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第一章 直角三角形的边角关系 《锐角三角函数(第 1 课时)》 教学设计说明 一、教材分析 直角三角形中边角之间的关系在实际生活中应用广泛.这节先从实际问题: 梯子的倾斜程度引入了锐角三角函数——正切.它是刻画物体的倾斜程度,山的 坡度一个重要的量.本节从现实情境出发,让学生在经历探索直角三角形边角关 系的过程中,理解锐角三角函数正切的意义:直角三角形中边的比值与角的大小 之间的一种内在数量关系,并能通过实际举例来说明;并能够根据直角三角形的 边角关系进行计算.本节的重点就是通过角度的变化和边的比值之间的关系理解 tanA 的几何意义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算, 难点是对三角函数意义的深层次理解.所以在教学中要注重创设符合学生实际的 问题情境,引出正切三角函数的概念,使学生感受到数学与现实世界的联系,鼓 励他们有条理地进行表达和思考,特别关注他们对概念的理解. 二、教学目标 知识目标 1.经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程;理解正切三角函 数的意义和与现实生活的联系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、 坡度等,能够用正切进行简单的计算. 能力目标 1.经历观察、猜想等数学活动过程,发展学生的思维推理能力,能有条理 地,清晰地阐述自己的观点. 2.进一步理解函数的概念:边与边比值与角大小之间的变化关系. 3.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 会用化归思想对问题进行转换,从而解决问题,提高解决实际问题的能力.情感与价值观要求 体会客观现实世界中量与量之间的相互联系和变化关系. 教学重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,并能进行简单的计算. 教学难点 : 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 三、教学过程: 一、创设问题情境,引入新课 1、通过对课件封面图片的观察,提出问题: [问题 1]:以前我们学习了直角三角形中的勾股定理,在直角三角形中给出 两条边的长度可以求出第三边的长度,大家也知道直角三角形的两个锐角互余, 根据其中一个锐角的度数可以求另外一个内角.那么请问,在直角三角形中,知 道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗? [问题 2]:随着改革开放的深入,深圳的城市建设正日新月异地发展,幢幢 大楼拔地而起.上个世纪的地王大厦一直是深圳最高的大厦,但经过几十年的城 市发展,“深圳最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代,你们知道目前深圳最高 的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到京基大厦的实际高度 吗? 通过本章的学习,相信大家一定能够解决. 这节课,我们学习锐角三角函数. (板书课题:锐角三角函数). 二、新课讲授 1、用多媒体演示如下内容: 梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”, 那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什 么的?为了描述梯子的这种倾斜程度,先给大家介绍三个简单的概念:倾斜角,铅垂高,水平宽.请同学们看下图,并回答问题(用多媒体演示) (1)梯子在上升变陡过程中,倾斜角的大小有无变化?如何变 ? 结论:倾斜角越大——梯子越陡 (2)甲组中 EF 和 AB 哪组梯子比较陡,乙图中 AB 和 EF 哪组梯子较陡. 结论:当铅直高度一样,水平宽度越小,梯子越陡;当水平宽度一样,铅 直高度越大,梯子越陡 (3)如图,梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的? 方法:在保持倾斜程度不变的情况下,将两部梯子的水平宽变成一样,比 较铅垂高,或者将铅垂高变成一样,比较水平宽. 这种比较方法还是很麻烦,需要找到更简便的方法, (4)如图,三部梯子的倾斜程度一样,通过测量发现其中两部梯子的数据 如下,请你用上面的方法分析当倾斜角相等时,铅直高度和水平宽度之间有何关 系. 甲组 乙组结论:铅垂高和水平宽的比值一样 (5)回头看前面几个梯子,铅垂高和水平宽的比值与梯子的强些程度有无 一点的关系? 结论:梯子越陡,比值越大,从而也得出前斜角越到,比值越大.(让学生 体会直角三角形中的锐角 A 大小,它的对边与邻边之比之间的内在关系.) 练习:通过这个结论比较课件中四部梯子的倾斜程度. 6、 正切的定义 如图,在 Rt△ABC 中,如果锐角 A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随 之确定, 这个比叫做∠A 的正切(tangent),记作 tanA,即 tanA= . 注意: 1.tanA 是在直角三角形中定义的,目前∠A 是一个锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.tanA 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,省去“∠”号(注意 tanA 不表 示 tan 乘以 A). 3. tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的 比.. 4.tanA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则正切值相等;两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 思考:1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么? 2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度,课本图 1—3,梯子的倾斜程度与 tanA 的邻边 的对边 A A ∠ ∠有关系吗? 总结:梯子越陡,tanA 的值越大;反过来,tanA 的值越大,梯子越陡. 练习:请你用不同的符号表示下列图形中两个锐角的正切 三、例题讲解 [例 1]:如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 分析:比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡,只需分别求出 tanα、tanβ的 值,比较大小,越大,扶梯就越陡. 四、、坡度、坡角的定义 正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑,工程技术等.正切经常用来描 述山坡的坡度、堤坝的坡度. 如图,有一山坡在水平方向上每前进 100m,就升高 60 m, 那么山坡的坡度(即坡角α的正切——tanα)就是 tanα= . ( 这里要注意区分坡度和坡角.) 坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大,坡面就 越陡. 拓展: 如图,为拦水坝的横截面,其中 AB 面的坡度 i= ,若坝高 BC=20 5 3 100 60 = 3:1米,求坝面 AB 的长. 分析:现根据坡度的概念,知道 BC 的长,求出 AC,在利用勾股定理求 AB 的长度 五、课时小结 本节课从梯子的倾斜程度谈起,经历了探索直角三角形中的边角关系,得 出了在直角三角形中的锐角与它的对边与邻边之比之间的数量关系,并以此为基 础,在“Rt△”中定义了 tanA= . 接着,我们研究了梯子的倾斜程度,工程中的问题坡度与正切的关系,了 解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念. 六、课后作业 1.习题 1.1 第 1、2、4. 2.观察学校及附近商场的楼梯,哪个更陡. C BD E A 的邻边 的对边 A A ∠ ∠ 查看更多

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