资料简介
2019-2020 学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）
期中数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题中，只有一项是符合题目
要求的.）
1.若复数 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】复数在复平面内对应的点是 ，在第四象限，故选 D.
2.计算 的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,故选 B.
3.已知点 ，则它的极坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 计算即可．
【详解】在相应的极坐标系下 ，由于点 位于第四象限，且极角满足
，所以 .
故选 C.
3z i= − z
( )3, 1−
1 i
1 i
−
+
i i− 2 2−
( )
( )( )
211 2
1 1 1 2
ii i ii i i
−− −= = = −+ + −
(1, 3)P −
2, 3
π
42, 3
π
2, 3
π −
42, 3
π −
2 2 ,tan yx y x
ρ θ= + =
8 21 ( 3) 2ρ = + − = P
tan 3y
x
θ = = −
3
πθ = −【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．
4.极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的图形分别是（ ）
A. 圆、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 直线、直
线
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
【详解】解：极坐标方程 ，转换为直角坐标方程为 .
参数方程 （ 为参数）转换为直角坐标方程为 .
所以表示的为圆和直线.
故选：A.
【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能
力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5.下列直线中，平行于极轴且与圆 相切的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用 ，进行代换即得圆的直角坐标方程，然后根
据直线与圆相切求出所求．
【详解】解： ，圆 的普通方程为： ，
即 ，
又直线平行于极轴且与圆 相切，所以 ，
1ρ = 1
2 3
x t
y t
= − −
= + t
1ρ = 2 2 1x y+ =
1
2 3
x t
y t
= − −
= + t 3 1y x= − −
2cosρ θ=
cos 1ρ θ = sin 1ρ θ = cos 2ρ θ =
sin 2ρ θ =
2 2 2cos , sin ,x y x yρ θ ρ θ ρ= = = +
2 2 cosρ ρ θ= 2cosρ θ= 2 2 2x y x+ =
( )2 21 1x y− + =
2cosρ θ= 1y = ±即 或 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，
属于基础题．
6.设有一个回归方程为 ，变量 增加一个单位时（ ）
A. 平均增加 2 个单位
B. 平均减少 3 个单位
C. 平均减少 2 个单位
D. 平均增加 3 个单位
【答案】C
【解析】
试题分析：在线性回归方程中，斜率是 y 随 x 变化 变化率．由回归方程为 ，得
增加一个单位时 平均减少 2 个单位．
考点：对回归方程的理解．
点评：学生应正确理解回归方程中各量的实际含义并能加以应用．
7.否定“自然数 中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ）
A. 都是奇数 B. 都是偶数
C. 至少有两个偶数 D. 中或都是奇数或至少有两个偶
数
【答案】D
【解析】
【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，
而“自然数 中恰有一个偶数”的否定是“ 中或都是奇数或至少有两个偶数”，
所以否定“自然数 中恰有一个偶数”的正确的反设为“ 中或都是奇数或至少有两
个偶数”，
故选 D.
8. 下面几种推理过程是演绎推理的是( )
的
sin 1ρ θ = sin 1ρ θ = −
ˆ 3 2y x= − x
y
y
y
y
ˆ 3 2y x= − x
y
, ,a b c
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c , ,a b cA. 某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数都超过 50 人
B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质
C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D. 在数列{an}中,a1=1,an= ,由此归纳出{an}的通项公式
【答案】C
【解析】
【分析】
推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类
比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．
【详解】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；
B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，
属于合情推理；
C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；
D 为不完全归纳推理，属于合情推理．
故选 C．
【点睛】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．
9.对相关系数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 越大，线性相关程度越大
B. 越小，线性相关程度越大
C. 越大，线性相关程度越小， 越接近 0，线性相关程度越大
D. 且 越接近 1，线性相关程度越大， 越接近 0，线性相关程度越小
【答案】D
【解析】
【分析】
两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关， 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性
相关性越强， 的绝对值越接近于 0，两个变量之间几乎不存在线性相关．
【详解】解：两个变量之间的相关系数， 的绝对值越接近于 1，
表面两个变量的线性相关性越强，
1
2 1
1
1
n
n
a a−
−
+
r
r
r
r r
1r ≤ r r
r
r
r的绝对值越接近于 0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，
故选：D.
【点睛】本题考查相关系数，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有
利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．相关系数大于 0.75 时，表示两个变量有很强的
线性相关关系．
10.按流程图的程序计算，若开始输入的值为 ，则输出的 的值是（ ）
A. 231 B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
分析】
根据程序框图，依次执行即可得出结果.
详解】输入
第一步： ，进入循环；
第二步： ，进入循环；
第三步： ，结束循环，输出 .
故选 A
【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.
11.在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 两点， 为极点，则
的大小为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
化极坐标方程为直角坐标方程: 直线 与圆 相交于 两
【
【
r
3x = x
21 156
3x =
( )1 6 1002
x xx
+= = <
( )1 21 1002
x xx
+= = <
( )1 231 1002
x xx
+= = > 231x =
1cos 2
=ρ θ 2cosρ θ= ,A B O
AOB∠
3
π
2
π 2
3
π 5
6
π
1
2x = ( )22 2 22 , 1 1x y x x y+ = − + = ,A B点，所以 即 ，选 C.
12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出 6 根火柴棒，则火柴棒的个数组成
了一个首项是 8，公差是 6 的等差数列，写出通项，求出第 n 项的火柴根数即可．
【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出 6 根火柴棒，第一个图中
有 8 根火柴棒组成，第二个图中有 8+6 个火柴棒组成，第三个图中有 8+2×6 个火柴组成，以
此类推：组成 n 个系列正方形形的火柴棒的根数是 8+6（n﹣1）∴第 n 个图中的火柴棒有 6n+2．
故选 D．
【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，
火柴的根数的变化趋势，属于基础题．
二、填空题（共 4 道题，每题 5 分共 20 分，把正确答案填在答题纸的横线上）
13.若 是纯虚数，则实数 的值是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
复数为纯虚数时，实部为 0，虚部不为 0，求解相应的方程与不等式，即可确定 x 的值．
【详解】因为 i 是纯虚数， ，所以 ，解得： .
故答案为 1
【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确
1 3 1 3, , ,2 2 2 2A B
−
o o2 60 120AOB∠ = × =
n
8 2n − 6 2n −
8 2n + 6 2n +
2 2( 1) ( 3 2)x x x− + + + x
2 2( 1) ( 3 2)x x x− + + + x∈R
2
2
1 0
3 2 0
x
x x
− =
+ + ≠ 1x =列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14.复数 的模为______.
【答案】13
【解析】
【分析】
直接根据复数模的计算公式求解.
【详解】解：∵ ，∴ .
故答案为:13.
【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题.
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ× × ×
L
2
2
22 2
x t
y t
=
= +
t
X C 2cosρ θ= −
C L
L C
C ( )2 21 1x y+ + = L
2 0x y− + = 2
L
2
2
22 2
x t
y t
=
= +
t
2 0x y− + =
C 2cosρ θ= − ( )2 21 1x y+ + =
( )1,0− L 2 2
1 2 2
21 1
d
− += =
+
2
2 22 1 22l
= − = 20.设直线 过点 ，倾斜角为 .
（1）求 的参数方程；并指出参数的几何意义；
（2）设直线 ： ， 与 的交点为 ，求点 与点 的距离.
【答案】（1） （ 为参数）， 表示直线上任意点到定点 的距离；
（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求出直线的方程，进一步直接利用转换关系式求出结果．
（2）利用参数方程的几何意义的应用求出结果．
【详解】解：（1）直线 过点 ，倾斜角为 ；
转换为参数方程为 （ 为参数），
整理得 （ 为参数）.
表示直线上任意点到定点 的距离；
（2）将 的参数方程代入 的方程中，
得 ，
解得 .
【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，参数的几何意义的应用，
主要考查学生的运算能力，是基础题．
21.某种产品的广告费用支出 (百万)与销售额 (百万)之间有如下的对应数据:
1L ( )2, 4A − 2
3
π
1L
2L 1 0x y− + = 2L 1L B B A
12 2
34 2
x t
y t
= −
= − +
t t ( )2, 4A −
7 3 7-
1L ( )2, 4A − 2
3
π
22 cos 3
24 sin 3
x t
y t
π
π
= +
= − +
t
12 2
34 2
x t
y t
= −
= − +
t
t A
1L 2L
1 32 4 1 02 2t t
− − − + + =
7 3 7AB t= = −
x y2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计广告费用为 10(百万)时,销售收入 的值.
【答案】（1）散点图如图所示：
（2） ＝6.5x＋17.5（3）广告费用支出为 10 百万元时，销售额大约为 82.5 百万元
【解析】
【分析】
试题分析：(1)散点图如图所示：
（2）
计算得 ＝ ＝5， ＝ ＝50，
x
y
y
ˆy
ˆx 25
5
ˆy 250
5＝145， ＝1 380. 6 分
于是可得 ＝ ＝ ＝6.5，
＝ － ＝50－6.5×5＝17.5.
所以所求的线性回归方程为 ＝6.5x＋17.5.
(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为 10 百万元时，
＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即广告费用支出为 10 百万元时，销售额大约为 82.5 百万元．
考点：本小题主要考查散点图的画法和回归直线的求解及应用.
点评：求回归直线时要先根据散点图判断是否线性相关，如果不线性相关，求出的回归方程
没有意义.
【详解】
请在此输入详解！
22.已知曲线 ： （ 为参数）， ： （ 为参数）.
（1）化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
（2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 的中点 到直线
的距离的最小值.
【答案】（1） ： ，曲线 是圆； ： ，曲线 是椭
圆；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；
（2）根据椭圆 参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题
结论．
的
5
2
1
i
i
x
=
∑ 5
1
i i
i
x y
=
∑
b
5
1
5 2 2
1
5
5
i ii
ii
x y xy
x x
=
=
−
−
∑
∑ 2
1380 5 5 50
145 5 5
− × ×
− ×
a ˆy ˆbx
y
y
1C 4 cos
3 sin
x t
y t
= − +
= + t 2C 8cos
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
1C 2C
1C P 2t
π= Q 2C PQ M
2 7 0x y− − =
1C ( ) ( )2 24 3 1x y+ + − = 1C 2C
2 2
164 9
x y+ = 2C
8 55【详解】解：（1）∵曲线 ： （ 为参数），
∴ ： .
∴曲线 是圆.
∵曲线 ： （ 为参数），
∴ ： .
∴曲线 是椭圆.
（2）∵ 上的点 对应的参数为 ，
∴ .
∵ 为 上的动点，
∴设 ，
则 的中点 ，
点 到直线 的距离 ，
当 时，
∴ 的中点 到直线 的距离的最小值为 .
【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题
难度不大，属于中档题．
.
1C 4 cos
3 sin
x t
y t
= − +
= + t
1C ( ) ( )2 24 3 1x y+ + − =
1C
2C 8cos
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
2C
2 2
164 9
x y+ =
2C
1C P 2t
π=
( )4,4P −
Q 2C
( )8cos ,3sinQ θ θ
PQ 8cos 4 3sin 4,2 2M
θ θ− +
M 2 7 0x y− − = ( )5cos 134cos 2 3si
1
4
54
n 7d
θ φθ θ − −− − − − ==
+
( )cos 1θ φ− =
min
8 8 5
55
d = =
PQ M 2 7 0x y− − = 8 55
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