资料简介
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理工附中通州校区 2019-2020 学年度第二学期期中数学试卷
命题：刘志刚 审题：朱玲 审核：朱玲 满分：150 分 时间：120 分钟
一、选择题（共 10 小题；每题 4 分，共 40 分）
1. 设 ， 是两个集合，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 函数 的定义域为
A. B.
C. D.
3. 若复数 满足 ，则复数 的虚部是
A. B. C. D.
4. 已知过点 (1,0 )P 且与曲线 3yx 相切的直线的条数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5. 若 ，则
A. B. C. D.
6. 已知(푎 − 푥)5 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + ⋯+ 푎5푥5，若푎2 = 80，则푎0 + 푎1 + 푎2 + ⋯ + 푎5 = ( )
A. 32 B. 1 C. −243 D. 1 或−243
7. 记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则
A. B. C. D.
8. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必
须有班级要去，则不同的分配方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 已知 2x ， 1ax，
2
2
xbx ， lncx ，则（ ）
A． c b a B．bac C．c a b D．bca
10. 函数 的图象大致为 第 2 页（共 3 页）
A. B.
C. D.
二、填空题（共 5 小题；每题 5 分，共 25 分）
11. 若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为 ．
12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
13. 已知函数 ，则 ．
14. 位教师和 名学生站成一排合影，要求 位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法
的种数为 （结果用数字表示）．
15. 设函数 ．当 时， ；如果对于任意
的 ，都有 ，那么实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共 6 小题；共 85 分）
16. （14 分）实数 取什么值时，复数 是：
（1）实数?
（2）虚数?
（3）纯虚数?
（4）表示复数 的点在第一象限?
17. （14 分）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若当 时，不等式 有解，求实数 的取值范围．
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18.（14 分） 如图，三棱锥 中， ，底面 为正三角形．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
19. （14 分）已知函数 的图象过点 ，且在点 处的
切线斜率为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）求函数 在区间 上的最大值与最小值．
20. （14 分）已知(1 + 2푥)푛， ．
(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为 128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 37，求展开式中系数最大的项．
21.（15 分） 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围．
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