资料简介
保密★启用前
2019—2020 学年度第二学期监测
高二数学
2020.5
本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设函数 ，则
A．0 B．1 C．2 D．
2．若 ，则
A．6 B．7 C．8 D．9
3．一物体做直线运动，其位移 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系是 ，则该物体在
时的瞬时速度为
A．3 B．7 C．6 D．1
4．函数 有
A．极大值 6，极小值 2 B．极大值 2，极小值 6
C．极小值 ，极大值 2 D．极小值 2，极大值 8
5．已知函数 与 的图象如图所示，则不等式组 解集为
A． B． C． D．
6．从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至
少有 1 名女生，共有不同的选法种数为
A．420 B．660 C．840 D．880
( )f x x=
0
(1 ) (1)lim
x
f fx
x∆ →
+ ∆ − =∆
1−
3 3
2 10n nA A= n =
2 5s t t= − + 2t s=
3 3 4y x x= − +
1−
( )f x ( )f x′ ( ) ( )
0 3
f x f x
x
′ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ >
2 lny x x= + ( )1,1
( )3P X = =
3 2( ) ( , , , 0)f x ax bx cx a b c R a= + + ∈ ≠ ( ) ( ) 2xf x af x′ − ≤ x R∈
a = b c
a
+
3( ) (1 cos )(1 )f x x x= + −（2） ．
18．（12 分）
2020 年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上
学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为
11:13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育不满意．
（1）完成 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
满意 不满意 总计
男生 20
女生 15
合计 120
（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中抽取 3 名学
生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为 ，求出 的分布列及期望值．
参考公式：附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828
19．（12 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极大值，求实数 的取值范围．
20．（12 分）
某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年 7 月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合
理安排生产，工厂对本年度 1 月份至 6 月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单
价 x（单位：元）和销售量 y（单位：千件）之间的 6 组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价 （元） 11.1 9.1 9.4 10.2 8.8 11.4
( ) 21
xxf x x
= −+
2 2×
ξ ξ
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b a c b d c d
−= + + + +
( )2P K k>
k
l( n)
xe af x ax xx
= − −
0a = ( )f x
( )f x 1x = a
x销售量 （千件） 2.5 3.1 3 2.8 3.2 2.4
（1）根据 1 至 6 月份的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01）；
（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件 3 元，那么工厂如何
制定 7 月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到 0.1）
参考公式：回归直线方程 ，
参考数据： ．
21．（12 分）
为保护环境，某市有三家工厂要建造污水处理厂．三家工厂分别位于矩形 ABCD 的顶点 AB 及 CD 的中
点 P 处，已知 ， 按照规划要求污水处理厂建在矩形 ABCD 的区域上（含边界），
且与 A，B 等距离的一点 O 处，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为 ykm．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设 ，将 y 表示成 的函数关系式；
②设 ，将 y 表示成 x 的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
22．（12 分）
已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 在区间 上无零点，求 的取值范围
高二数学试题参考答案
y
ˆˆ ˆy bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
6 6
2
1 1
605.82, 168.24i i i
i i
x x y
= =
= =∑ ∑
20kmAB = 10kmCB =
( )BAO radθ∠ = θ
( )kmOP x=
( ) ( ) ( )2 2 1 lnf x a x x a= − − + +
1a = ( )f x
( )f x 1(0, )2 a2020.5
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1-4BCDA 5-8BBDC
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9．AC 10．BC 11．ABC 12．ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 14．24
15． 16．3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）
．
（2） ，
则 ．
18．解：（1）因为男生人数为： ，
所以女生人数为 ，
于是可完成 2×2 列联表，如下：
满意 不满意 总计
男生 20 25 25
女生 50 15 65
合计 80 40 120
根据列联表中的数据，得到 的观测值
，
所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”．
3 2 0x y− − =
13
63 [ 1 , )6
− +∞
3 3( ) (1 cos ) (1 ) (1 cos )(1 )f x x x x x′ ′ ′= + − + + −
3 2sin (1 ) 3 (1 cos )x x x x= − − − +
3 2 2sin sin 3 3 cosx x x x x x= − + − −
1( ) 2 1 21 1
x xxf x x x
= − = − −+ +
2
1( ) 2 ln2( 1)
xf x x
′ = −+
11120 5511 13
× =+
120 55 65− =
2K
2
2 120 (30 15 25 50) 960 6.713 6.63555 65 80 40 143k
× × − ×= = ≈ >× × ×（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，
依题可知 的可能取值为 0，1，2，3，并且 服从超几何分布，
，即
，
， ．
可得分布列为
0 1 2 3
可得 ．
19．解：（1） 的定域为 ，
当 时， ，
令 得 ，令 得，
所以 的增区间为 ，减区间为 .
（2）
①当 时，若 ，则 ，
此时 ， 在 单调递增，
所以函数 在 处不可能取得极大值， 不合题意．
②当 时，
1
ξ ξ
3
3 5
3
8
( ) ( 0,1,2,3)
k kC CP k kC
ξ
−
= = =
3
5
3
8
5(( 0) 28
CP C
ξ = = =
2 1
5 3
3
8
15( 1) 28
C CP C
ξ = = =
1 2
5 3
3
8
15( 2) 56
C CP C
ξ = = =
3
3
3
8
1( 3) 56
CP C
ξ = = =
ξ
P 5
28
15
28
15
56
1
56
5 15 15 1 9( ) 0 1 2 328 28 56 56 8E ξ = × + × + × + × =
( )f x ( )0,+∞
0a = ( )
xef x x
= 2
( 1)( )
xe xf x x
−′ =
( ) 0f x > 1x > ( ) 0f x′ <
( )f x (1, )+∞ ( )0,1
2
( )( 1)( )
xe a xf x x
− −′ =
a e≤ ,( )1x ∈ +∞ 0x xe a e e≥− − >
2
( )( 1)( ) 0
xe a xf x x
− −′ = > ( )f x (1, )+∞
( )f x 1x = a e≤
a e> ln 1a >
x (0,1) (1,ln )a0
↗ 极大值 ↘
函数 在 处取得极大值．
综上可知，a 的取值范围是 ．
20．解：（1）由条件知， ， ，
，
从而 ，
故 关于 x 的线性回归方程为 ．
（2）假设 7 月份的销售单价为 x 元，
则由（1）可知，7 月份零配件销量为 ，
故 7 月份的利润 ，
其对称轴 ，
故 7 月份销售单价为 11.3 元时，该月利润才能达到最大．
21．解：（1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 ，
则 ，故 ，
又 ，
所以 ，
所求函数关系式为
．
( )f x′ + −
( )f x
( )f x 1x =
( ),e +∞
10x = 17
6y =
2
17168.24 6 10 886ˆ 0.3060.88 6 10 299b
− × ×
= = − ≈ −− ×
17 88ˆ ( ) 10 5.866 291a = − − × ≈
y ˆ 0.30 5.86y x= − +
ˆ 0.30 5.86y x= − +
2( 0.3 5.86)( 3) 0.3 6.76 17.5x x x xω = − + − = − + −
33.8 11.33x = ≈
( )BAO radθ∠ =
10
cos cos
AQOA θ θ= = 10
cosOB θ=
10 10tanOP θ= −
10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + −
20 10sin 10(0 )cos 4y
θ πθθ
−= + < ≤②若 ，则 ，
所
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令 得 ，所以 ，
当 时， ，y 是 的减函数；
当 时， ，y 是 的增函数；
所以当 时， ．
这时点位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 处．
（若选择②请自行解答）
22．（12 分）
解：（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ，
令 ，得 ，
( )kmOP x= 10OQ x= −
2 2 2(10 ) 10 20 200OA OB x x x= = − + = − +
22 20 200(0 10)y x x x x= + − + < ≤
2
10cos cos (20 10sin )( sin )
cosy
θ θ θ θ
θ
− ⋅ − − −′ =
2
10(2sin 1)
cos
θ
θ
−=
0y′ = 1sin 2
θ =
6
πθ =
(0, )6
πθ ∈ ' 0y < θ
( , )6 4
π πθ ∈ 0y′ > θ
6
πθ = min 10 10 3y = +
10 3 km3
1a = ( ) 1 2lnf x x x= − − (0, )+∞
2( ) 1f x x
′ = −
( ) 0f x′ > 2x >令 ，得 ，
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）∵函数 在区间 上无零点，
∴在区间 上， 恒成立或 恒成立
，
．
①当 时， ，
在区间 ， ，
记 ，
则 ，
在区间 上，
∴在区间 上， 单调递减，
∴
即 ，
( ) 0f x′ < 0 2x< <
( )f x ( )0,2 (2, )+∞
( )f x 1(0, )2
1(0, )2
( ) 0f x > ( ) 0f x <
( ) ( ) ( )2 2 1 lnf x a x x a= − − + +
( )( )2 1 2lna x x= − − −
1 1 1( ) (2 ) 2(1 ln )2 2 2f a a= − ⋅ − + +
1 ( 4ln2 2)2 a= + −
1( ) 02f ≥ 2 4ln2a ≥ −
1(0, )2 ( ) ( 2)(1 ) 2 ( 4ln2)( )ln 1 2lnxf x a x x x= − − − ≥ − − −
( ) ( 4ln2)(1 ) lng x x x= − − −
1 1 1( ) ( 4ln2)(1 ) 2ln 02 2 2g = − − − =
2( ) 4ln2g x x
′ = −
1(0, )2
2( ) 4ln2 4ln2 4 0g x x
′ = − < − <
1(0, )2
( )g x
1( ) ( ) 02g x g> =
( )( )4ln2 1 2ln 0x x− − − >∴ ，
即 在区间 上恒成立，满足题意；
②当 时 ，
．
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上有零点，
即函数 在区间 上有零点，不符合题意
综上所述， ．
( ) ( 4ln2)(1 ) 0l2 nx xf x≥ − − − >
( ) 0f x > 1(0, )2
1( ) 02f < 4ln2 2a < +
2 4ln2 1 10 16 2
ae e− −< < = <
2 2 2 2 2ln( ) (2 ) 2(1 ) (2 )( 1)a a af e a ee a a e− − − −= − − + + = − +
2 4ln2 0a− > > 2 1 0ae − + >
( ) ( )2 2(2 ) 1 0a af e a e− −= − + >
( )f x 2 1( , )2
ae −
( )f x 1(0, )2
2 4ln2a ≥ −
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