资料简介
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万有引力知识梳理
1. 开普勒三大定律 （轨道 面积 周期a3
T2＝k R3
T2＝k 仅受到同一中心天体 k 相同 远近速度）
2. 万有引力定律 （注意轨道半径、到地面的高度 h）
3. 万有引力与重力 （考虑自转：赤道 GMm
R2 ＝mg1＋mω2R 两极 GMm
R2 ＝mg2；不考虑自转：
黄金代换：mg＝GmM
R2 ，得 g＝GM
R2 ）
4. 计算天体质量和密度 （只能计算出中心天体质量 ρ＝ 3πr3
GT2R3 ρ＝ 3g
4πGR）
5. 高轨低速（线、角、加）大周期；高机高势低动 (仅受中心天体的万有引力；同一轨
道机械能守恒)
6. 三大宇宙速度 （v1＝7.9 km/s v＝ GM
R = gR 最小 最大 近地）
7. 同步卫星 （到地面高度 h≈3600km，周期 角速度 高度 速率 平面 加速度大小一定；
方向不同）
8. 近地卫星 赤道上的物体 同步卫星的比较 （拉格朗日点与月球）
9. 卫星变轨 （低→高 先加再减；高→低 先减再加）
10. 对接 （在低轨 加速；在高轨 减速到低轨再加速）
11. 追赶 （同侧和异侧，两次转过的角度相差 π 或者 2π）
12. 双星问题 （ω= G(m1＋m2)
L3 v1+v2=( r1+r2) ω=Lω= G(m1＋m2)
L m1＋m2＝4π2L3
GT2
r1
r2＝m2
m1＝
v1
v2）
万有引力题型梳理
1. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引
力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星
系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做
圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的
距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为( )
A． n3
k2T B． n3
k T
C． n2
k T D． n
kT
B [双星间的万有引力提供向心力．
设原来双星间的距离为 L，质量分别为 M、m，圆周运动的圆心距质量为 m 的恒星距离
为 r.对质量为 m 的恒星：GMm
L2 ＝m(2π
T )2·r 对质量为 M 的恒星：GMm
L2 ＝M(2π
T )2(L－r)2
得 GM＋m
L2 ＝4π2
T2 ·L 即 T2＝ 4π2L3
G(M＋m)
则当总质量为 k(M＋m)，间距为 L′＝nL 时，T′＝ n3
k T，选项 B 正确．]
2. (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三
星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个
顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形
中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm
R
B．每颗星做圆周运动的角速度为 3Gm
R3
C．每颗星做圆周运动的周期为 2π R3
3Gm
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
ABC [每颗星受到的合力为 F＝2Gm2
R2sin 60°＝ 3Gm2
R2，轨道半径为 r＝ 3
3 R，由向心
力 公 式 F ＝ ma ＝ mv2
r ＝ mω2r ＝ m4π2r
T2 ， 解 得 a ＝ 3Gm
R2 ， v ＝ Gm
R ， ω ＝ 3Gm
R3 ， T ＝
2π R3
3Gm，显然加速度 a 与 m 有关，故 A、B、C 正确．]
3. “嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道飞向
月球，在距离月球表面 200 km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭
圆轨道Ⅰ绕月飞行．然后卫星在 P 点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面 200 km
的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是( )
A．卫星在三个轨道上运动的周期 TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能 EⅢ>EⅡ>EⅠ
C．卫星在不同轨道运动到 P 点(尚未制动)时的加速度都相等3
D．不同轨道的半长轴(或半径)的二次方与周期的三次方的比值都相等
C [三个轨道的半长轴(或半径)的关系为 RⅠ>RⅡ>RⅢ，根据开普勒第三定律，卫星在三
个轨道上运动的周期关系为 TⅠ>TⅡ>TⅢ，选项 A 错误；卫星在不同轨道上时机械能遵循“高
轨高能，低轨低能”的规律，不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能关系为 EⅠ
>EⅡ>EⅢ，选项 B 错误；不同轨道上的 P 点到月心的距离相同，卫星所受万有引力相同，则
卫星在不同轨道运动到 P 点(尚未制动)时的加速度都相等，故 C 正确；根据开普勒第三定律，
卫星在不同轨道的半长轴(或半径)的三次方与周期的平方的比值相等，故 D 错误．]
4. 我国在 2016 年 9 月 15 日发射了“天宫二号”
空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与
“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列
措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两
者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两
者速度接近时实现对接
C [若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于飞船所受合力小
于所需向心力，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项 A 错误；若
使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则由于空间实验室所受合力
大于所需向心力，故空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项 B 错
误；要想实现对接，可使飞船在比空间实现室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的
轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项 C 正确；若飞船在比空间实
验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项 D 错误．]
5. 根据计划，我国发射的嫦娥五号探测器将进
行月球软着陆及采样返回．其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空，先在近月
圆轨道Ⅰ上运行，从 P 点经调整轨道Ⅱ在 Q 点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接，最后由
轨道器携带样品返回地球，如图所示．已知 P、Q 分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，
下列关于此过程的说法正确的是( )4
A．轨道器在轨道Ⅲ上的环绕速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的环绕速度
B．上升器应在轨道Ⅰ上的 P 点通过减速进入轨道Ⅱ
C．上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在轨道Ⅱ上 P 点的速度小
D．若在 Q 点对接未成功，两者均在轨道Ⅲ上运行，只要上升器向前加速，就可追上轨
道器
C [由万有引力提供向心力有GMm
r2 ＝mv2
r ，解得 v＝ GM
r ，轨道半径越大，速度越小，
则轨道器在轨道Ⅲ上的环绕速度必定小于上升器在轨道Ⅰ上的环绕速度，故 A 错误；上升
器在轨道Ⅰ上 P 点加速做离心运动进入轨道Ⅱ，故 B 错误；依据以上分析，可知上升器与
轨道器对接后，组合体速度比上升器在轨道Ⅱ上 P 点的速度小，故 C 正确；若在 Q 点对接
未成功，两者均在轨道Ⅲ上运行，若上升器向前加速，它将做离心运动，不可能追上轨道器
实现对接，故 D 错误．]
6. 如图所示，a、b、c 是在地球大气层外圆形
轨道上运动的 3 颗卫星，下列说法正确的是( )
A．b、c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度
B．b、c 的向心加速度大小相等，且小于 a 的向心加速度
C．c 加速可追上同一轨道上的 b，b 减速可等候同一轨道上的 c
D．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，则其机械能逐渐增大
B [卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力 GMm
r2 ＝mv2
r ，得 v＝ GM
r ，b、c
的轨道半径相等，故 b、c 的线速度大小相等但小于 a 的线速度，A 错误．根据万有引力提
供向心力 GMm
r2 ＝ma，得 a＝GM
r2 ，由此可知，轨道半径越小，加速度越大，故 a 的向心加
速度大于 b、c 的向心加速度，B 正确．c 加速，万有引力不够提供向心力，做离心运动，
离开原轨道，所以不会与同轨道上的卫星相遇，C 错误．卫星由于某种原因，轨道半径缓慢
减小，万有引力以外的力做负功，机械能减小，D 错误．]5
7. (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，海王星绕太
阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的
周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运
动过程中( )
A．从 P 到 M 所用的时间等于T0
4
B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大
C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小
D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
CD [A 错：由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相
等．B 错：由机械能守恒定律知，从 Q 到 N 阶段，机械能守恒．C 对：从 P 到 Q 阶段，万
有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小．D 对：从 M 到 N 阶段，万有引力与速度的夹角
先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功．]
8. 科学研究表明，当天体的逃逸速度(即第二宇
宙速度，为第一宇宙速度的 2倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的
质量之比为 k，地球的半径为 R，地球卫星的最大环绕速度(即第一宇宙速度)为 v1，光
速为 c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A．v21R
kc2 B．2kc2R
v21
C．c2R
kv21 D．2kv21R
c2
D [对于地球有GMm
R2 ＝mv21
R；设该天体成为黑洞时其半径为 r，第一宇宙速度为 v2，有
GkMm
r2 ＝mv22
r ；c＝ 2v2，联立解得 r＝2kv21R
c2 ，故 D 正确，A、B、C 错误．]
9. 假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知
地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引
力常量为 G.地球的密度为( )
A．3π(g0－g)
GT2g0 B． 3πg0
GT2(g0－g)
C． 3π
GT2 D．3πg0
GT2g6
B [在地球两极处，GMm
R2 ＝mg0，在赤道处，GMm
R2 －mg＝m4π2
T2 R，故 R＝
(g0－g)T2
4π2 ，则
ρ＝ M
4
3πR3
＝
R2g0
G
4
3πR3
＝ 3g0
4πRG＝ 3πg0
(g0－g)GT2
，B 正确．]
10. 嫦娥一号是我国首次发射的探月卫星，它在
距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟．已知引力常量 G＝
6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为 1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为
( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
D [探月卫星靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有 GMm
(R＋h)2
＝m4π2
T2 (R＋h)，代入数
据，得 M＝7.4×1022 kg.]
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