资料简介
北师大版九年级数学上册
第一章检测题
时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．矩形具有而菱形不具有的性质是 B
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在
CB 的延长线上的点 D′处，那么 AD′为 D
A. 10 B．2 2 C. 7 D．2 3
,第 4 题图) ,第 6 题图)
3．(2018·湘西州)下列说法中，正确的个数有 B
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④
对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，推动这个四边形，
使它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得 AC＝2；当∠B＝60°时，如图②，则 AC 的长
为 AA. 2 B．2 C. 6 D．2 2
5．已知一矩形的两边长分别为 10 cm 和 15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两
部分，这两部分的长为 B
A．6 cm 和 9 cm B．5 cm 和 10 cm C．4 cm 和 11 cm D．7 cm 和 8 cm
6．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿 EF 折叠，使点 C 与点 A
重合，则下列结论错误的是 D
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF
7．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 AB′C′D′，
边 B′C′与 DC 交于点 O，则四边形 AB′OD 的周长是 A
A．2 2 B．3 C. 2 D．1＋ 2
,第 7 题图) ,第 8 题图) ,
第 9 题图) ,第 10 题图)
8．如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，连接 AM，DM.过点 D 作 DE⊥AM，
垂足为 E.若 DE＝DC＝1，AE＝2EM，则 BM 的长为 D
A．1 B.2 3
3
C.1
2
D.2 5
5
9．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连
接 OH，∠CAD＝20°，则∠DHO 的度数是 A
A．20° B．25° C．30° D．40°
10．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，△AEF 是等边三角形，连 AC
交 EF 于 G，下列结论：①∠BAE＝∠DAF＝15°；②AG＝ 3GC；③BE＋DF＝EF；④S△CEF＝2S△ABE，其中正确的个数为 C
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心
对称图形的是矩形、正方形．
12．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，则∠BED 的度数是 45°.
,第 12 题图) ,第 13 题图)
,第 14 题图)
13．如图，△ABC 中，E 为 AB 的中点，DC∥AB，且 DC＝1
2
AB，请对△ABC 添加一个
条件：AB＝2BC，使得四边形 BCDE 成为菱形．
14．如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上．若△ABE 的面积为 8，CE＝3，则线段 BE
的长为 5.
15．如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 DE 和 BF，分别
取 DE，BF 的中点 M，N，连接 AM，CN，MN，若 AB＝2 2，BC＝2 3，则图中阴影部
分的面积为 2 6.
,第 15 题图) ,第 16 题图)
,第 17 题图) ,第 18 题图)16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQ＝AD，
连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP＝ 17.
17．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，Q 分
别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ＋PQ 的最小值是 2 2.
18．(2018·本溪)如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在坐标轴上，B(8，7)，D(5，
0)，点 P 是边 AB 或边 BC 上的一点，连接 OP，DP，当△ODP 为等腰三角形时，点 P 的坐
标为(8，4)或(5
2
，7)．
三、解答题(共 66 分)
19．(8 分)如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AC 上的一
点，且 BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.
证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴OA＝OB＝1
2
AC＝1
2
BD，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝
60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB＝BO，
∵BO＝2AE，∴OA＝2AE，∴AE＝OE，∴BE⊥AC
20．(8 分)如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为点 E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形 DFAE 是正方形．
证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C .∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D 为
BC 的中点，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形 DFAE 为矩
形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴矩形 DFAE 为正方形
21．(8 分)(2018·盐城)在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E，F 满足
BE＝DF，连接 AE，AF，CE，CF，如图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．
证明：(1)∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE 和△ADF 中，{
AB＝AD，
∠ABE＝∠ADF，
BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)
(2)四边形 AECF 是菱形．理由：连接 AC 交 BD 于点 O，∵四边形 ABCD 是正方形，∴
OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即 OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边
形 AECF 是平行四边形，∵AC⊥EF，∴▱AECF 是菱形22．(9 分)(2018·陇南)已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分
别是 BC，BE，CE 的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设 AD＝a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积．
解：(1)如图，连接 EF，∵点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，BF＝CF，
∴FH∥BE，FH＝1
2
BE＝BG，∴∠CFH＝∠CBG，
∴△BGF≌△FHC
(2)当四边形 EGFH 是正方形时，连接 GH，可得：EF⊥GH 且 EF＝GH，在△BEC 中，∵
点 G，H 分别是 BE，CE 的中点，∴GH＝1
2
BC＝1
2
AD＝1
2
a，且 GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥
BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝1
2
a，∴S 矩形 ABCD＝AB·AD＝1
2
a·a＝1
2
a2
23．(9 分)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，E 是 AD 边的中点．M 是 AB
边上一点(不与点 A 重合)，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN.
(1)求证：四边形 AMDN 是平行四边形；
(2)请求出 AM 为何值时，四边形 AMDN 是矩形，并说明理由．解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.∵点 E
是 AD 中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形 AMDN 是平行四
边形
(2)当 AM 的值为 1 时，四边形 AMDN 是矩形．理由如下：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD＝2，∵AM＝1
2
AD＝1，∴AM＝AE，又∠DAB＝60°，∴△MAE 为等边三角形，
∴∠AEM＝60°，EM＝EA＝ED＝1，∴∠ADM＝1
2
∠AEM＝30°，
又∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴▱AMDN 是矩形
24．(12 分)如图①，在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的
延长线上，且 PA＝PE，PE 交 CD 于点 F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE 的度数；
(3)如图②，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连
接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP 和△CBP
中，{
AB＝CB，
∠ABP＝∠CBP，
PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠
E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠
EDF＝90°
(3)AP＝CE.理由如下：∵四边形 ABCD 是菱形，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP
和△CBP 中，{
AB＝CB，
∠ABP＝∠CBP，
PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠
DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF
＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，又 PA＝PC，
PA＝PE，∴PC＝PE，∴△EPC 是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE
25．(12 分)已知，在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点 D 为直线 BC 上一动点
(点 D 不与点 B，C 重合)．以 AD 为边做正方形 ADEF，连接 CF.
(1)如图①，当点 D 在线段 BC 上时，求证：CF＋CD＝BC；
(2)如图②，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 CF，BC，CD
三条线段之间的关系；
(3)如图③，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上，且点 A，F 分别在直线 BC 的两侧时，
其他条件不变：
①请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；
②若正方形 ADEF 的边长为 2 2，对角线 AE，DF 相交于点 O，连接 OC，求 OC 的长
度．解：(1)∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形 ADEF
是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°－∠DAC，∠CAF＝90°－∠DAC，∴∠BAD
＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD＝CF，∵BD＋CD＝BC，∴CF＋CD＝BC
(2)CF－CD＝BC
(3)①CD－CF＝BC ②∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∵四边形 ADEF 是正方形，∴AD＝
AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°－∠BAF，∠CAF＝90°－∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB
＝AC，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABD，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠
ABD＝135°，∴∠FCD＝90°，∴△FCD 是直角三角形．∵正方形 ADEF 的边长为 2 2，且对
角线 AE，DF 相交于点 O，∴DF＝ 2AD＝4，O 为 DF 的中点，∴OC＝1
2
DF＝2
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