资料简介
重庆南开中学 2020 级高三第二次教学质量检测考试数学（文科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的。
1.若向量 ， ，则与 共线的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求 ，根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量.
【详解】
设与 平行的向量是 ，
则
即 ，
满足条件的只有 .
故选：C
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，主要考查基本公式，属于基础题型.
2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用 2、3、7 三个数组成没有重复数
字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求由 2、3、7 组成没有重复数字的三位数，和凸数的个数，然后求古典概型表示的概率.
【详解】由 2、3、7 组成没有重复数字的三位数有 种方法，
其中凸数有 种方法，
( )1, 2a = − ( )3, 1b = − a b+
( )1,1− ( )3, 4− − ( )4,3− ( )2, 3−
( )4, 3a b+ = −
( )4, 3a b+ = −
a b+ ( ),c x y=
( )4 3 0y x− − =
3 4 0x y+ =
( )4,3−
1
6
1
4
1
3
1
2
3
3 6A =
2
2 2A =则该数为凸数的概率为 .
故选：C
【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题型.
3.能使得复数 位于第三象限的是（ ）
A. 为纯虚数 B. 模长为 3
C. 与 互为共轭复数 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析四个选项中的参数 ，判断是否能满足复数 是第三象限的点.
【详解】
由题意可知，若复数在第三象限，
需满足 ，解得： ，
A. 是纯虚数，则 ，满足条件；
B. ，解得： ，当 不满足条件；
C. 与 互为共轭复数,则 ，不满足条件；
D. 不能满足复数 在第三象限，不满足条件.
故选：A
【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.
4.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
2 1
6 3P = =
( )32z a ai a R= − + ∈
2 1 2a i− + 1 2ai+
3 ai+ 3 2i+ 0a >
a ( )32z a ai a R= − + ∈
32 2z a ai a ai= − + = − −
2 0
0
a
a
−
0x > ( )f x
0x =
O ABC∆ A B C a b c 3a =
2BO AC⋅ = C ABC∆
5 2 5 10 2 3
( )BO AC BO BC BA BO BC BO BA⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅
5c = 90A = sinC 5sin 3C =
( )BO AC BO BC BA BO BC BO BA⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅
，
， ，
，且 ，
当 时， 时， 也取得最大值 ,
此时， ，
.
故选：A
【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能
力，本题的关键是根据正弦定理 ，且 ，说明 时， 也取得
最大值，后面的问题迎刃而解.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.幂函数 在 上为减函数，则实数 的值为______.
【答案】-3
【解析】
【分析】
由已知可知， ，然后依次验证是否满足条件.
【详解】由已知可知，
解得： 或 ，
当 时， ，在 上是增函数，故不成立；
当 时， ，在 上为减函数，成立
故答案为：-3
【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数，属于简单题型.
cos cosBO BC OBC BO BA OBA= × × ∠ − × × ∠
2 2 2 21 1 1 1 22 2 2 2BC BA a c= − = − =
3a = 2 5 5c c∴ = ⇒ =
sin 3
sin 5
a A
c C
= = A C>
sin 1A = 90A = sinC 5sin 3C =
2 2 2b a c= − =
1 1 2 5 52 2ABCS bc∆ = = × × =
sin 3
sin 5
a A
c C
= = A C> 90A = sinC
( ) ( )2 2 2 mm mf xx = + − ( )0, ∞+ m
2 2 2 1m m+ − =
2 2 2 1m m+ − =
1m = 3m = −
1m = ( )f x x= ( )0, ∞+
3m = − ( ) 3f x x−= ( )0, ∞+14.已知等差数列 满足 ，则 值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
等差数列的性质可知求 ，再根据 求值.
【详解】由等差数列的性质可知
，
，
，
.
【点睛】本题考查等差数列的性质求值，意在考查转化与变形，属于基础题型.
15.已知 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是______.
【答案】
【解析】
【分析】
依次做出 ， ， 三个函数的图象，由图象可知 ， ， 的大小关系.
【详解】 ， ，
依次做出 ， ， 三个函数的图象，
的{ }na 1 6 11 2a a a π+ + = ( )3 9cos a a+
1
2
−
6
2
3a π= 3 9 62a a a+ =
1 6 11 63 2a a a a π+ + = =
6
2
3a π∴ =
3 9 6
42 3a a a π+ = =
( )3 9
4 1cos cos 3 2a a π∴ + = = −
, ,a b c R+∈ ln 1a a= − ln 1b b = 1cce = a b c
c a b< <
lny x= 1y x= − 1y x
= a b c
ln 1a a= − 1lnb b
= 1ce c
=
lny x= 1y x= − 1y x
=由图象可知 ， ， ，
.
故答案为：
【点睛】本题考查求函数零点并比较大小，主要考查了数形结合和转化与化归，本题的关键
是首先将函数变形为 ， ，然后再通过图象求零点大小.
16.已知夹角为 的向量 ， 满足 ， ，若 ， ，
则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据提示，可建立如图表示的坐标系，表示向量模的几何意义，再根据数形结合表示向量模
的最小值.
【详解】根据已知可建立如图坐标系， ， ， ， ，
则 ， ，，
设 ，
，
，
点 的轨迹是以 为圆心， 的圆，
，
， ，
即点 的轨迹方程是 ，
表示 两点间距离，如图，
的最小值是圆心到直线的距离减半径，
0 1c< < 1a = 1b >
c a b∴ < <
c a b< <
1lnb b
= 1ce c
=
60° a b 4a = 2b = 1p b+ = ( )q a b Rλ λ= + ∈
p q−
2 3 1−
OA a= OB b= OP p= OQ q=
( )4,0A ( )1, 3B
( ),p x y=
1p b+ =
( ) ( )221 3 1x y∴ + + + =
∴ P ( )1, 3− − 1r =
( )4 , 3q a bλ λ λ= + = +
4
3
x
y
λ
λ
= +∴ = 3 4 3x y∴ − =
Q 3 4 3 0x y− − =
p q− PQ
p q− 圆心到直线的距离是 ，
的最小值是 .
故答案为：
【点睛】本题考查向量模最小值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档
题型，本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求证： 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 当 时 ， 构 造 ， 两 式 相 减 得 到 ， 再 通 过 构 造 得 到
，并且验证 满足；
（2）根据（1）可知 ，由数列形式可知用分组转化法求和.
【详解】（1）由 得： ，两式相减得：
3 3 4 3
2 3
3 1
d
− + −
= =
+
∴ p q− 2 3 1−
2 3 1−
{ }na n nS 1 1a = ( )*
1 1n na S n n N+ = + + ∈
{ }1na + { }na
2n nb a n= + { }nb n nT
( )*2 1n
na n N= − ∈ 1 22 2n n+ − +
2n ≥ 1n na S n−= + 1 2 1n na a+ = +
( )( )1 1 2 1 2n na a n+ + = + ≥ ( )2 11 2 1a a+ = +
2 2 1n
nb n= + −
1 1n na S n+ = + + ( )1 2n na S n n−= + ≥，即 ，∴ ，
由 ，令 得 ，而 ，故 ，
所以 为首项是 2，公比是 2 的等比数列，故 ， .
（2） ，
∴ .
【点睛】本题考查已知数列的前 项和 ，求 ，和数列求和，本题属于基础题型，但第一
问需注意 的取值范围， 只能说明数列 从第 2 项起是等
比数列，还需验证首项满足，这点需注意.
18.已知向量 ， ，设函数 .
（1）求 的单调增区间；
（2）设函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，求函数
的值域.
【答案】（1） ， .（2）
【解析】
【分析】
（1）首先化简函数 ，然后令 ，
求函数的单调递增区间；
（2）首先化简 ，然后求 的范围，再求 的值域.
【详解】（1）由题 ， ，∴ ，
∴ ，
( )1 1 2n n na a a n+ − = + ≥ 1 2 1n na a+ = + ( )( )1 1 2 1 2n na a n+ + = + ≥
1 1n na S n+ = + + 1n = 2 3a = 1 1a = ( )2 11 2 1a a+ = +
{ }1na + 1 2n
na + = ( )*2 1n
na n N= − ∈
2 2 2 1n
n nb a n n= + = + −
( ) ( )22 2 2 1 3 5 2 1n
nT n= + + + + + + + + − 1 22 2n n+= − +
n nS na
n ( )( )1 1 2 1 2n na a n+ + = + ≥ { }1na +
( )( )cos ,sina x xπ= − sin ,cos 2b x x
π = +
( ) 1 2f x a b= − ⋅
( )f x
( )f x
4
π ( )g x
( ) ( ) ( ) ,6 3h x f x g x x
π π = − ∈
3,8 8k k
π ππ π − + + k Z∈ ( ) [ ]1,1h x ∈ −
( ) 2 sin 2 24f x x
π = − + 2 2 22 4 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ +
( ) 2cos2h x x= − 2x ( )h x
( )cos ,sina x x= − ( )sin , sinb x x= − 2sin cos sina b x x x⋅ = − −
( ) 21 2sin cos 2sin 2 sin 2 cos2x x x xf x x= + + = + − 2 sin 2 24x
π = − + 令 ，∴ ，
所以函数 的单调增区间为 ， .
（2）由题可得 ，
故 ，
因为 ，∴ ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化归和计算能力，本题
的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形，所以需熟练掌握三角函数的变形公式.
19.如图所示，正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求该三棱柱底面边长.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，分别取 ， 中点 ， ，连接 ，
， ，证明四边形 是平行四边形，即可证明 ；
（2）因为 是 的中点，所以 ，利用体积转化求底面边长.
【详解】（1）法 1：分别取 ， 中点 ， ，连接 ， ， ，
2 2 22 4 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ + 3
8 8k x k
π ππ π− + ≤ ≤ +
( )f x 3,8 8k k
π ππ π − + + k Z∈
( ) 2 sin 2 24g x x
π = + +
( ) ( ) ( )h x f x g x= − 2 sin 2 2 2 sin 2 2 2cos24 4x x x
π π = − + − + + = −
,6 3x
π π ∈
22 ,3 3x
π π ∈
1 1cos2 ,2 2x ∈ −
( ) [ ]1,1h x ∈ −
1 1 1A B C ABC− 1 4A A = D E 1 1AC 1BC
/ /DE 1 1A ABB
E ACD− 2 3
2 3a =
1 1A B 1B B M N DM
MN EN DMNE / /DE MN
E 1BC 1 1
2 2E ACD B ACD D ABCV V V− − −= =
1 1A B 1B B M N DM MN EN则 ， ，∴ ，且 ，
∴ 为平行四边形，∴ 且 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
法 2：取 中点 ，连接 ， ，则可得 ， ，从而可证得：平面
平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设该三棱柱底面边长为 ，由正三棱柱可知，点 到平面 的距离为 ，
而 ， ，
∴ ，所以三棱柱底面边长为 .
【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长，证明线面平行的关键是线线平行，一
般可根据条件构造平行四边形，或是中位线证明证明线线平行，第二问不管是求体积还是根
据体积求参数，一般都需要体积转化.
20.已知 ， 为椭圆 ： 的左、右焦点，离心率为 ，且椭圆
的上顶点到左、右顶点的距离之和为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，若以 为直径的圆过 ，求直线 的方程.
【答案】（1） （2） ： .
1 1/ /DM B C 1 1/ /EN B C / /EN DM 1 1
1
2EN DM B C= =
DMNE / /DE MN MN ⊂ 1 1A ABB
DE ⊄ 1 1A ABB / /DE 1 1A ABB
1 1B C F DF EF 1 1/ /DF A B 1/ /FE B B
/ /DEF 1 1A ABB DE ⊂ DEF
/ /DE 1 1A ABB
a B 1 1A ACC 3
2h a=
1
1 22ACDS AC A A a∆ = ⋅ = 1 1 1
2 2 3E ACD B ACD ACDV V S h− − ∆= = ⋅ ⋅ 1 32 2 36 2a a= ⋅ ⋅ =
2 12a = 2 3a =
1F 2F C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1
2 C
2 7
C
1F l A B AB 2F l
2 2
14 3
x y+ = l 7 13 y x± = +【解析】
【分析】
（1）由已知可知 和 ，再根据 ，求椭圆方程；
（2）分斜率 和 两种情况讨论，当 时，设直线 ： ，与椭圆方程联
立，得到根与系数的关系， ， ，若满足条件有
，写成坐标表示的形式，求 .
【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 ，又
，所以 ，由椭圆 的上顶点到椭圆 的左、右顶点的距离之和为
，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，故椭
圆 的标准方程为 .
（2）由（1）知 ， .设 ， .
若直线 斜率为 0 时，弦 为椭圆长轴，故以 为直径的圆不可能过 ，所以不成立；
若直线 斜率不为 0 时，设直线 ： ，代入椭圆方程 得：
，易知 且 ， .
故以 为直径的圆过 ，则有 ，
∴
，∴ .
综上可知， ： .
1
2
c
a
= 2 22 2 7a b+ = 2 2 2a b c= +
0k = 0k ≠ 0k ≠ l 1my x= +
1 2 2
6
3 4
my y m
+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
−= +
2 2 0F A F B⋅ = m
C 2c C 1
2
1
2
c
a
= 1
2c a=
2 2 2a b c= + 3
2b a= C C
2 7 2 22 2 7a b+ =
2
2 3 72a a
+ =
2a = 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,0F − ( )2 1,0F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
l AB AB 2F
l l 1my x= + 2 23 4 12x y+ =
( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − = > 0∆ 1 2 2
6
3 4
my y m
+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
−= +
AB 2F 2 2 0F A F B⋅ =
( )( )2 2 1 2 1 21 1F A F B x x y y⋅ = − − + ( )( )1 2 1 22 2my my y y= − − +
( ) ( )2
1 2 1 21 2 4m y y m y y= + − + +
( )2 2
2 2
9 1 12 4 03 4 3 4
m m
m m
− +
= − + =+ +
2 7
9m =
l 7 13 y x± = +【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题，第二问中设而不求的基本方
法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解
题的基本工具.
21.已知函数 ， .
（1）若函数 存在单调增区间，求实数 的取值范围；
（2）若 ， 为函数 的两个不同极值点，证明： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 已 知 可 知 ， 若 满 足 条 件 ， 即 有 解 ， 转 化 为 有 解 ， 即
，设 ，利用导数求函数的最大值；
（2）由已知可知 ，整理为 ，再通过分析法将需要证明的
式子转化为 ，若 ，可变形为
，设 ，即证 成立，
若 ，即证 .
【详解】（1）由题函数存在增区间，即需 有解，即 有
解，
令 ， ，且当 时， ，
当 时， ，
如图得到函数 大致图象，故当 ，的
( ) 2lnf x x x ax= − a R∈
( )f x a
1x 2x ( )f x 2 1
1 2x x e−>
1
2a <
( ) 0f x′ > 1 ln2 xa x
+<
max
1 ln2 xa x
+ <
( ) 1 ln xg x x
+=
1 1
2 2
1 ln 2
1 ln 2
x ax
x ax
+ =
+ =
1 2
1 2
ln ln2 x xa x x
−= −
( )1 2
1 2
1 2
ln ln 2 2x x x xx x
− + >− 1 2 0x x> >
( ) 1
1 2 21
12 1 2
2
2 12ln 2 2 1
x
x x xx
xx x x
x
− − > =+ +
1
2
xt x
= ( ) ( ) ( )2 1ln 0 12 1
tt t tt
ϕ −= − > >+
1 20 x x< < ( ) ( )2 1ln 02 1
tt t t
ϕ −= − >
+ + +
( ) ( )2 1ln 2 1
t
tt tϕ −= − +
( )0,t ∈ +∞ ( )1,t ∈ +∞
( ) ( ) ( )2 1ln 1 02 1t tt t
ϕ ϕ−= − > =+若 ，则③等价于 ，令 ， ，
，显然 成立.
法 2：要证 ，又由（1）知 ， ，
当 时，要证上式成立，即证 ，易知显然成立；
当 时， ，故只需 ，即证 ，也即证 ，
由于 时 单调递增，故即证 ，而 ，
只需证 ， 成立，令 ，
只需证 在 时成立，
而 ，故 在 单调递增，
所以 ，故原不等式得证.
【点睛】本题考查了导数研究函数性质，不等式的综合性问题，意在考查化归和转化和分类
讨论的思想，属于难题，本题的难点是第二问极值点偏移问题，利用分析法将所需要证明的
式子转化，再根据已知条件代入参数，转化为证明 ，再通过构造为
的不等式恒成立的问题.
22.已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点 为原点，极轴所在直线为 轴建立直
角坐标系.过点 作倾斜角为 的直线 交曲线 于 ， 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程，并写出直线 的参数方程；
2 1 0x x> > ( ) 1
1 2 21
12 1 2
2
2 12ln 2 2 1
x
x x xx
xx x x
x
− − < =+ +
1
2
xt x
= 0 1t< <
( ) ( )2 1ln 02 1
tt t t
ϕ −= − 1 2
1, ,x x e
∈ +∞
10 2a< <
1 1x > 1 2ln 0x ax+ >
1
1 1xe
< < 11 ln 0x+ > 1 2ln ln 0x x+ > 1 2 1x x > 1
2
11 0x x
> > >
( )0,1x∈ ( )g x ( )1
2
1g g xx
1x >
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
ln 11 1' ' ' 0 1
x x
p x g x g xx x x
− = + ⋅ = > >
( )p x 1x >
( ) ( )1 0p x p> =
( )1 2
1 2
1 2
ln ln 2 2x x x xx x
− + >−
1
2
xt x
=
E 4tan
cos
θρ θ= O x
( )1,1M ( )( )0,α α πÎ l E A B
E l（2）过点 的另一条直线 与 关于直线 对称，且与曲线 交于 ， 两点，求
证： .
【答案】（1） ， （ 为参数）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据转化公式 ， 直接转化，并且根据公式直接写成直线 的参数
方程；
（2）直线 的参数方程代入（1）的曲线方程；利用 的几何意义表示
再根据对称求 的参数方程，同理可得 ，再证明结论.
【详解】（1）由 得 ，∴ 为曲线 的直角坐标方程，
由 作倾斜角为 的直线 的参数方程为 （ 为参数）.
（2）将直线 的参数方程代入 的直角坐标方程 得：
，显然 ，设 ， 两点对应的参数分别为
， ，
则 ，∴ ，
由于直线 与 关于 对称，可设直线 的参数方程为 （ 为参数）
与曲线 的直角坐标方程联立同理可得： ，
∴ ，故 得证.
【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及用直线参数方程解决
直线与圆锥曲线相交的线段长度问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.
23.已知函数 ， .
（1）若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
( )1,1M 'l l 1x = E C D
: :MA MD MC MB=
2 4x y= 1 cos
1
x t
y tsin
α
α
= +
= + t
cos xρ θ = sin yρ θ = l
l t 1 2MA MB t t=
l′ MC MD
4tan
cos
θρ θ= 2 2cos 4 sinρ θ ρ θ= 2 4x y= E
( )1,1M α l
1 cos
1
x t
y tsin
α
α
= +
= + t
l E 2 4x y=
( )2 2cos 2cos 4sin 3 0t tα α α+ − − = cos 0α ≠ A B
1t 2t
1 2 2
3
cost t α
−= 1 2 2
3
cosMA MB t t α⋅ = =
'l l 1x = 'l
( )
( )
1
1
x tcos
y tsin
π α
π α
= + − = + −
t
E 2
3
cosMC MD α⋅ =
MA MB MC MD⋅ = ⋅ : :MA MD MC MB=
( ) 1f x x x a= + + − ( ) 2 2g x x x= − − +
( )f x 22a a（2）当 时，函数 图象恒在函数 图象的上方，求 的取值范
围.
【答案】（1） 或者 .（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1） ，再根据最小值相等，求参数 的值；
（ 2 ） 由 题 意 可 知 不 等 式 等 价 于 ， 转 化 为 或
恒成立的问题，求参数 的取值范围.
【详解】（1）由 （当且仅当 介于-1 与 之
间时取等号）
∴ ，∴ 或者 .
（2）由题意，等价于 ，当 时恒成立，即 ，
，∴ 或 ，当 时恒成立，
由 ，∴ ，∴ ，
由 ，∴ ，∴ ，
综上，实数 的取值范围是 或 .
【点睛】本题考查不等式含绝对值三角形不等式求最值，恒成立问题求参数范围，意在考查
转化与变形，第二问的关键是分离出 或 恒成立，即转化为函数
最值问题.
[ )1,x∈ − +∞ ( )y f x= ( )y g x= a
1a = 1
2a = − 3a < − 5
4a >
( ) ( )1 1 1f x x x a x x a a= + + − ≥ + − − = + a
21 2x x a x x+ + − > − − + 2 1a x x> − − +
2 3 1a x x< + − a
( ) ( )1 1 1f x x x a x x a a= + + − ≥ + − − = + x a
21 2a a+ = 1a = 1
2a = −
( ) ( )f x g x> 1x ≥ − 21 2x x a x x+ + − > − − +
2 2 1a x x x− > − − + 2 1a x x> − − + 2 3 1a x x< + − 1x ≥ −
( )2
max
1a x x> − − +
2
max
1 5
2 4a x
> − + +
5
4a >
( )2
min
3 1a x x< + − ( )2
min
3 13 12 4a x x
< + − ≥ −
3a < −
a 3a < − 5
4a >
2 1a x x> − − + 2 3 1a x x< + −
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