资料简介
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案
教学分析
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究
具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、
比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较
cos(α-β)与 cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换
元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式 C(α-β)推得公式 C(α+β)，
又如比较 sin(α-β)与 cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函
数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式 S(α-β)、S(α+β)等.
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与
这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本
节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能
力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深
刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练
学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯
进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公
式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而
不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
二、三维目标
1．知识与技能：
在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、
正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学
生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.
2．过程与方法：
通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使
学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题
解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应
用意识，提高学生的数学素质.
三、重点难点
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、课时安排
2 课时
五、教学设想
（一）导入新课
思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后
让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说
出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课
我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.
思路 2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.
1.化简下列各式
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;
(2) ;
(3)
2.证明下列各式
(1)
(2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β;
(3)
答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.
2.证明略.
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由
此展开新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.
活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上
发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊
到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为 90°时，公式就变成诱
导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意
角的相对性，如α=(α+β)-β, 等.让学生在整个的数学体系
中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其
内在联系的良好习惯，提高数学素养.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕;
tan（α±β）＝ 〔T（α±β）〕.
讨论结果：略.
（三）应用示例
思路 1
例 1 利用和差角公式计算下列各式的值.
（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;
（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;
cossin1tan
cossin
cossin
sin
2
2
−−−
+−− xx
xx
xx
x
.tan
tan
cossin
)sin()sin(
2
2
22 α
β
βα
βαβα +−+
;tantan1
tantan
)cos(
)sin(
βα
βα
βα
βα
+
+=−
+
.sin
sin)cos(2sin
)2sin(
α
ββαα
βα =+−+
)2()2(2
βαβαβα −−−=+
βα
βα
tantan1
tantan
±（3）
活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，
教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式
S(α-β)的右边，（2）同公式 C(α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊
角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与 T(α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.
又因为 tan45°=1，原式化为 ，再逆用公式 T(α+β)即可解得.
解：（1）由公式 S(α-β)得
原式=sin(72°-42°)=sin30°= .
（2）由公式 C(α+β)得
原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
（3）由公式 T(α+β)得
原式= =tan(45°+15°)=tan60°= .
点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正
用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性
要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练
1.化简求值：
（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;
（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;
（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°= .
（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°= .
（3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
2.计算
解：原式= =tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°= .
例 2已知函数 f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为 R,设θ∈［0,2π］,若 f(x)为偶函数,
求θ的值.
活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函
数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让
学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.
15tan1
15tan1
−
+
15tan45tan1
15tan45tan
−
+
2
1
15tan45tan1
15tan45tan
−
+
3
2
1−
2
1
.75tan1
75tan1
+
−
75tan45tan1
75tan45tan
+
−
3
3−解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即 sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),
即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ
=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.
∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.
∴sinx(sinθ+cosθ)=0 对任意 x 都成立.
∴ sin(θ+ )=0,即 sin(θ+ )=0.
∴θ+ =kπ(k∈Z).∴θ=kπ- (k∈Z).
又θ∈［0,2π),∴θ= 或θ= .
点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果
将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训
练学生逻辑思维能力.
变式训练
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