资料简介
北京市八一学校 2019～2020 学年度第二学期期中试卷
高二数学
说明：所有解答通过问卷星提交．选择题和填空题直接在问卷星上作答，解答题需要上传照片．考试
时长 90 分钟，满分 100 分．出现网络连接等技术问题，请及时联系任课教师，截屏说明情况并耐心等
待．
一、选择题（共 30 小题，每小题 2 分，共计 60 分）．从四个选项中选择一个最佳选项．
1．空集 不包含任何元素，也就是空集中的元素个数是（ ）
A．0 B．1
C． D．i（虚数单位，平方等于 ）
2．准确表达‘0 是自然数，直线 a 在平面 内’的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．记集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．由均值不等式知道， ，当且仅当 时取等号；当 时，由
知道 ．如下判断全部正确的是（ ）
A． 有最小值 2， 有最大值 4 B． 有最小值 2， 有最小值 4
C． 有最小值 1，ab 有最大值 4 D． 有最小值 1，ab 有最小值 4
6．关于 x 的不等式 的解集是（ ）
∅
+∞ 1−
α
0 N∈ a α∈ 0 N∈ a α⊂
0 N⊂ a α∈ 0 N⊂ a α⊂
{ }1,2A = { }2,3B = { }1,2,3C = ( )CA B∩ =
{ }1,2,3 { }1,2 { }2 { }1
0b a> > m R+∈
a m a
b m b
+ ≥+
a m a
b m b
+ ≤+
a m a
b m b
+ >+
a m a
b m b
+ 2ab a b ab= +
4a b ab+ = ≥
2 1x + a b+ 2 1x + a b+
2 1x + 2 1x +
4
( 1)( 1) 0( 1)
x x
x
− − − ≥−A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时
8． （ ）
A． B． C．1 D．
9．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，则下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11． （ ）
A．1 B． C． D．
12．若 ，则 的导函数 （ ）
A． B． C． D．
13．下列关于 的函数的求导的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
( )1,1− [ )1,1− ( ]1,1− [ ]1,1−
5
3 62 2 2 2
−× × = 2log 32 8=
6 6log 4 log 9 2+ = 2 10x = lg2x =
7sin( )4
π− =
2
2
2
2
− 1−
sin3 t= cos3 =
21 t− 21 t− −
21
t
t− 21
t
t
−
−
sin6 0.1° =
3 11cos84 10
° = tan96 3 11° = −
3 11sin12 50
° = cos12 0.98° =
tan22.5° =
1
2 2 1± − 2 1−
2
0
( ) ( )lim
x
xf x f x
x x∆ → ∆
+ ∆ − = ( )f x ( )f x′ =
2x 31
3 x 2x 23x
x
1( ) ( 0)ln xxx ′ = > ( )cos sin sin cosx x x x x+ = − +′
1( )x x
x x
e e
−′ = ( )cos2 2sin2x x=′14．已知平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，∠A=60°．则（ ）
A． B．
C． D．
15．已知正方体 （如图），则（ ）
A．直线 CF 与 GD 所成的角与向量所成的角 相等
B．向量 是平面 ACH 的法向量
C．直线 CE 与平面 ACH 所成角的正弦值与 的平方和等于 1
D．二面角 的余弦值等于
16． （ ）
A． B． C． D．
17．若复数 满足 ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
18．复数 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
19．若 总成立，则函数 的图像（ ）
A．关于点 对称 B．关于 对称
0AB BC CD DA+ + + = 1DA DC⋅ =
0DA DB⋅ = | 2 | 1DA DC− =
ABCD EFGH−
,CF GD< >
FD
cos ,CE FD< >
A FHH C− − 1
2
( ) ( )2 3i i+ + + =
5 2i+ 5 5i+ 6 i+ 6 5i+
z ( )1 2z i i+ = z =
1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− −
1 2i− +
( ) ( )2 2f x f x− = − + ( )2f x+
( )2,0 2x =C．以 4 为周期 D．关于原点对称
20．若函数 的零点是 2，则函数 的零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
21．把函数 的图像上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到的图像所对应的函数
是（ ）．
A． B． C． D．
22．下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．过点 的直线与圆 有两个交点 A 和 B，它们与原点 O 确定的三角形 OAB 的面积最大
值是（ ）
A． B．1 C． D．2
24．已知函数 ，其中 ，则（ ）
A．函数 的定义域是 B．函数 的值域是
C．不等式 的解集是 D．零点是
25．已知函数 ．记“ ， ”为 ，记“ 为
；p 中常数 a 的取值范围记为集合 A，q 中常数 a 的取值范围记为集合 B．则下列说法正确的是（ ）
①p 是 q 的充分条件；②p 是 q 的必要条件；③集合 A 是 B 的子集；
④集合 B 是 A 的子集；⑤集合 A 是 B 的真子集；⑥集合 B 是 A 的真子集．
A．①③⑤ B．②④⑥ C．①③ D．②④
26．函数 的切线 经过点 ，相应的切点坐标是（ ）
( )f x ( )2f x
( )2f x − 1
2
1( 1)2f x − 1( 2)2f x − ( )2 4f x − ( )2 2f x −
0.5 0.62 2> 0.5 0.5log 2 log 3< 0.1 0.15 6− −> cos1 cos2<
( )2,0P 2 2 1x y+ =
1
2 2
( ) ( )2log 2f x x= + [ ]1,2x ∈ −
( )f x { }2| –x x > ( )f x ( ]0,2
( ) 0f x ≤ ( ]2, 1− − 1−
2
1( ) log ( )f x xa
= + 1 1,3 2x ∈
∀ ( ) 0f x > p 1 1, , ( ) 03 2 fx x ∈ >
∃
q
3y x= 3 4 1 0x y− + = ( )1,1AA． B．
C． 或 D． 或
27．函数 的增区间是（ ）
A． B． C． D．
28．函数 的极小值点是（ ）
A．0 B．1 C． D．不存在的
29．函数 在 上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
30．某次考试都是判断题，每做对一道题得 10 分，做错得 0 分．一共有 10 道题，满分是 100 分．甲、乙、
丙、丁四位同学的解答和得分如下表．由此可知丁同学的得分是（ ）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分
甲 对 错 对 对 错 错 对 错 错 对 50
乙 错 对 对 错 对 错 错 对 对 错 70
丙 错 错 错 对 对 对 错 错 对 错 80
丁 错 错 对 对 对 错 错 错 对 错
A．70 B．80 C．90 D．100
二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）．直接将‘十进制的数字结果’写在横线上．
31．书架有三层，第一层有 5 本不同的数学书，第二层有 4 本不同的语文书，第三层有 3 本不同的英语书．现
从书架上任取两本不同科目的书，有_________取法．
32．有 5 位同学各自独立地报名课外兴趣小组，可报名的小组有中华传统文化、生物技术（Biotechnology）、
数学应用共 3 个．如果每位同学限报一个小组，小组招收人数没有上限，那么所有可能的不同的报名
( )1,1 1 1( , )2 8
− −
1 1( , )2 8
− − ( )1,1 1 1( , )2 8
− − 1 1( , )2 8
lny x x= −
( ],1−∞ [ ]0,1 ( ]0,1 [ )1,+∞
1y x= −
( )0,1
sinxy e x= ,2 2
π π −
2e
π−− 33
2 e
π−− 42
2 e
π−− 61
2 e
π−−结果有_________种．
33．用 0，1，2，3，4 这 5 个数字组成三位数，其中有_________个无重复数字的偶数．
34．有 4 位同学和 2 位教师一起合影．若教师不能坐在两端，也不坐在一起，则有_________种坐法．
35．把 6 块相同的牛排分给 4 位同学，每人至少一块，有_________种分法．
36．把 6 张不同的充值卡分给 4 位同学，每人至少 1 张，有_________种分法
37．若 ，则 _________
38．在 的展开式中，含 的项的二项式系数为_________
39．若 ，则 _________
40．某班共有 40 学生．某次考试中，甲、乙、丙 3 位同学的成绩都在班级前 10 名．甲的成绩比乙高，乙
的成绩比丙高，全班没有并列名次．如果把甲、乙的成绩排名依次作为横坐标 x、纵坐标 y，那么这样
的点坐标 共有_________个．
三、解答题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）．写出演算、推理等解答的全部过程．
41．已知函数 ，其中 ．
（1）求 的值：
（2）求函数 的单调区间
42．已知函数
（1）当 时，求 的最小值：
（2）求证： 时， 总有大于 0 的极大值．
3 4 34( )n n nC C A+ = n =
5(2 )x x− 4x
5 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5(1 2 )x a a x a x a x a x a x+ = + + + + + 0 1 3 5a a a a+ + + =
( ),x y
2( ) 1 2si sinn cos2 3f x x x x= − + 0, 2x
π ∈
( )12f
π
( )f x
2
( ) x
x ax af x e
− −=
0a = ( )f x
2a ≠ − ( )f x
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