ＝ q
ABC△ D BC 2 ,BD CD AD BD= = 2tan cosBAC B∠ •
a θ b θ 3 a b θ ∈
2
π
θ
θω −
5
3 ω
2
π ω
–P ABCDE ABCDE 2AE DC= =
3AB BC= = 1DE = 120EAB BCD CDE DEA∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ° F AE
3
2
AF = PAE ABCDE
//BC PAE
PA FC⊥
（第 16 题图）
F
C
E D
A
B
PS 第 3 页 （共 15 页）
如图，已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50㎞，B，C 间的距离为 100㎞，从 A
到 C，必须先坐船到 BC 上的某一点 D，船速为 25㎞/h，再乘汽车到 C，车速为 50㎞/h，记∠BDA
＝θ．
（1）试将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 θ 的函数 t(θ)；
（2）问 θ 为多少时，由 A 到 C 所用的时间 t 最少？
18．(本小题满分 16 分)
已知圆 方程为 ，椭圆中心在原点，焦
点在 轴上．
（1）证明圆 恒过一定点 ，并求此定点 的坐标；
（2）判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论；
（3）当 时，圆 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点 ，求此时椭圆方
程；在 轴上是否存在两定点 使得对椭圆上任意一点 （异于长轴端点），直
线 的斜率之积为定值？若存在，求出 坐标；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分 16 分)
设数列 的各项均为不等的正整数，其前 项和为 ，我们称满足条件“对任意的
，均有 ”的数列 为“好”数列．
（1）试分别判断数列 ， 是否为“好”数列，其中 ， ，
，并给出证明；
（2）已知数列 为“好”数列．
① 若 ，求数列 的通项公式；
② 若 ，且对任意给定正整数 （ ），有 成等比数列，
求证： ．
20．(本小题满分 16 分)
C 2 2 8 (6 2) 6 1 0( , 0)x y mx m y m m R m+ − − + + + = ∈ ≠
x
C M M
4 3 3 0x y+ − = C
2m = C M
x , ,A B Q
,QA QB ,A B
{ }na n nS
*m n∈N， ( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− = + − { }na
{ }na { }nb 2 1na n= − 12n
nb −=
*n∈N
{ }nc
2017 2018c = { }nc
1c p= p s， 1s > 1 s tc c c， ，
2t s≥
B
A
CD
θ
B
A
CD
θ
B
A
CD
θS 第 4 页 （共 15 页）
对任意 x R，给定区间[k－ ，k+ ](k Z)，设函数 f(x)表示实数 x 与 x 所属的给定区
间内唯一整数之差的绝对值｡
(1)当 x [－ ， ]时，求出 f(x)的解析式；x [k－ ，k+ ](k Z)时，写出绝对值符
号表示的 f(x)解析式；
(2)求 f( )，f( )，判断函数 f(x)(x R)的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当 ＜a＜1 时，求方程 f(x)— =0 的实根｡(要求说明理由， > )
∈
2
1
2
1 ∈
∈
2
1
2
1 ∈
2
1
2
1 ∈
3
4
3
4− ∈
2
1−
e alog x 2
1−
e 2
1S 第 5 页 （共 15 页）
江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试
数学附加题
（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）
21．[选做题]（本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作
答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
A.（选修 4-2：矩阵与变换）（本小题满分 10 分）
已知矩阵 ，试求曲线 在矩阵 变换下的函数解
析式.
B.（选修 4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分）
已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数），
直线 与曲线 相交于 两点．
（1）求 的长；
（2）求点 到 两点的距离之积．
C．(选修 4-5：不等式选讲）（本小题满分 10 分）
已知实数 x，y，z 满足 x + y + z = 2，求 的最小值．
[必做题]（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分 10 分）
如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， .
是线段 的中点.
=
=
10
02
1
,20
01 NM xy sin= MN
C π4cos( )3
ρ θ= + x
l
23 2
23 2
x t
y t
= +
= − +
，
t
l C A B，
AB
(3 3)P −， A B，
222 32 zyx ++
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA =
D BC
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第 22 题）S 第 6 页 （共 15 页）
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的大小的余弦值.
23．（本小题满分 10 分）
已知数列 满足 … ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并证明．
江苏省南通市 2020 届高三年级 6 月份模拟测试
1DB 1 1AC D
1 1 1B A D C− −
{ }na
1 2 3
0 1 2 3
2 3
C C CC 2 2 2
n n n
n na + + += + + + + *C
2
n
n n
n n++ ∈N，
1a 2a 3a
{ }naS 第 7 页 （共 15 页）
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1. 2.
3. 4. 5. 6. 0.244 7. 8.
9. 10. 11. 12. 60° 13. 14.
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分 14 分)
(1)∵ =(sin ，1)， =(cos ， )，且 ∥
∴ sin － cos =0，即 ，
∵ (0， )，∴ = ，
(2)∵ 0＜ ＜ ， = ，
∴－ ＜ － ＜ .
∵sin( － )= ，
∴cos( － )= = .
= × × =
16．（本小题满分 14 分）
证明 （1）如图凸五边形 ，延长 交于点 ．
∵ ，∴ ．
∴ 为等边三角形， ．
∴ ，即有 ．
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）连结 ，∵ 为等边三角形
∴ ，∴ ．
又 ∵ ，∴ 为正三角形．
又∵ ，∴ ．
{ }0,3 5 2
2 200 6 5
6 4 6
2 2
3
π 7
6
π 1 1 1,2 2 3
∪（- 3, - ） ( - ) 5 8,3 7
3
2
a θ b θ 3 a b
3 θ θ 3tan 3
θ =
θ ∈
2
π θ
6
π
ω
2
π θ
6
π
6
π ω
6
π
3
π
ω
6
π 3
5
ω
6
π 21 sin ( )6
πω− − 4
5
cos cos[( ) )] cos cos( ) sin sin( )6 6 6 6 6 6
π π π π π πω ω ω ω= − + = − − −
3
2
4 1
5 2
− 3
5
4 3 3
10
−
ABCDE ,AE CD H
120AED EDC∠ = ∠ = ° 60HED HDE∠ = ∠ = °
HED∆ 60H∠ = °
60 120 180H BCD∠ + ∠ = ° + ° = ° //BC AE
AE ⊂ PAE BC /⊂ PAE
//BC PAE
AC HED∆
1HE HD ED= = = 3HA HC= =
60H∠ = ° HAC∆
1
2
AF AH= CF AE⊥
D
F
H
CA
B
ES 第 8 页 （共 15 页）
∵ 平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，∴ ．
17.（本小题满分 14 分）
解：（1）∵AD＝
50
푠 푖 푛 θ， ∴A 到 D 所用时间 t1＝
2
푠 푖 푛 θ
BD＝
50
푡 푎 푛 θ＝
50푐 표 푠 θ
푠 푖 푛 θ ，CD＝100－BD＝100－
50푐 표 푠 θ
푠 푖 푛 θ
∴D 到 C 所用时间 t2＝2－
푐 표 푠 θ
푠 푖 푛 θ
∴t(θ)＝t1＋t2＝
2－푐 표 푠 θ
푠 푖 푛 θ ＋2（θ0＜θ＜π
2，其中 tanθ0＝
1
2）··························6 分
（2）t(θ)＝
푠 푖 푛 2θ－(2－푐 표 푠 θ)푐 표 푠 θ
푠 푖 푛 2θ ＝
1－2푐 표 푠 θ
푠 푖 푛 2θ ····································8 分
令 t(θ)＞0，得：cosθ＜
1
2 ∴π
3＜θ＜π
2；∴当 θ∈(，)时，t(θ)单调递增；
同理 θ0＜θ＜π
3，t(θ)＜0，t(θ)单调递减·····················12 分
∴θ＝π
3，t(θ)取到最小值 3＋2；·························································13 分
答：当 θ＝π
3时，由 A 到 C 的时间最少为 3＋2 小时．·····························14 分
18.（本小题满分 16 分）
（1）圆 的方程可化为：
，……………………………………2 分
由 ………………………………………………………4 分
解得 所以圆 过定点 ………………………………………5 分
(2) 圆 的方程可化为： ,………………………6 分
圆心到直线 的距离为 ……………………………8 分
……………………………………9 分
所以直线与圆 相切. …………………………………………………………10 分
C
2 2( 2 1) (8 6 6) 0x y y m x y+ − + − + − =
2 2 2 1 0,
8 6 6 0,
x y y
x y
+ − + =
+ − =
0,
1,
x
y
=
= C (0,1)M
C [ ]22 2( 4 ) (3 1) 25x m y m m− + − + =
l 2 2
4 4 3 (3 1) 3
4 3
m md
⋅ + ⋅ + −=
+
25 55
m m r= = =
C
PAE ⊥ ABCDE
PAE ABCDE AE=
CF ⊂ ABCDE CF ⊥ PAE
PA ⊂ PAE CF PA⊥S 第 9 页 （共 15 页）
（3） ，
,
所以椭圆的左准线为 ，……………………………………………………11 分
又椭圆过点 ，
所以 所以椭圆方程为 .………………………12 分
在椭圆上任取一点 ，设定点 ，
则 ，………13 分
所以
所以 …………………………………14 分
所以 .……………………………16 分
19．（本小题满分 16 分）
（1）若 ，则 ，所以 ，
而 ，
所以 对任意的 均成立，
即数列 是“好”数列； …… 2 分
若 ，取 ，
则 ， ，
此时 ，
即数列 不是“好”数列． …… 4 分
圆心为（8,7），半径为10 x x与直线 =( 8- 10) , 即 =- 2相切
2x = −
(0,1),M 则b=1
2
2,
1,
a
c
b
=
=
2,
1,
a
b
=⇒ =
2
2 12
x y+ =
( , )( 0)Q x y y ≠ ( ,0), ( ,0)A s B t
2
1 2
( )( )QA QB
x
y yk k kx s x t x s x t
−
⋅ = ⋅ = =− − − − ( )2, 2x∈ −对 恒成立
2 21 1 ( )2 x kx k s t x kst− + = − + + ( )2, 2x∈ −对 恒成立
1 11 , ,, 2 22
( ) 0, 2, 2,
1, 2, 2.
k kk
k s t s s
kst t t
= − = −= − + = ⇒ = = −
= = − =
或
( 2,0), ( 2,0) ( 2,0), ( 2,0)A B A B− −或者
m=2 C当 时，圆 方程为 2 2( 8) ( 7) 100x y− + − =
2 1na n= − 2
nS n= 2( ) ( )( )n mn m S n m n m+− = − +
2 2 2( )( ) ( )( ) ( ) ( )n mn m S S n m n m n m n m+ − = + − = + −
( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− = + − *m n∈N，
{ }na
12n
nb −= 2 1n m= =，
3( ) 7n mn m S S+− = = 2( )( ) 3 6n mn m S S b+ − = =
( ) ( )( )n m n mn m S n m S S+− ≠ + −
{ }nbS 第 10 页 （共 15 页）
（2）因为数列 为“好”数列，取 ，则
，即 恒成立．
当 ，有 ，
两式相减，得 （ ），
即 （ ），
所以 （ ），
所以 ，
即 ，即 （ ），
当 时，有 ，即 ，
所以 对任意 ， 恒成立，
所以数列 是等差数列． …… 8 分
设数列 的公差为 ，
① 若 ，则 ，即 ，
因为数列 的各项均为不等的正整数，所以 ，
所以 ， ，所以 ． …… 12 分
② 若 ，则 ，
由 成等比数列，得 ，所以 ，
即
化简得， ，
即 ． …… 14 分
因为 是任意给定正整数，要使 ，必须 ，
不妨设 ，由于 是任意给定正整数，
{ }nc 1m =
1 1( 1) ( 1)( )n nn S n S S+− = + − 1 12 ( 1) ( 1)n nS n a n a+= − + +
2n≥ 1 12 ( 2)n nS n a na− = − +
1 12 ( 1) ( 2)n n na n a n a a+= − − − + 2n≥
1 1( 1)n nna n a a+= − + 2n≥
1 1( 1) ( 2)n nn a n a a−− = − + 3n≥
1 1( 1) ( 1) ( 2)n n n nna n a n a n a− +− − = − − −
1 1(2 2) ( 1) ( 1)n n nn a n a n a− +− = − + − 1 12 n n na a a− += + 3n≥
2n = 2 3 12 3S a a= + 2 3 12a a a= +
1 12 n n na a a− += + 2n≥ *n∈N
{ }nc
{ }nc d
2017 2018c = 1 2016 2018c d+ = 12018
2016
cd
−=
{ }nc *d ∈N
1d = 1 2c = 1nc n= +
1c p= nc dn p d= + −
1 s tc c c， ， 2
1s tc c c= 2( ) ( )ds p d p dt p d+ − = + −
2( )(2 ) ( ) 0p d ds p d p d ds pt− + − − + − =
2( 1 2 ) ( 1)p t s d s+ − = −
2
1 2
( 1)
t sd ps
+ −= −
p *d ∈N *
2
1 2
( 1)
t s
s
+ − ∈− N
2
1 2
( 1)
t sk s
+ −= − sS 第 11 页 （共 15 页）
所以 ． …… 16 分
20．（本小题满分 16 分）
(1)当 时， 中唯一整数为 0，
有定义知： ， .
当 时，在 中唯一整数为 k，
有定义知： .
(2)∵ － ，
∴ 下判断 是偶函数.
对任何 ，存在唯一－k ，使得 则
由 可以得出 ，
即－
由(1)的结论， 即 是偶函数..
(3) ㏒a =0，即 ㏒a =0，其中 >0；
① 当 >1 时， ㏒a ，所以 ㏒a =0 没有大于的实根；
② 容易验证 =1 为方程 ㏒a =0 的实根；
③ 当 时对应的 k=1，方程 ㏒a =0 变为
1－ － ㏒a =0
设 H( )= ㏒a －(1－ )( )
则 ㏒ae+1= +1= ，
故当 时，H( )为减函数，H( )>H(1)=0，方程没有 的实根；
④当 0＜ 时，对应的 k=0，方程 ㏒a =0 变为 － ㏒a =0，
2 2 2( 1) 2 1 ( 1) 2 1t k s s s s s= − + − − + − =≥
∈x ]2
1,2
1[− ]2
1,2
1[−
xxf =)( ∈x ]2
1,2
1[−
)](2
1,2
1[ zkkkx ∈+−∈ ]2
1,2
1[ +− kk
,)( kxxf −= )](2
1,2
1[ zkkkx ∈+−∈
],2
11,2
11[3
4 +−∈ ]2
11,2
11[3
4 +−−−∈
,3
1)3
4(,3
1)3
4( =−= ff )(xf
Rx∈ z∈
2
1
2
1 +≤≤− kxk ,)( kxxf −=
2
1
2
1 +≤≤− kxk )(2
1
2
1 Zkkxk ∈+−≤−≤−−
)](2
1,2
1[ Zkkkx ∈−+−−−∈
)()()( xfkxxkkxxf =−=−=−−−=− )(xf
−)(xf x 2
1−− kx x x
x 2
10 >≥− kx x 2
1−− kx x
x 2
1−− kx x
12
1
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