资料简介
2019 年重庆市中考数学模拟试卷（白卷）
一．选择题（共 12 小题）
1．﹣2 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简：（﹣3x2）3 的结果是（ ）
A．9x6 B．﹣9x6 C．﹣27x6 D．﹣27x5
4．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对某班同学期中考试数学成绩的调查
B．对旅客上飞机前是否携带违禁品的调查
C．对某寝室同学“一分钟跳绳”次数的调查
D．对嘉陵江水质的调查
5．在函数 y＝ 中 x 的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x≠ D．x≠﹣
6．如图，下列图形都是由大小和形状完全相同的菱形按照一定的规律排列组成的，其中第①
个图形中一共有 5 个菱形第②个图形中一共有 8 个菱形，第③个图形中一共有 11 个菱
形，第④个图形中一共有 14 个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个
数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．29
7．估计 的值应在（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
8．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，AD：DB＝2：1，则△ADE
与△ABC 的周长比是（ ）A．2：1 B．4：9 C．2：3 D．3：2
9．按如图所示的程序框图计算函数 y 的值，若输出的结果为 9，则输人的 x 值为（ ）
A．2 B．3 C．3 或 2 D．﹣3
10．如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，BD＝CD，以点 D 为圆心，BD 长为半径
作 ，若 AC＝6，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2π﹣3 B．2π+3 C． π﹣ D． π+
11．重庆市照母山森林公园中最为瞩目的经典当属揽星塔．我校某数学兴趣小组的同学准备
利用所学的三角函数知识估测该塔的高度．如图，测量员在坡度＝1：2 的斜坡上的 D 点
处测得塔顶 B 的仰角为 31°，在坡底 A 处测得塔底到坡底的水平距离 AC 的长为 16
米，AD＝10 米，则该塔 BC 的高度为（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31
°≈0.60， ≈2.24）（ ）A．24.4 米 B．26.8 米 C．28.4 米 D．31.4 米
12．若数 a 使关于 x 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程
的解为非负数，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．13 B．18 C．11 D．16
二．填空题（共 6 小题）
13．2019 年 4 月 19 日，一季度重庆市经济运行情况新闻发布会上公布重庆城镇常住居民人
均可支配收入约为 11000 元，将数据 11000 用科学记数法表示为 ．
14．计算 ＝ ．
15．如图，AB、CD 是⊙O 的直径，连接 AC，若∠COB＝60°，则∠ACD＝ 度．
16．如图，任意转动甲、乙两个转盘得到的数字分别为 a、b，使得二次函数 y＝ax2+bx+4
一定与 x 轴有两个交点的概率为 ．
17．周末的一天，小明和他爷爷从家出发沿笔直的滨江大道散步，要走到距家 1440 米的公
园再返回，途中要经过音乐喷泉广场．爷爷先出发 4 分钟，小明再出发追赶，两人各自
的速度均保持不变，在到达公园之前，小明追上了爷爷，然后小明陪同爷爷以爷爷的速
度走到公园再返回家里．如图反映了在到达公园之前，两人与音乐广场的距离之和 y（米）
与爷爷行走的时间 t（分钟）之间的函数关系，则整个散步过程一共用了 分钟．18．一个 200 人和 300 人的旅行团队准备外出旅游，旅行团队向某汽车运输公司租用可以乘
坐 30 人、乘坐 45 人的两种客车若干辆，其中大型客车辆数要多于中型客车辆数．按照
预定的租车方案，如果大型客车都坐满，中型客车有一辆就会空出少于一半的座位，但
是汽车运输公司发过来的车辆，车型与对应的辆数刚好搞反了，这样就有 5 个人没有座
位可坐．这个旅游团一共有 个人．
三．解答题（共 8 小题）
19．计算：
（1）（2a﹣3b）（2a+3b）+（a+3b）2
（2）
20．直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 A、C，CM 是∠ACD 的平分线，CM 交 AB
于点 N．
（1）如图①，过点 A 作 AC 的垂线交 CM 于点 M，若∠MCD＝55°，求∠MAN 的度数；
（2）如图②，点 G 是 CD 上的一点，连接 MA、MG，若 MC 平分∠AMG 且∠AMG＝36
°，∠MGD+∠EAB＝180°，求∠ACD 的度数．
21．据调查，初中学生课桌椅不合格率达 76.7%（不合格是指不能按照学生不同的身高来调
节课桌椅的高度），为了解初中生的身高情况，随机抽取了某校初中部分男生、女生进行
调查收集数据如下：
男生身高（单位：cm）：163 161 160 163 161 162 163 164 163 163
女生身高（单位：cm）：164 161 160 161 161 162 160 162 163 162整理数据：
160 161 162 163 164
男生（人） 1 2 1 a 1
女生（人） 2 b 3 1 1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，并补全条形统计图；
（2）现有两名身高都为 163cm 的男生和女生，比较这两名同学分别在男生、女生中的身
高情况，并简述理由；
（3）根据相关研究发现，只有身高为 161cm 的初中生课桌椅是合格的，试估计全校 1000
名学生中，有多少名学生的课桌椅是合格的？
22．九年级 8 班的王源同学根据学习经验，决定从问题的简单、特殊情形入手进行探究函数
y＝
的图象和性质，下面是他的探究过程，请你一起来完成．
（1）下表是 y 与 x 的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 9 7 m 3 1 6 3 n …
经计算，m 的值为 ，n 的值为 ；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中描出上列各点，请画出该函数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： ．23．自陆海新通道铁海联运班列开行以来，加快了汽车整车及零配件、粮食、生鲜冻货等 300
余个品类货物的流通某厂家生产一种零件该零件的成本由材料成本和生产运输成本组成．
（1）每个零件的成本价为 40 元，每个零件的生产运输成本不超过材料成本的 ，也不
低于材料成本的 ，求每个零件的生产运输成本至少为多少元（每个零件的生产运输成
本为整数元）？
（2）厂家将单个零件的出厂价定为 60 元，今年年初该厂为鼓励进货商增加订购量，采
取了优惠措施，1 月份的措施：一次性订购达到 200 个及以上，每 20 个免费赠送一个；2
月份的措施：一次性订购量多于 200 个时每超出一个，全部零件的出厂价就降低 0.1 元，
但出厂单价不能低于成本价．某进货商在 1 月份和 2 月份各订购了一次，共 600 个，总
货款 27400 元，两次都享受了优惠，其中 1 月份的订购量是 20 的整数倍．求 1 月份订购
量．
24．如图，在△ABC 中，AB＝BC，点 D 是 AC 的中点，∠ABC＝45°，连接 BD，过点 A
作 AE⊥BC 于点 E，交 BD 于点 F，点 G 是 BC 的中点，连接 FG，过点 B 作 BH⊥AB 交
FG 的延长线于点 H．
（1）若 AB＝4，求 CE 的长；
（2）求证：BH+2CE＝AB．25．阅读下列材料：
在数学的解题中，我们把一个式子中比较复杂的数学部分，用一个新的未知数（元）去
代替它，原式被改造得更简化，问题更易于解决，这种方法称为换元法．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，换元可以达到降次、或化
分式、根式为整式等目的换元法可以运用于数式计算、分解因式、解方程（组）等方
面．下面举例说明
例 ， 计 算
解析：由于题目中 在各个因式中重复出现，可以令 ＝a，
原式＝（1﹣a）（a+ ）﹣（1﹣a﹣ ）a
＝a+ ﹣a2﹣ a﹣a+a2+ a
＝
请解决下列问题：
（1）在方程组 中，x+3y 的值是 ；
（2）已知正整数 k，使 93×95×97×99+k 是一个正整数 m 的平方，求 k 的最小值．
26．如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为
D，连接 BC
（1）点 G 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与 B、C 重合），过点 G 作 y 轴的平行线
交直线 BC 于点 E，作 GF⊥BC 于点 F，点 M、N 是线段 BC 上两个动点，且 MN＝EF，
连接 DM、GN．当△GEF 的周长最大时，求 DM+MN+NG 的最小值；
（2）如图 2，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，点 Q 是线段 BC 上一动点，连接 DQ，
将△DPQ 沿 PQ 翻折，且线段 D′P 的中点恰好落在线段 BQ 上，将△AOC 绕点 O 逆时针旋转 60°得到△A′OC′，点 T 为坐标平面内一点，当以点 Q、A′、C′、T 为顶点
的四边形是平行四边形时，求点 T 的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．﹣2 的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣2 的倒数是﹣ ，
故选：D．
2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
3．化简：（﹣3x2）3 的结果是（ ）
A．9x6 B．﹣9x6 C．﹣27x6 D．﹣27x5
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．
【解答】解：（﹣3x2）3＝﹣27x6．
故选：C．
4．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对某班同学期中考试数学成绩的调查
B．对旅客上飞机前是否携带违禁品的调查
C．对某寝室同学“一分钟跳绳”次数的调查
D．对嘉陵江水质的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对某班同学期中考试数学成绩的调查，人数较少，应采用全面调查；
B、对旅客上飞机前是否携带违禁品的调查，意义重大，应采用全面调查；
C、对某寝室同学“一分钟跳绳”次数的调查，人数较少，应采用全面调查；
D、对嘉陵江水质的调查，应采用抽样调查；
故选：D．
5．在函数 y＝ 中 x 的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x≠ D．x≠﹣
【分析】根据分母不能为零，列出不等式 3x﹣1≠0 可得答案．
【解答】解：由题意，得 3x﹣1≠0，
解得 x≠ ．
故选：C．
6．如图，下列图形都是由大小和形状完全相同的菱形按照一定的规律排列组成的，其中第①
个图形中一共有 5 个菱形第②个图形中一共有 8 个菱形，第③个图形中一共有 11 个菱
形，第④个图形中一共有 14 个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个
数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．29
【分析】根据题意得出得出第 n 个图形中菱形的个数为 3n+2，即可得出答案．
【解答】解：第①个图形中一共有 5 个菱形，5＝3×1+2；
第②个图形中共有 8 个菱形，8＝3×2+2；
第③个图形中共有 11 个菱形，11＝3×3+2；
…，
第 n 个图形中菱形的个数为：3n+2；
∴第③个图形中共有菱形的个数为：3×9+2＝29；
故选：D．7．估计 的值应在（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算 的取值范围，进而得出答
案．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝
2 ﹣2，
∵ ≈2.4，
∴2 ﹣2≈2.8，
∴2＜2 ﹣2＜3，
∴ 的值应在 2 和 3 之间．
故选：B．
8．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，AD：DB＝2：1，则△ADE
与△ABC 的周长比是（ ）
A．2：1 B．4：9 C．2：3 D．3：2
【分析】由于 DE∥BC，易证得△ADE∽△ABC；得到两个三角形的相似比，根据相似三
角形的周长比等于相似比即可得解．
【解答】解：∵AD：DB＝2：1，
∴AD：AB＝2：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE 与△ABC 的周长比＝2：3；
故选：C．
9．按如图所示的程序框图计算函数 y 的值，若输出的结果为 9，则输人的 x 值为（ ）A．2 B．3 C．3 或 2 D．﹣3
【分析】根据题意可知 x＞1 且 x2＝9，据此解答即可．
【解答】解：∵输出的结果为 9，
∴x＞1 且 x2＝9，
∴x＝3．
故选：B．
10．如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，BD＝CD，以点 D 为圆心，BD 长为半径
作 ，若 AC＝6，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2π﹣3 B．2π+3 C． π﹣ D． π+
【分析】根据题意可以求得 OC 和 BD 的长，从而可以得到阴影部分的面积是△CDB 与
扇形 CDB 的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，BD＝CD，AC＝6，
∴AC⊥BD，OC＝3，BD＝CD＝BC，BD＝2OB，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，OB＝ ，
∴BD＝2 ，
∴图中阴影部分的面积是：S 阴＝S 扇形 CDB﹣S△CDB＝ ﹣ ×2 ×3＝2π﹣3 ，
故选：A．
11．重庆市照母山森林公园中最为瞩目的经典当属揽星塔．我校某数学兴趣小组的同学准备
利用所学的三角函数知识估测该塔的高度．如图，测量员在坡度＝1：2 的斜坡上的 D 点
处测得塔顶 B 的仰角为 31°，在坡底 A 处测得塔底到坡底的水平距离 AC 的长为 16
米，AD＝10 米，则该塔 BC 的高度为（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31
°≈0.60， ≈2.24）（ ）
A．24.4 米 B．26.8 米 C．28.4 米 D．31.4 米
【分析】如图，作 DM⊥CE 于 M，DH⊥BC 于 H．解直角三角形分别求出 BH，CH 即可
解决问题．
【解答】解：如图，作 DM⊥CE 于 M，DH⊥BC 于 H．
在 Rt△ADM，∵DM：AM＝1：2，AD＝10，
∴DM＝2 （米），AM＝4 （米），
∴DM＝CH＝2 （米），CM＝DH＝20 （米），
在 Rt△BDH 中，HB＝DH•tan31°＝20×2.24×0.60≈26.88（米），
∴BC＝BH+CH＝26.88+2×2.24≈31.4（米），
故选：D．
12．若数 a 使关于 x 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程
的解为非负数，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．13 B．18 C．11 D．16
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有 4 个整数解确定出 a 的值，再由分
式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数 a 的值，进而求出之和．【解答】解：解不等式组 ，得： ≤x＜4，
由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣1＜ ≤0，
解得：2≤a＜7，即整数 a＝2，3，4，5，6；
分式方程 去分母得：a﹣2＝2（y﹣2），
解得：y＝ ，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到 a＝3，4，5，6；
所以符合条件的所有整数 a 的和为 3+4+5+6＝18．
故选：B．
二．填空题（共 6 小题）
13．2019 年 4 月 19 日，一季度重庆市经济运行情况新闻发布会上公布重庆城镇常住居民人
均可支配收入约为 11000 元，将数据 11000 用科学记数法表示为 1.1×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：11000 用科学记数法表示为 1.1×104，
故答案是：1.1×104．
14．计算 ＝ 1 ．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值 3 个考点．在计算时，需要针对每
个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4+1﹣4＝1，
故答案为：1．
15．如图，AB、CD 是⊙O 的直径，连接 AC，若∠COB＝60°，则∠ACD＝ 30 度．
【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形的性质以及圆周角定理解答即可．【解答】解：∵AB、CD 是⊙O 的直径，
∴OC＝OA，
∴∠CAO＝∠ACD，
∵∠COB＝60°，
∴∠ACD＝∠CAO＝30°，
故答案为：30
16．如图，任意转动甲、乙两个转盘得到的数字分别为 a、b，使得二次函数 y＝ax2+bx+4
一定与 x 轴有两个交点的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到使△＝b2﹣16a＞0 的结果数，再根据概率
公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
△ ﹣1 1 ﹣2 ﹣4 3
5 31 9 57 89 ﹣23
﹣6 52 20 68 100 ﹣12
7 65 33 81 113 1
由表知，共有 15 种等可能结果，其中△＝b2﹣16a＞0 的有 13 种结果，
∴使得二次函数 y＝ax2+bx+4 一定与 x 轴有两个交点的概率为 ，
故答案为： ．
17．周末的一天，小明和他爷爷从家出发沿笔直的滨江大道散步，要走到距家 1440 米的公
园再返回，途中要经过音乐喷泉广场．爷爷先出发 4 分钟，小明再出发追赶，两人各自
的速度均保持不变，在到达公园之前，小明追上了爷爷，然后小明陪同爷爷以爷爷的速
度走到公园再返回家里．如图反映了在到达公园之前，两人与音乐广场的距离之和 y（米）
与爷爷行走的时间 t（分钟）之间的函数关系，则整个散步过程一共用了 48 分钟．【分析】先结合题目，看懂函数图象．两人的距离和 960．然后如图，求出小明爷爷的时
间以及爷爷从家到到被追上的时间，即可求出答案．
【解答】解：如图：
A 表示两人在家，E 表示小明追上月爷爷，这两个点表示二人距离广场的和都是 960 米，
说明广场在家与追上地之间的正中间，即家到广场 480 米，广场到追上地 480 米．
B 表示小明出发，C 表示爷爷经过广场，D 表示小明经过广场，小明 6 分钟走完这 480 米，
所以小明的速度是 80 米/分．小明追上爷爷时间为 960÷80＝12 分钟，
所以爷爷从家出发到被追上用了 4+12＝16 分钟，所以爷爷的速度为 60 米/分．
所以整个散步过程一共用了 分钟．
故答案为：48．
18．一个 200 人和 300 人的旅行团队准备外出旅游，旅行团队向某汽车运输公司租用可以乘
坐 30 人、乘坐 45 人的两种客车若干辆，其中大型客车辆数要多于中型客车辆数．按照
预定的租车方案，如果大型客车都坐满，中型客车有一辆就会空出少于一半的座位，但
是汽车运输公司发过来的车辆，车型与对应的辆数刚好搞反了，这样就有 5 个人没有座
位可坐．这个旅游团一共有 260 个人．
【分析】可设原来准备中型客车 x 辆，大型客车 y 辆，根据按照预定的租车方案，如果
大型客车都坐满，中型客车有一辆就会空出少于一半的座位，但是汽车运输公司发过来
的车辆，车型与对应的辆数刚好搞反了，这样就有 5 个人没有座位可坐，列出不等式得
到 y﹣x＜ ，再根据车辆数为整数，并且 y＞x，可得 y﹣x＝1，再根据旅行团队人数在 200
人和 300 人之间，列出不等式得到 ＜x＜ ，根据车辆数为整数，得到 x＝3，从而得
到这个旅游团一共有的人数．【解答】解：设原来准备中型客车 x 辆，大型客车 y 辆，依题意有
30x+45y﹣（45x+30y+5）＜30÷2，
解得 y﹣x＜ ，
∵车辆数为整数，并且 y＞x，
∴y﹣x＝1，
又由题意得 200＜45x+30y+5＜300，
∴200＜45x+30（x+1）+5＜300，
解得 ＜x＜ ，
∵车辆数为整数，
∴x＝3，
∴y＝4，
所以一共有 45×3+30×4+5＝260（人）．
故这个旅游团一共有 260 个人．
故答案为：260．
三．解答题（共 8 小题）
19．计算：
（1）（2a﹣3b）（2a+3b）+（a+3b）2
（2）
【分析】（1）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣9b2+a2+6ab+9b2＝5a2+6ab；
（2）原式＝ • ＝ ．
20．直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 A、C，CM 是∠ACD 的平分线，CM 交 AB
于点 N．
（1）如图①，过点 A 作 AC 的垂线交 CM 于点 M，若∠MCD＝55°，求∠MAN 的度数；
（2）如图②，点 G 是 CD 上的一点，连接 MA、MG，若 MC 平分∠AMG 且∠AMG＝36
°，∠MGD+∠EAB＝180°，求∠ACD 的度数．【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠BAC 的度数，再根据
垂线的定义，即可得出∠MAN 的度数；
（2）设∠ACD＝α，根据角平分线以及平行线即可得到∠MCG＝ ACD＝ ，∠BAC
＝∠MGD＝180°﹣α，依据三角形外角性质，即可得到 α 的度数．
【解答】解：（1）∵CM 是∠ACD 的平分线，∠MCD＝55°，
∴∠ACD＝2∠MCD＝110°，
又∵AB∥CD，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
又∵AM⊥EF，
∴∠MAN＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵MC 平分∠AMG 且∠AMG＝36°，
∴∠CMG＝18°，
∵MC 平分∠ACG，
∴∠MCG＝ ∠ACG，
∵∠CAB+∠EAB＝180°，∠MGD+∠EAB＝180°，
∴∠BAC＝∠MGD，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
设∠ACD＝α，则∠MCG＝ ACD＝ ，∠BAC＝∠MGD＝180°﹣α，
∵∠MGD 是△CMG 的外角，
∴∠MGD＝∠CMG+∠MCG，即 180°﹣α＝ +18°，
解得 α＝108°，∴∠ACD＝108°．
21．据调查，初中学生课桌椅不合格率达 76.7%（不合格是指不能按照学生不同的身高来调
节课桌椅的高度），为了解初中生的身高情况，随机抽取了某校初中部分男生、女生进行
调查收集数据如下：
男生身高（单位：cm）：163 161 160 163 161 162 163 164 163 163
女生身高（单位：cm）：164 161 160 161 161 162 160 162 163 162
整理数据：
160 161 162 163 164
男生（人） 1 2 1 a 1
女生（人） 2 b 3 1 1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 5 ，b＝ 3 ，并补全条形统计图；
（2）现有两名身高都为 163cm 的男生和女生，比较这两名同学分别在男生、女生中的身
高情况，并简述理由；
（3）根据相关研究发现，只有身高为 161cm 的初中生课桌椅是合格的，试估计全校 1000
名学生中，有多少名学生的课桌椅是合格的？
【分析】（1）根据被抽查男生和女生的人数减去其他数据即可得到结论，根据题意补全
条形统计图即可；（2）根据保证数据说明这两名同学分别在男生、女生中的身高情况即可；
（3）根据 161cm 的学生数占被抽查学生数的百分比×1000 即可得到结论．
【解答】解：（1）a＝10﹣1﹣2﹣2﹣1＝5，b＝10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3；
故答案为：5，3；
（2）身高 163cm 的男生在男生中属于中游，理由：10 名被抽查男生的身高的中位数是
163cm，
身高 163cm 的女生在女生中属于上游，理由：10 名被抽查女生的身高只有 1 名超过
163cm；
（3）1000× ＝250 名，
答：有 250 名学生的课桌椅是合格的．
22．九年级 8 班的王源同学根据学习经验，决定从问题的简单、特殊情形入手进行探究函数
y＝
的图象和性质，下面是他的探究过程，请你一起来完成．
（1）下表是 y 与 x 的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 9 7 m 3 1 6 3 n …
经计算，m 的值为 5 ，n 的值为 2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中描出上列各点，请画出该函数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x
＞0 时，y 随 x 的增大而减小 ．【分析】（1）利用解析式 y＝﹣2x+1 求 m 的值，利用 y＝ 求 n 的值；
（2）利用描点法画出两个函数图象；
（3）利用增减性得到函数的一条性质．
【解答】解：（1）当 x＝﹣2 时，m＝﹣2×（﹣2）+1＝5，
当 x＝3 时，y＝ ＝2，
（2）如图
（3）当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
故答案为 5，2；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
23．自陆海新通道铁海联运班列开行以来，加快了汽车整车及零配件、粮食、生鲜冻货等 300
余个品类货物的流通某厂家生产一种零件该零件的成本由材料成本和生产运输成本组成．
（1）每个零件的成本价为 40 元，每个零件的生产运输成本不超过材料成本的 ，也不
低于材料成本的 ，求每个零件的生产运输成本至少为多少元（每个零件的生产运输成
本为整数元）？
（2）厂家将单个零件的出厂价定为 60 元，今年年初该厂为鼓励进货商增加订购量，采取了优惠措施，1 月份的措施：一次性订购达到 200 个及以上，每 20 个免费赠送一个；2
月份的措施：一次性订购量多于 200 个时每超出一个，全部零件的出厂价就降低 0.1 元，
但出厂单价不能低于成本价．某进货商在 1 月份和 2 月份各订购了一次，共 600 个，总
货款 27400 元，两次都享受了优惠，其中 1 月份的订购量是 20 的整数倍．求 1 月份订购
量．
【分析】（1）设每个零件的生产运输成本为 x 元，由题意列出不等式组，解不等式组即
可；
（2）设 1 月份订购量为 x 个，由题意得：60﹣（600﹣x﹣200）×0.1≥40，解得：x≥
200，再由题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设每个零件的生产运输成本为 x 元，
由题意得： （40﹣x）≤x≤ （40﹣x），
解得：10≤x≤ ，
答：每个零件的生产运输成本至少为 10 元；
（2）设 1 月份订购量为 x 个，
由题意得：60﹣（600﹣x﹣200）×0.1≥40，
解得：x≥200，
由题意得：60（x﹣ ）+（600﹣x）[60﹣（600﹣x﹣200）×0.1]＝27400，
整理得：x2﹣970x+154000＝0，
解得：x＝200，或 x＝770（舍去），
∴x＝200，
答：1 月份订购量为 200 个．
24．如图，在△ABC 中，AB＝BC，点 D 是 AC 的中点，∠ABC＝45°，连接 BD，过点 A
作 AE⊥BC 于点 E，交 BD 于点 F，点 G 是 BC 的中点，连接 FG，过点 B 作 BH⊥AB 交
FG 的延长线于点 H．
（1）若 AB＝4，求 CE 的长；
（2）求证：BH+2CE＝AB．【分析】（1）由直角三角形的性质可得 AE＝2 ＝BE，即可求 EC 的长；
（2）由“ASA”可证△BGH≌△CGF，可得 BH＝CF，即可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，AE⊥BC，AB＝4
∴AE＝2 ＝BE
∴EC＝4﹣2
（2）连接 FC
∵BH⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠HBG＝45°，
由（1）知∠FCE＝45°，
∴∠FCE＝∠HBG，
∵点 G 是 BC 的中点，
∴BG＝CG，且∠HBG＝∠GCF，∠BGH＝∠CGF
∴△BGH≌△CGF（ASA），
∴BH＝CF，
∴AB＝BE+CE＝AE+CE＝AF+EF+CE，
∴AB＝BH+CE+CE＝BH+2CE．
25．阅读下列材料：
在数学的解题中，我们把一个式子中比较复杂的数学部分，用一个新的未知数（元）去
代替它，原式被改造得更简化，问题更易于解决，这种方法称为换元法．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，换元可以达到降次、或化
分式、根式为整式等目的换元法可以运用于数式计算、分解因式、解方程（组）等方
面．下面举例说明
例 ， 计 算
解析：由于题目中 在各个因式中重复出现，可以令 ＝a，
原式＝（1﹣a）（a+ ）﹣（1﹣a﹣ ）a
＝a+ ﹣a2﹣ a﹣a+a2+ a
＝
请解决下列问题：
（1）在方程组 中，x+3y 的值是 14 ；
（2）已知正整数 k，使 93×95×97×99+k 是一个正整数 m 的平方，求 k 的最小值．
【分析】（1）设 x+3y＝m，3x+y＝n，则方程组变形为 ，然后利用加减消元
法求出 m 即可；
（2）设 a＝95，则 m＝（a﹣2）•a•（a+2）•（a+4）+k＝（a2+2a）2﹣8（a2+2a）+k，
然后利用完全平方公式得到 k 的最小值．
【解答】解：（1）设 x+3y＝m，3x+y＝n，
方程组 ，
由②得 3m+2n＝78③，
①+③得 6m＝84，解得 m＝14，
把 m＝14 代入①得 3×14﹣2n＝6，
解得 n＝18，
所以 x+3y＝14；
故答案为 14；
（2）设 a＝95，则 m＝93×95×97×99+k＝（a﹣2）•a•（a+2）•（a+4）+k
＝（a2+2a﹣8）（a2+2a）+k
＝（a2+2a）2﹣8（a2+2a）+k
当 m 为正整数 m 的平方，k 的最小值为 16．
26．如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为
D，连接 BC
（1）点 G 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与 B、C 重合），过点 G 作 y 轴的平行线
交直线 BC 于点 E，作 GF⊥BC 于点 F，点 M、N 是线段 BC 上两个动点，且 MN＝EF，
连接 DM、GN．当△GEF 的周长最大时，求 DM+MN+NG 的最小值；
（2）如图 2，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，点 Q 是线段 BC 上一动点，连接 DQ，
将△DPQ 沿 PQ 翻折，且线段 D′P 的中点恰好落在线段 BQ 上，将△AOC 绕点 O 逆时
针旋转 60°得到△A′OC′，点 T 为坐标平面内一点，当以点 Q、A′、C′、T 为顶点
的四边形是平行四边形时，求点 T 的坐标．
【分析】（1）先求出点 B、C、D 的坐标，可求直线 BC 解析式且得到∠OCB＝45°．由
GE∥y 轴和 GF⊥BC 可得△GEF 是等腰直角三角形，则 GE 最大时其周长最大．设点 G
坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点 E（a，﹣a+3），可列得 GE 与 a 的函数关系式，配方可
求出其最大值，得到此时的 G 坐标和 EF 的长，即得到 MN 长．求 DM+MN+NG 最小值
转化为求 DM+NG 最小值．先作 D 关于直线 BC 的对称点 D1，再通过平移 MD1 得 D2，
构造“将军饮马”的基本图形求解．
（2）由翻折得 DD'⊥PQ，PD＝PD'，再由 P 为 BD 中点证得∠BD'D＝90°，得 PQ∥
BD'，又 D'P 中点 H 在 BQ 上，可证△PQH≌△D'BH，所以有 D'Q∥BP 即四边形 DQD'P
为菱形，得 DQ＝DP．设 Q 点坐标为（q，﹣q+3）即可列方程求得．再根据题意把点
A'、C'求出．以点 Q、A′、C′、T 为顶点的四边形是平行四边形，要进行分类讨论，结
合图形，利用平行四边形对边平行的性质，用平移坐标的方法即可求得点 T．【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线与 x 轴交于点 A（﹣1，0）、点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），顶点 D
（1，4），
∴直线 CB 解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°
∵GE∥y 轴，GF⊥BC
∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°
∴△GEF 是等腰直角三角形，EF＝FG＝ GE
∴C△GEF＝EF+FG+GE＝（ +1）GE
设点 G（a，﹣a2+2a+3），则点 E（a，﹣a+3），其中 0＜a＜3
∴GE＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣ ）2+
∴a＝ 时，GE 有最大值为
∴△GEF 的周长最大时，G（ ， ），E（ ， ），
∴MN＝EF＝ ，E 点可看作点 F 向右平移 个单位、向下平移 个单位
如图 1，作点 D 关于直线 BC 的对称点 D1（﹣1，2），过 N 作 ND2∥D1M 且 ND2＝D1M
∴DM＝D1M＝ND2，D2（﹣1+ ，2﹣ ）即 D2（ ， ）
∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG
∴当 D2、N、G 在同一直线上时，ND2+NG＝D2G 为最小值
∵D2G＝
∴DM+MN+NG 最小值为
（2）连接 DD'、D'B，设 D'P 与 BQ 交点为 H（如图 2）
∵△△DPQ 沿 PQ 翻折得△D'PQ∴DD'⊥PQ，PD＝PD'，DQ＝D'Q，∠DQP＝∠D'QP
∵P 为 BD 中点
∴PB＝PD＝PD'，P（2，2）
∴△BDD'是直角三角形，∠BD'D＝90°
∴PQ∥BD'
∴∠PQH＝∠D'BH
∵H 为 D'P 中点
∴PH＝D'H
在△PQH 与△D'BH 中
∴△PQH≌△D'BH（AAS）
∴PQ＝BD'
∴四边形 BPQD'是平行四边形
∴D'Q∥BP
∴∠DPQ＝∠D'QP
∴∠DQP＝∠DPQ
∴DQ＝DP
∴DQ2＝DP2＝（2﹣1）2+（2﹣4）2＝5
设 Q（q，﹣q+3）（0＜q＜3）
∴（q﹣1）2+（﹣q+3﹣4）2＝5
解得：q1＝ ，q2＝ （舍去）
∴点 Q 坐标为（ ，3﹣ ）
∵△AOC 绕点 O 逆时针旋转 60°得到△A′OC′
∴A'（﹣ ，﹣ ），C'（﹣ ， ）
∴A'、C'横坐标差为 ，纵坐标差为
A'、Q 横坐标差为 ，纵坐标差为当有平行四边形 A'C'TQ 时（如图 3），点 T 横坐标为 ，纵
坐标为
当 有 平 行 四 边 形 A'C'QT 时 （ 如 图 4 ），点 T 横 坐 标 为 ， 纵 坐 标 为
当有平行四边形 A'TC'Q 时（如图 5），点 T 横坐标为 ，
纵坐标为
综 上 所 述 ， 点 T 的 坐 标 为 （ ） 或 （ ，
）或（ ）
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