资料简介
浙东北联盟(ZDB) 2019-2020 学年第一学期期中考试
高二数学试卷
一．选择题（共 10 小题）
1.椭圆 的焦点坐标为（ ）
A. （﹣1，0），（1，0） B.
C. （0，﹣1），（0，1） D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断焦点在 轴上，再求出 即可．
【详解】由椭圆方程知焦点在 轴， ，焦点坐标为 ， ．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，由椭圆标准方程确定焦点坐标，可由变量 下面的分
母的大小确定焦点所在的轴，然后计算 ，可得焦点坐标．
2.圆 O：（x﹣1）2+y2=1 和直线 l：x﹣y+1=0 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆心 O 到直线 l 的距离与半径比较，即可得到结论．
【详解】圆 O：（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标为 O（1，0），半径为 ．
∴圆心 O 到直线 x﹣y+1＝0 的距离为： ，∴直线与圆相
离．
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，也考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题．
3.如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线 D1B 与平面 BB1C1C 所成角 余弦值为（ ）的
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )3 0 3 0− ， ， ，
( ) ( )0 3 0 3−， ， ，
x c
x 4 3 1c = − = (1,0) ( 1,0)−
,x y
2 2c a b= −
1r =
2 2
1 0 1 2 2 1
21 1
d r
− += = = > =
+A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先作出并证明直线与平面所成的角，然后计算
【详解】∵ 平面 ，∴ 是直线 D1B 与平面 BB1C1C 所成角，
设正方体棱长为 ，在 中， ， ，
．
故选：D．
【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题时需先作出直线与平面所成的角，为此要过直
线上一点找（作）与平面垂直的直线，从而得直线在平面上的射影，得直线与平面所成的角，
再在直角三角形中求解即得．
4.某几何体的三视图如图，则它的体积是（ ）
A. 6 B. 4+π C. 2+2π D. 2+π
【答案】D
【解析】
【分析】
3
3
2
2
3
2
6
3
1 1D C ⊥ 1 1BB C C 1 1D BC∠
a 1 1Rt BD C∆
1 2BC a= 1BD 3a=
1
1 1
1
2 6cos 33
BCD BC BD
∠ = = =由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，再计算体积．
【详解】
由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，尺寸见三视图，
体积为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查组合体的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体，然后
用体积公式计算各个部分的体积可得．
5.对空间中两条不相交的直线 和 ，必定存在平面 ，使得 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论两种情况，利用排除法可得结果.
【详解】 和 是异面直线时，选项 A、B 不成立，排除 A、B；
和 平行时，选项 D 不成立，排除 D,
故选 C.
【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于
基础题.
6.正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为
A. B. C. D.
【答案】B
211 1 2 1 2 22V π π= × × + × × × = +
a b α
,a bα α⊂ ⊂ ,a bα α⊥ ⊥ , / /a bα α⊂
,a bα α⊂ ⊥
a b
a b
( )
6
π
4
π
3
π
2
π【解析】
【分析】
取 中点 ，连结 ，则 ，且 ，从而 是
异面直线 与 所成的角，由此能求出异面直线 与 所成的角.
【详解】
取 中点 ，连结 ，
设正四面体的棱长为 ,
则 ，且 ，
是异面直线 与 所成的角，
取 中点 ，连结
则 ，
平面 ,
平面 , ，
，
，
异面直线 与 所成的角为 ,故选 B .
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形
中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理
求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定
要取绝对值.
7.如图，三棱柱 A1B1C1—ABC 中，侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是
BC 中点，则下列叙述正确的是( )．
BD O ,EO FO / / , / /OF CD OE AB
2
aOF OE= = EFO∠
EF CD EF CD
BD O ,EO FO
a
/ / , / /OF CD OE AB
2
aOF OE= =
EFO∴∠ EF CD
CD G ,BG AG
,AG CD BG CD⊥ ⊥
,BG AG G CD∩ = ∴ ⊥ ABG
AB ⊂ ABG CD AB∴ ⊥
OF OE∴ ⊥
4EFO
π∴∠ =
∴ EF CD 4
πA. AE、B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1
B. AC⊥平面 A1B1BA
C. CC1 与 B1E 是异面直线
D. A1C1∥平面 AB1E
【答案】A
【解析】
试题分析：底面是正三角形，E 为中点 ， , A 项正确
考点：空间线面的位置关系
点评：题目较简单学生易得分
8.如图，60°的二面角的棱上有 A、B 两点，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，
且都垂直于 AB，已知 AB=4，AC=6，BD=8，则 CD 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
，
AE BC∴ ⊥ 1 1BC B C 1 1AE B C∴ ⊥ ∴
2 17 2 23 2 35 2 41
CA AB⊥ BD AB⊥
0
CA AB
∴→⋅→ = 0
BD AB
→⋅→ =
CD BD AB CA
→ = →+ →+ →
2 2 2 2 2 2 2
CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD
→ = → + → + → + →⋅→+ →⋅→+ →⋅→
2 2 26 4 8 2 6 8cos120 68= + + + × × ° =故选
9.如图，已知椭圆 ，斜率为﹣1 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，
平行四边形 OAMB（O 为坐标原点）的对角线 OM 的斜率为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 出 直 线 方 程 为 ， 求 出 它 与 椭 圆 的 交 点 的 坐 标 （ 设 而 不 求 ），由
得 点坐标，再由 得出 的关系，然后求得离心率．
【详解】设直线 方程为 ，设 ，由 得：
，∴ ， ，设
，∵ 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于 的一个等量关系．本题中已知
2 17CD∴ =
B
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
+ =： ＞ ＞
1
3
3
3
6
3
3
2
2
3
AB y x n= − + ,A B
OM OA OB= + M 1
3OMk = ,a b
AB y x n= − +
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
2 2 1x y
a b
y x n
+ =
= − +
2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b x a nx a n a b+ − + − =
2
1 2 2 2
2a nx x a b
+ = + 1 2 1 22 ( )y y n x x+ = − +
( , )M x y OAMB OM OA OB= +
1 2 1 2,x x x y y y= + = +
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 ( ) 2 1OM
y y n x xy nk x x x x x x x
+ − += = = = −+ + +
2 2 2
2 2
11 3
a b b
a a
+= − = =
2 2 2
2 2
2
3
c a b
a a
−= = 6
3
ce a
= =
, ,a b c两直线 和 的斜率，因此设出直线 方程，代入椭圆方程，消元后求出它们横坐标
的和，由向量加法的平行四边形法则， ，这样利用 就可建立 的等式，
变形后可求得离心率 ．本题还考查学生的运算求解能力．
10.斜线段 PA 与平面 M 成 α 角，斜足为 A，动直线 PB 与直线 PA 成 β（β＜α）角，交平面
M 于点 B，动点 B 的轨迹图形为（ ）
A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个半圆 D. 一个椭圆
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆锥曲线与圆锥面的关系可得．
【详解】由于 ，因此 运动后可形成以 为对称轴的圆锥侧面，而平面 与轴
不垂直不平行，又与母线不平行，因此平面 与此圆锥侧面的交线是椭圆．
故选：D．
【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥侧面的关系，属于基础题．
二．填空题（共 7 小题）
11.圆 x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0 的圆心坐标为_____，半径为_____．
【答案】 (1). （2，2） (2). 4
【解析】
【分析】
配方后可得圆心坐标和半径．
【详解】圆 x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0，即 （x﹣2）2+（y﹣2）2＝16，
故它的圆心坐标为（2，2），半径为 4，
故答案为：（2,2）；4．
【点睛】本题考查圆的一般方程，配方后化为标准方程可得圆心坐标与半径．
AB OM AB
Mx A Bx x= + OMk ,a b
e
BPA β∠ = PB PA α
PA α
16 =12.已知椭圆 的左、右焦点为 F1，F2，则椭圆的离心率为_____，过 F2 且垂直于长
轴的直线与椭圆交于点 A，则|F1A|＝_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由椭圆标准方程得出 ，计算出 ，可得离心率， 是通径的一半为 ，再
结合椭圆定义可得 ．
【 详 解 】 椭 圆 ， 可 得 a ＝ 2 ， b ， 则 c ＝ 1 ， 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 ：
e ．
过 F2 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点 A，所以|AF2| ，
由椭圆的定义可知：|F1A|＝2a﹣|AF2|＝4 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出 再计算出 ，
可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．
13.已知圆（x+2）2+y2＝5 外点 P（0，3），过P 点作直线 l 与圆相切交于点 Q，则切线长|PQ|＝
_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出 点到圆心 距离 ，再由勾股定理计算出切线长： ．
【详解】圆（x+2）2+y2＝5 的圆心为 C（﹣2，0），半径为 r ；
且|PC|2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣3）2＝13，
的
2 2
14 3
x y+ =
1
2
5
2
2, 3a b= = c 2F A
2b
a
1F A
2 2
14 3
x y+ = 3=
1
2
c
a
= =
2 3
2
b
a
= =
3 5
2 2
− =
1
2
5
2
,a b c
2
P C PC 2 2PC r−
5=所以切线长|PQ| 2 ．
故答案为：
【点睛】本题考查直线与圆相切问题，考查求切线长，解题时由切线与过切点的半径垂直，
用勾股定理计算切线长．
14.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，
这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我
们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_____，圆柱的表面积与球的表面积之
比为_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
设球半径为 ，根据圆柱和球的体积公式、表面积公式直接计算．
【详解】由题意，圆柱底面半径 r＝球的半径 R，
圆柱的高 h＝2R，则
V 球 πR3，
V 柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．
∴ ．
S 球＝4πR2，
S 柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2．
∴ ．
故答案为： ，
2 2 13 5PC r= − = − = 2
2 2
3
2
3
2
R
4
3
=
3
3
2 3
4 2
3
V R
V R
π
π
= =柱
球
2
2
6 3
4 2
S R
S R
π
π= =柱
球
3
2
3
2【点睛】本题考查圆柱和球的体积公式、表面积公式，属于基础题．
15.已知 F1，F2 为椭圆 上的左、右焦点，点 B 为上顶点，延长 BF2 交
椭圆于 M 点，且△F1BM 是腰长为 3 的等腰三角形，则 a＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，△F1BM 的周长为 4a，再用另一方法求出周长即可求得 ．
【详解】根据椭圆 定义，△F1BM 的周长为 4a，所以 4a＝6 6+a，所以 3a＝6，a
＝2，故答案为：2.
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的基本运算．属于基础题．
16.已知三棱锥 A﹣BCD 的所有棱长均相等，E 为 DC 的中点，若点 P 为 AC 中点，则直线 PE 与
平面 BCD 所成角的正弦值为_____，若点 Q 在棱 AC 所在直线上运动，则直线 QE 与平面 BCD 所
成角正弦值的最大值为_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
，则直线 PE 与平面 BCD 所成角等于直线 与平面 BCD 所成角，过 A 作 AO⊥底面
BCD，垂足为 O，连结 OD，则∠ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角，在 中求解即得，
是一个正四面体，当 Q 与 A 重合时，直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值，在
中计算可得最大值．
【详解】连结 BE，AE，过 A 作 AO⊥底面 BCD，垂足为 O，连结 OD，
则∠ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角，
设三棱锥 A﹣BCD 所有棱长均相等，设棱长为 2，
的
的
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
+ =： ＞ ＞
a
2 2b c+ + =
6
3
2 2
3
/ /PE AD AD
ADO∆
ABCD
AEO∆则 DO＝BO BE ，
AO ，
∴sin∠ADO ．
∴直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ．
当 Q 与 A 重合时，直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值，
此时直线 QE 与平面 BCD 所成角为∠AEO，AE ，
∴直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为：
sin∠AEO ．
故答案为： ，
【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，为此需作一
直线与平面垂直．找到直线在平面内的射影，从而得直线与平面所成角，然后在直角三角形
中求解即得．
17.如图，在长方形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端点除外）上一
动点，现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABC，则二面角 D﹣AF﹣B 的平面角余弦值的
取值范围是_____．
2
3
= 2 2 34 13 3
= − =
22 3 2 64 ( )3 3
= − =
2 6
63
2 3
AO
AD
= = =
6
3
4 1 3= − =
2 6
2 23
33
AO
AE
= = =
6
3
2 2
3【答案】（ ，1）．
【解析】
【分析】
由于平面 ABD⊥平面 ABC，因此作 DK⊥AB，则 DK⊥平面 ABCF，作 DO⊥AF，则 OK⊥AF，
则∠DOK 为所求二面角的平面角，而 cos∠DOK ，设 ， ，然后计算
（可在矩形 中计算 ），把 表示为 的函数，求得其取值
范围．
【详解】作 DK⊥AB，则 DK⊥平面 ABCF，作 DO⊥AF，则 OK⊥AF，
则∠DOK 为所求二面角的平面角，cos∠DOK ，
设 DF＝x，AF ，AD2＝AO•AF，则 AO ，OD ，
由平面图形 ABCD 知，∠DAF＝90°﹣∠FAB，
故 tan∠FAB cot∠DAF ，
所以 OK OA，
所以 cos∠DOK ，x∈（1，2），
故答案为：（ ，1）．
【点睛】本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的
面面垂直的性质，然后引入变形 ，把所求二面角的余弦值表示为 的函数，从而可得
取值范围．
三．解答题（共 5 小题）
1
4
OK
OD
= DF x= (1,2)x∈
,OK DO ABCD ,OK DO cos DOK∠ x
OK
OD
=
2 1x= + 2
1
1x
=
+ 2 1
x
x
=
+
OK
OA
= = 1
x
=
1
x
=
2
1OK
OD x
= =
1
4
DF x= x18.如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC，D，E，F 分别是棱 BC，CC1，B1C1 的中点．求
证：
（1）直线 A1F∥平面 ADE；
（2）平面 ADE⊥平面 BCC1B1．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明 后可得线面平行；
（2）证明 AD⊥平面 BCC1B1 后可证得面面垂直．
【详解】证明：（1）连结 DF，∵D，F 为中点，∴ ，
∴四边形 ADFA1 为平行四边形，∴A1F∥AD，
∵AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE，∴A1F∥平面 ADE．
（2）∵BB1⊥平面 ABC，∴BB1⊥AD，∵BC⊥AD（三线合一），
∴AD⊥平面 BCC1B1，∵AD⊂平面 ADE，
∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1．
【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，掌握其判定定理是解题基础，证明时注意定
1 / /A F AD
1 1DF BB AA 理的条件要一一满足，缺一不可．
19.已知关于 x，y 的方程 x2+y2﹣4x+4y+m＝0 表示一个圆．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 m＝4，过点 P（0，2）的直线 l 与圆相切，求出直线 l 的方程．
【答案】(1) m＜8．(2) 和 x＝0．
【解析】
【分析】
（1）可配方，方程左边是平方和形式，右边为正即可；
（2）斜率不存在时，直线 是圆的切线，斜率存在时，设方程为 ，由圆心到
切线距离等于半径可求得 ，得切线方程．
【详解】（1）方程 x2+y2﹣4x+4y+m＝0 可化为（x﹣2）2+（y+2）2＝8﹣m，
令 8﹣m＞0，解得 m＜8；
所以方程表示圆时 m 的取值范围是 m＜8．
（2）m＝4 时，圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝4，
则圆心为 C（2，﹣2），半径为 r＝2，
当直线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为：y＝kx+2，
化为 kx﹣y+2＝0，
则圆心 C 到直线 l 的距离为 d 2，解得 k ，
所以直线 l 的方程为 y x+2；
当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 x＝0 也为圆 C 的切线；
综上，直线 l 的方程为 和 x＝0．
【点睛】本题考查圆的方程，考查求圆的切线方程，在过某一点 的切线方程时，如果 点
在圆外，可分类讨论，斜率不存在的直线（验证是否为切线）和斜率存在的直线（设斜率为
，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得 ）．
20.已知椭圆 的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 ，且点 在
椭圆上．
3 24y x= − +
0x = 2y kx= +
k
2
2 2 2
1
k
k
+ += =
+
3
4
= −
3
4
= −
3 24y x= − +
P P
k k
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
+ =： ＞ ＞ 1
2
31 2P
，（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l 过点 M（0，﹣2）且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△OAB（O 为坐标原点）的
面积为 ，求出直线 l 的方程．
【答案】(1) ．(2)
【解析】
【分析】
（1）已知条件为 再结合 可求得 ，得椭圆方程；
（2）设直线 l：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入椭圆方程整理后可得
，表示出 ，而 ，再由面积为 可求得 ，得直
线方程．
【详解】（1）椭圆 的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 ，且点
在椭圆上，
可得 ，
∴椭圆的标准方程为 ．
（2）设直线 l：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），
，
∴（4k2+3）x2﹣16kx+4＝0，
，
3
2 2
14 3
x y+ = 5 22y x= ± −
2 2
1 9 14
1
2
a b
c
a
+ =
=
2 22a cb− = ,a b
1 2 1 2,x x x x+ 1 2x x− 1 2
1
2OABS OM x x∆ = − 3 k
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
+ =： ＞ ＞ 1
2
31 2P
，
2 2
2 2 2
1 9 14 2
1 32 1
a b a
c ba ca b c
+ = = = ⇒ =
== +
2 2
14 3
x y+ =
2 2
2 23 4 12 3 4( 2) 12
2
x y x kx
y kx
+ = ⇒ + − = = −
1 2 1 22 2
16 4
4 3 4 3
kx x x xk k
+ = =+ +，，
，
解得 ，直线 l 的方程为 ．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆的标准方程，关键
是找到关于 的两个等式，即把题中两个条件用 表示出来就可求解，而直线与椭圆
相交问题，常常采用“设而不求”思想，即设直线方程为 ，设交点坐标为
，然后由直线方程和椭圆方程联立并消元后由韦达定理得 ，
再把题中其他条件用交点坐标表示，同时代入 ，可求得参数 的关系或值．
21.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC，AD⊥CD，∠ABC＝
60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB 是正三角形．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）求二面角 P﹣CD﹣B 的平面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】
【分析】
（1）要证线线垂直，先证线面垂直，由于 是正三角形，取 中点 ，则有
，从而只要再证 即可证；
（2）关键是作二面角的平面角，由（1）知平面 平面 ，因此只要作作 PO⊥CE，
PH⊥CD，连结 OH，就可得∠PHO 为二面角 P﹣CD﹣B 的平面角，接着就是计算出这个角即
可．
( ) 2 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
16 16 4 3 4 14 4 3 4 3 4 3
k kx x x x x x k k k
− − = + − = − = + + +
2
1 2 2
1 4 3 4 1 32 4 3OAB
kS OM x x k
−= ⋅ − = =+
5
2k = ± 5 22y x= ± −
, ,a b c , ,a b c
y kx b= +
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 2,x x x x+
1 2 1 2,x x x x+ ,k b
2
3
PAB∆ AB E
PE AB⊥ CE AB⊥
PEC ⊥ ABCD【详解】（1）证明：取 AB 中点 E，连结 PE，CE，
易证△ABC 为正三角形，E 为 AB 中点，∴CE⊥AB，
∵△ABP 为正三角形，E 为 AB 中点，∴PE⊥AB，
∴AB⊥平面 PCE，
∴AB⊥PC．
（2）解：过 P 点作 PO⊥CE，PH⊥CD，连结 OH，
∵AB⊥平面 PCE，∴平面 ABCD⊥平面 PCE，
∵PO⊥CE，∴PO⊥平面 ABCD，
∵PH⊥CD，∴OH⊥CD，
∴∠PHO 为二面角 P﹣CD﹣B 的平面角，
四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC，AD⊥CD，
∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB 是正三角形．
AB＝2，PA＝PB＝2，PE＝CE ，∠PCE＝30°，
所以 PO ，OC ，∠ECD＝60°，OH ，
三角形 POH 直角三角形，∠POH＝90°，
∴ ．
∴二面角 P﹣CD﹣B 的平面角的正切值： ．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角．要证线线垂直，一般可先证线面垂直即
用线面垂直的性质定理．而证线面垂直又要寻找线线垂直，这可从图形中发现并证明．求二
面角关键是作二面角的平面角，一般要先找一个面的垂线，然后利用三垂线定理或逆定理作
出二面角的平面角，再在三角形中求得这个角．
是
3=
3
2
= 3 3
2
= 3 3 3 9
2 2 4
= × =
2
3
POtan PHO OH
∠ = =
2
322.已知椭圆 ．
（1）若过点 的直线 l 与椭圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围；
（2）若存在以点 B（0，2）为圆心的圆与椭圆 C 有四个公共点，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) ．(2) ．
【解析】
【分析】
（1）点 在椭圆上或椭圆内，解不等式 即得；
（2）要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，考虑到 在 轴上，只要在椭圆的左半边
（或右半边）存在不同两点到 B 点的距离相等，设动点 Q（x0，y0）在椭圆上，
，
令 ，只要 f（y0）在 y0∈（﹣1，1）上不单调即可．
【详解】（1）要使得直线 l 与椭圆 C 恒有公共点，则点 要在椭圆上或者椭圆内，
∴ ，∴ ．
（2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，
所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到 B 点的距离相等，
设动点 Q（x0，y0）在椭圆上，
，
令 ，使得 f（y0）在 y0∈（﹣1，1）上不单调，
∴ ，
∴ ．
法二：设圆 B：x2+（y﹣2）2＝r2， ，
( )2
2
2 1 1xC y aa
+ =： ＞
22 2P
，
2 2a ≥ 3a＞
P
2
2
2
2 2( ) 12a
+ ≤
B y
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 02 2 1 4 4BQ x y a a y y a y y a= + − = − + − = − − + +
( ) ( )2 2 2
0 0 01 4 4f y a y y a= − − + +
22 2P
，
2
2
2
2 2( ) 12a
+ ≤ 2 2a ≥
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 02 2 1 4 4BQ x y a a y y a y y a= + − = − + − = − − + +
( ) ( )2 2 2
0 0 01 4 4f y a y y a= − − + +
2
21 11 a
− −＜ ＜
3a＞
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) ( 2)x y r a a y y r
x a y a
+ − = ⇒ − + − = + =整理得：（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0，
所以存在 r，使得方程（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0 在（﹣1，1）上有两解，
令函数 f（y）＝（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2，对称轴 ，
只需 即可，
∴ ．
【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系．圆与椭圆的公共点问题．点 ，椭圆方程
，
点在椭圆内 ，点在椭圆上 ，点在椭圆外 ．
圆与椭圆都是轴对称图形，当圆心在椭圆的轴上时，它们的交点个数要利用其对称性进行变
换说法，如本题圆与椭圆有 4 个公共点，则圆与椭圆在椭圆的左半边（或右半边）有两个公
共点，即椭圆左半边（或右半边）有两点到圆心的距离相等．如果用方程的思想，则化为关
于 的方程在椭圆的范围内有两不等实解．
2
2
1y a
= −
2
21 11 a
− −＜ ＜
3a＞
0 0( , )P x y
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ + <
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ + =
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ + >
y
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