资料简介
漳州八中 2019-2020 学年上学期期中考高一数学试题
一、选择题
1.设集合 ，集合 ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.
【详解】交集是两个集合的公共元素，故 .
故选：D.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题.
2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出正确选项.
【详解】对于 A 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故不是
同一函数.
对于 B 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故不是同一函数.
对于 C 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，且 ，
故是同一函数.
对于 D 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故不是同一函数.
故选：C
{ }1 1A x x= − < < { }0 4B x x= < < A B
{ }1 4x x< < { }1 0x x− < <
{ }1 4x x− < < { }0 1x x< <
A B { }0 1x x= < <
( ) 1f x = ( ) 0g x x= ( ) 2f x x= + ( ) 2 4
2
xg x x
−= −
( )f x x= ( ) 2g x x= ( )f x x= ( ) ( )2
g x x=
( )f x R ( )g x { }| 0x x ≠
( )f x R ( )g x { }| 2x x ≠
( )f x R ( )g x R ( ) ( )g x x f x= =
( )f x R ( )g x { }| 0x x ≥【点睛】本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断，考查函数的定义域、值域和对应
关系，属于基础题.
3.若函数 ，则 的值为（ ）．
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得 的值，进而求得 的值.
【详解】依题意 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本小题主要考查分段函数的函数值计算，属于基础题.
4.已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，求得函数所过定点 的坐标.
【详解】当 时， ，即 ，故 .
故选：D.
点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
5.若幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）．
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【
( ) 1, 0
2 , 0
x xf x x x
+ ≥= − 1a ≠ P P
( )0,3 ( )1,3 ( )0,4 ( )1,4
0 1a = P
2 2 0x − = 1x = ( ) 2 21 3 1 3 4f a −= + = + = ( )1,4P
( ) af x kx= ( )27,3 ( )8f
2− 4−根据幂函数的概念和 所过点 ，求得 的值，由此求得 的值.
【 详 解 】 由 于 函 数 幂 函 数 ， 故 ， 即 ， 将 代 入 得
，所以 ，故 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数函数值的求法，属于基础题.
6.已知 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 分段法，比较出三者的大小关系.
【详解】依题意可知 ，故 .
故选：B.
【点睛】本小题主要考查利用 分段法比较对数、幂的大小，属于基础题.
7.已知函数 y=f（x）在 R 上为奇函数，且当 x≥0 时，f（x）=x2﹣2x，则当 x＜0 时，f（x）
的解析式是（ ）
A. f（x）=﹣x（x+2） B. f（x）=x（x﹣2）
C. f（x）=﹣x（x﹣2） D. f（x）=x（x+2）
【答案】A
【解析】
因 为 函 数 在 时 ， ， 所 以 时 ， ， 所 以
， 因 为 函 数 是 奇 函 数 ， 所 以
，所以选 A
点睛：本题考察分段函数的性质，注意每段函数所对应的范围为其切入点.
8.今有一组实验数据如下：
为
( )f x ( )27,3 ,k a ( )8f
( )f x 1k = ( ) af x x= ( )27,3
127 3, 3
a a= = ( ) 1
3f x x= ( ) 1
38 8 2f = =
0.50.2a = ln 0.2b = lg11c =
a b c> > c a b> > a c b> > c b a> >
0,1
( )0.50.2 0,1 , ln 0.2 0, lg11 lg10 1a b c= ∈ = < = > = c a b> >
0,1
( )y f x= 0x ≥ ( ) 2 2f x x x= − 0x < 0x− >
2 2( ) ( ) 2( ) 2f x x x x x− = − − − = +
2 2( ) ( ) ( 2 ) 2f x f x x x x x− = − = − + = − −
x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.1212
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令 代入选项中函数的解析式，由此判断最接近的函数.
【详解】对于 A 选项， 时， ，与表格 差距较大，故排除.
对于 B 选项， 时， ， 时， ，与表格数据较为吻合.
对于 C 选项， 时， ，与表格 差距较大，故排除.
对于 D 选项， 时， ，与表格 差距较大，故排除.
故选：B.
点睛】本小题主要考查根据实验数据选取函数模型，属于基础题.
9.已知 ，则 的解析式为（ ）
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【答案】C
【解析】
令 t= ，得到 x= ，∵x≠1，∴t≠1 且 t≠0，
∴ 且 t≠0)
【
y 1.5 4.0 7.5 18.1
2 2y x= − 2 1
2
xy
−= 2 1xy = −
2logy x=
2,3x =
2x = 2y = 1.5y =
2x = 1.5y = 3x = 4y =
2x = 3y = 1.5y =
2x = 1y = 1.5y =
1( ) 1
xf x x
= − ( )f x
1( ) ( 0xf x xx
−= ≠ 1)x ≠ 1( ) ( 01f x xx
= ≠− 1)x ≠
1( ) ( 01f x xx
= ≠− 1)x ≠ ( ) ( 01
xf x xx
= ≠− 1)x ≠
1
x
1
t
( )
1
1 ( 11 11
tf t tt
t
= = ≠−−∴ 且 x≠0)，
故选 C.
点睛：求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于 f(x)与 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个
等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
10.若函数 f(x)＝ax－1 的图象经过点(2，4)，则函数 的图象是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由条件知 ；函数 定义域为
，在定义域上是减函数；故选 D
11.函数 （ 且 ）在区间 上的值不大于 2，则函数 的
值域是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
( ) 1 ( 01f x xx
= ≠−
1f x
( ) 1log 1ag x x
= +
4 1
4
1(2) 4; ( ) log log ( 1)1f a g x xx
= = ∴ = = ++ ( )g x
( 1, )− +∞
( ) xf x a= 0a > 1a ≠ [ ]2 2− , ( ) 2logg a a=
1 1,0 0,2 2
− ∪
1 1, 0,2 2
−∞ −
1 1,2 2
−
1 1,0 ,2 2
− +∞ 【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性列不等式，求得 的取值范围，由此求得 的值域.
【详解】由于 是指数函数，当 时， 在 上递增， ，解得
；当 时， 在 上递减， ，解得 .
所以 .注意到 在 上递增，故函数 的值
域是 ，即 .
故选：A.
【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性和最值，考查对数型函数的单调性和值域，属于
基础题.
12.函数 ，若方程 有且只有两个不等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数 的分段表达式，画出 的图像，画出 的图像，根据 与
图像有两个不同的交点，求得实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
a ( )g a
( )f x 1a > ( )f x [ ]2 2− , ( ) 22 2f a= ≤
1 2a< ≤ 0 1a< < ( )f x [ ]2 2− , ( ) 22 2f a−− = ≤ 2 12 a≤ <
(2 ,1 1, 22a
∈ ∪ 2logy x= ( )0, ∞+ ( ) 2logg a a=
(2 2 2 2
2log ,log 1 log 1,log 22
∪
1 1,0 0,2 2
− ∪
( ) ( )
2 1, 0
1 , 0
x xf x f x x
− −
1
2 1
a
a
≤ >
2 12 a< ≤
( ) ( )34 34 2 2− + −
( )2 2 2 2 0= − + − = − =
0
( ) 1
2019f x x
= −【答案】
【解析】
【分析】
根据分式分母不为零，求得函数的定义域.
【详解】由于 为分式的形式，故 ，即 ，所以函数的定义域为
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查具体函数的定义域的求法，属于基础题.
15.已知函数 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
对 分成 两种情况，根据函数 定义域为 ，求得 的取值范围.
【详解】当 时， ，定义域为 ，符合题意.
当 时，要使 在 上恒成立，则需 ，解得
.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数定义域，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题.
16.已知函数 （ 为常数），若 时， 恒成立，则 的取
值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，分离常数 ，由此求得 的取值范围.
的
{ }2019x x ≠
( )f x 2019 0x − ≠ 2019x ≠
{ }2019x x ≠
{ }2019x x ≠
( ) 2 2f x mx mx= + +
0 8m≤ ≤
m 0, 0m m= ≠ ( )f x R m
0m = ( ) 2f x = R
0m ≠ 2 2 0mx mx+ + ≥ R 2
0
8 0
m
m m
>
∆ = − ≤
0 8m< ≤
m 0 8m≤ ≤
0 8m≤ ≤
( ) ( )lg 2xf x b= − b [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ b
( ],1−∞
( ) 0f x ≥ b b【 详 解 】 依 题 意 时 ， 恒 成 立 ， 即 ， ，
，在 时成立.而在区间 上， 为单调递增函数，当
时有最小值为 ，故 ，所以 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，考查指数函数和对数函数的性质，属于
基础题.
三、解答题
17.已知集合 ， ．
（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ．
（2）
【解析】
【分析】
（1）先求得 和 ，然后求得 .
（2）根据 列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
【详解】（1） ，因为 或 ，
所以 或 ．
（2）因为 ，所以 ，得 ，所以 ．
【点睛】本小题主要考查集合并集、补集的运算，考查根据集合的包含关系求参数，属于基
础题.
18.已知函数 的图象在 内是连续不断的，对应值表如下：
0 1 2 3 4 5
[ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ ( )lg 2 0x b− ≥ 2 1x b− ≥
2 1xb ≤ − [ )1,x∈ +∞ [ )1,+∞ 2 1xy = − 1x =
12 1 1− = 2 1 1xy = − ≥ 1b ≤
( ],1−∞
{ }5 3 1 17A x x= ≤ − < { }3 9B x x= < <
( )R B A
{ }1C x a x a= ≤ < + C B⊆ a
{ 6x x < }9x ≥
( ]3,8
R B A ( )R B A
C B⊆ a
{ }2 6A x x= ≤ < { 3R B x x= ≤ }9x ≥
( ) { 6R B A x x∪ =
+ ≤ 3 8a< ≤ ( ]3,8a∈
( ) ( ) 3
2log 3 2 4f x x x x= + − + [ ]2,5−
x 2− 1−（1）计算上述表格中的对应值 和 ；
（2）从上述对应填表中，可以发现函数 在哪几个区间内有零点？说明理由．
【答案】（1） ，
（2）函数 分别在区间 ， ， 内有零点,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用 ，求得 的值.
（2）根据零点的存在性定理，判断出有零点的区间.
【详解】（1）由题意可知 ，
．
（2）∵ ， ， ，
∴函数 分别在区间 ， ， 内有零点．
【点睛】本小题主要考查根据函数解析式求函数值，考查零点存在性定理的运用，属于基础
题.
19.已知函数 ．
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并用单调性定义证明；
（2）求函数 在区间 上的值域．
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用函数单调性的定义，计算 ，由此证得函数在区间 上递减.
( )f x a 1− 1.58 b 5.68− 39.42− 109.10− 227−
a b
( )f x
8a = 4b =
( )f x ( )2, 1− − ( )1,0− ( )1,2
( ) ( )2 , 1f f− ,a b
( ) ( ) ( ) ( )3
22 log 2 3 2 2 4 2 0 16 8 8a f= − = − + − ⋅ − + ⋅ − = + − =
( ) 21 log 4 2 4 4b f= = − + =
( ) ( )2 1 0f f− ⋅ − < ( ) ( )1 0 0f f− ⋅ < ( ) ( )1 2 0f f⋅ <
( )f x ( )2, 1− − ( )1,0− ( )1,2
( ) 2
1
4f x x
= −
( )f x ( )2,+∞
( )f x [ ]3,4
1 1,12 5
( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )2,+∞（2）根据（1）中求得 的单调性，求得函数在区间 上的值域.
【详解】（1）函数 在区间 上单调递减，证明如下：
任取 ，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
由单调性的定义可知函数在区间 上单调递减．
（2）由（1）知函数 在区间 上单调递减，
所以函数 最大值为 ，最小值为 ，
所以函数 在区间 上的值域为 ．
【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性
求函数的值域，属于基础题.
20.已知 是定义在 的奇函数，当 时， ．若函数 在
上单调递减．
（1）求 的取值范围；
（2）若对实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数 为奇函数，结合 以及二次函数的单调性，得到 ，由此求
得 的取值范围.
的
( )f x [ ]3,4
( ) 2
1
4f x x
= −
( )2,+∞
( )1 2, 2,x x ∈ +∞ 1 2x x<
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 1 2 12 1
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
4 4 4 4 4 4
x x x xx xf x f x x x x x x x
− +−− = − = =− − − − − −
1 2x x< 2 1 0x x− >
( )1 2, 2,x x ∈ +∞ 2 1 0x x+ > 2
1 4 0x − > 2
2 4 0x − >
( )( )
( )( )2 1 2 1
2 2
1 2
0
4 4
x x x x
x x
− + >
− − ( ) ( )1 2f x f x>
( )2,+∞
( )f x [ ]3,4
( )f x ( ) 13 5f = ( ) 14 12f =
( )f x [ ]3,4 1 1,12 5
( )f x R 0x ≥ ( ) 2f x x ax= − + ( )f x [ )0,+∞
a
[ ]5, 2m∈ − − ( ) ( )21 0f m f m t− + + < t
0a ≤
1t > −
( )f x ( )0 0f = 02
a ≤
a（2）根据函数 的奇偶性和单调性化简 ，分离常数 ，根据
的取值范围，求得 的取值范围.
【详解】（1）①∵ 是定义在 上的奇函数
∵ ， 在 上单调递减
∴ ，∴ ．
（2）∵ 在 上单调递减且在 上是奇函数，故 在 上递减，
由 得
∴ 恒成立， ．
令 ，
∵对称轴 ，∴ 时， 为增函数，
∴当 时， 取到最大值 ．∴ ．
【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性，考查函数不等式的解法，考查不等式恒成
立问题的求解策略，属于中档题.
21.某家具厂生产一种办公桌，每张办公桌的成本为 100 元，出厂单价为 160 元，该厂为鼓励
销售商多订购，决定一次订购量超过 100 张时，每超过一张，这批订购的全部办公桌出厂单
价降低 1 元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 160 张．
（1）设一次订购量为 张，办公桌的实际出厂单价为 元，求 关于 的函数关系式 ；
（2）当一次性订购量 为多少时，该家具厂这次销售办公桌所获得的利润 最大？其最
大利润是多少元？（该家具厂出售一张办公桌的利润＝实际出厂单价－成本）
【答案】（1）
（2）当第一次订购量为 100 张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是
6000 元．
【解析】
【分析】
( )f x ( ) ( )21 0f m f m t− + + < t m
t
( )f x R
( )0 0f = ( ) 2f x x ax= − + [ )0,+∞
02
a ≤ 0a ≤
( )f x [ )0,+∞ R ( )f x R
( ) ( ) ( )2 21f m f m t f m t− < − + = − − 21m m t− > − −
2 1t m m> − − + [ ]5, 2m∈ − −
( ) 2 1h m m m= − − +
1
2m = − [ ]5, 2m∈ − − ( )h m
2m = − ( )h m 1− 1t > −
x P P x ( )P x
x ( )f x
( ) 160,0 100,
260 ,100 160,
x xP x x x x
< ≤ ∈= − < ≤ ∈
N
N（1）将订购量 分为 两种情况，求得办公桌的实际出厂单价的分
段函数解析式.
（2）利用单价减去成本，再乘以订购量，求得利润 的解析式.根据分段函数 的解
析式，结合函数的单调性，求得 的最大值.
【详解】（1）依题意得
即 ．
（2）由（1）得
即
（i）当 ，则 时， ．
（ii）当 ，则 在 单调递减．
∴
∴ ．
综上所述， 的最大值为 6000．
答：当第一次订购量为 100 张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是
6000 元．
【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查函数最值的求法，属于基础题.
22.已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（f（x）﹣x2+x）＝f（x）﹣x2+x．
（1）若 f（2）＝3，求 f（1）；又若 f（0）＝a，求 f（a）；
（2）设有且仅有一个实数 x0，使得 f（x0）＝x0，求函数 f（x）的解析表达式.
【答案】（1）f（a）＝a；（2）f（x）＝x2﹣x+1.
【解析】
【分析】
（1）由条件可令 x＝2，得到 f（f（2）﹣22+2）＝f（2）﹣22+2，又由 f（2）＝3，即可得
x 0 100,100 160x x< ≤ < ≤
( )f x ( )f x
( )f x
( ) ( )
160,0 100,
160 100 ,100 160,
x xP x x x x
< ≤ ∈= − − < ≤ ∈
N
N
( ) 160,0 100,
260 ,100 160,
x xP x x x x
< ≤ ∈= − < ≤ ∈
N
N
( ) ( )
60 ,0 100,
160 ,100 160,
x x xf x x x x x
< ≤ ∈= − < ≤ ∈
N
N
( ) 2
60 ,0 100,
160 ,100 160,
x x xf x x x x x
< ≤ ∈= − + < ≤ ∈
N
N
0 100x< ≤ 100x = ( ) ( )max 100 6000f x f= =
100 150x< ≤ ( )f x ( ]100,150
( ) ( ) ( )150 100f f x f≤ <
( )1500 6000f x≤ <
( )f x到 f（1）＝1，再由 f（0）＝a，即可得到 f（a）＝a；
（2）由条件可得，令 x＝x0，f（x0）﹣x02+x0＝x0，解得 x0＝0 或 1，代入检验 x0≠0，则有 f
（x）＝x2﹣x+1；
【详解】（1）因为对任意 x∈R，有 f（f（x）﹣x2+x）＝f（x）﹣x2+x，
所以 f（f（2）﹣22+2）＝f（2）﹣22+2，又由 f（2）＝3，得 f（3﹣22+2）＝3﹣22+2，即 f
（1）＝1；
若 f（0）＝a，即 f（a﹣02+0）＝a﹣02+0，即 f（a）＝a；
（2）因为对任意 x∈R，有 f（f（x）﹣x2+x）＝f（x）﹣x2+x，
又因为有且只有一个实数 x0，使得 f（x0）＝x0，所以对任意 x∈R，有 f（x）﹣x2+x＝x0，
在上式中令 x＝x0，f（x0）﹣x02+x0＝x0，又因为 f（x0）＝x0，则 x02＝x0，故 x0＝0 或 1．
若 x0＝0，即 f（x）﹣x2+x＝0，即 f（x）＝x2﹣x，
但方程 x2﹣x＝x0 有两个不同实根，与题设条件矛盾，故 x0≠0；
若 x0＝1，则有 f（x）﹣x2+x＝1，即 f（x）＝x2﹣x+1，易验证该函数满足题设条件；
综上，所求函数为 f（x）＝x2﹣x+1.
【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性及运用，属于中档题．
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