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资料简介
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集合及集合的表示
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“ ”“ ”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的
意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集
合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学
分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到
应用.
要点一：集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能
判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
要点诠释：
（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合 A，则它是一
个整体，也就是一个班集体．
（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、
动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，
如上面所提到的集合 A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合 的元素．
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，
两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不
应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由 1，2，3 组成的集合，也可以写成由 1，3，2 组成
一个集合，它们都表示同一个集合.
要点诠释：
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象
也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．
解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利
用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它
的“三性”．
4．元素与集合的关系：
(1)如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于(belong to)A，记作 a A
(2)如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于(not belong to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作： .
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作 N
正整数集，记作 N*或 N+
整数集，记作 Z
有理数集，记作 Q
∈ ∉
B
∈
a A∉
∅2
实数集，记作 R
要点二：集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法
来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于 2 且小于等于 8 的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，
x2+y2}，….
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上
表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具
有的共同特征.
要点诠释：
（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实
数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性
时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若
描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
4.图示法：图示法主要包括 Venn 图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用
它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合
.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例 1．集合 由形如 的数构成的，判断 是不是集合 中的元素？
【答案】是
【解析】由分母有理化得， .由题中集合 可知 均有 ，
，即 .
【总结升华】（1）解答本题首先要理解 与 的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，
能否化成此形式，进而去判断 是不是集合 中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合
的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式
转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式 1】设
(1)若 a Z，则是否有 a S？
{ }1,2,3,4
1，2，3，4
A 3 ( , )m n m Z n Z+ ∈ ∈ 1
2 3− A
1 2 3
2 3
= +
− A 2, 1,m n= = ,m Z n Z∈ ∈ ∴
2 3 A+ ∈ 1
2 3
A∈
−
∈ ∉
1
2 3−
1
2 3− A
S={x|x=m+ 2n,m,n Z}∈
∈ ∈3
(2)对 S 中任意两个元素 x1，x2，则 x1+x2，x1·x2，是否属于集合 S？
解：(1)若 a Z，则有 a S，即 n=0 时，x Z，∴a S；
(2) x1，x2 S，则
∵m1，n1，m2，n2 Z，∴m1m2+2n1n2 Z，m1n2+m2n1 Z
∴x1·x2 S.
类型二：元素与集合的关系
例 2．（2015 北京西城区学探诊）给出下列六个关系：
（1）0 （2）0 {－1，1} （3） {0}
（4） （5）{0} {0，1} （6）{0} {0}
其中正确的关系是 ．
【答案】（2）（4）（6）
【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作 ，N 表示自然数集， 或 表示正整数
集，Z 表示正整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符
号表示，以及子集的性质．给定一个对象 a，它与一个给定的集合 A 之间的关系为 ，或者 ，
二者必居其一．解答这类问题的关键是：弄清 a 的结构，弄清 A 的特征，然后才能下结论．
【解析】（1）0 不是正整数，故错误；
（2）0 不是集合{－1，1}中的元素，故正确；
（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；
（4）空集是任何一个集合的真子集，故正确；
（5）是集合与集合的关系，应该使用符号 或 ，故错误；
（6）一个集合是它本身的子集，故正确．
【总结升华】本题主要是区别 0，{0}， 和非空数集以及常用的集合之间的关系．此类问题在解答时，
既要熟悉集合的常用符号，又要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质，特别
是{0}与 ，最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．
举一反三：
【变式 1】 用符号“ ”或“ ”填空
（1）若 ,则 ；-2 .
（2）若 则 ；-2 .
【答案】
（1） ， （2） ，
类型三：集合中元素性质的应用
例 3.设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 ，对于有
序元素对（a,b）,在 中唯一确定的元素 与之对应），若对任意的 ，有 ，则对任
∈ ∈ ∈ ∈
∀ ∈ 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2x =m + 2n ,x =m + 2n (m ,n ,m ,n Z)∈
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2( ) ( , )x x m m n n S m m Z n n Z∴ + = + + + ∈ + ∈ + ∈
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1x x =(m + 2n ) (m + 2n )=m m +2n n + 2(m n +m n )⋅ ⋅
∈ ∈ ∈
∈
∈ N* ∉ ∅ ∈
{ }0∅ ∈ ⊆
∅ +N N*
a A∈ a A∉
⊆ ⊇
∅
∅
∈ ∉
A=Z 1
2
− A A
{ }2B | 2 1 0 ,x x x= − − = 1
2
− B B
∉ ∈ ∈ ∉
S S ,a b S∈
S *a b ,a b S∈ *( * )a b a b=4
意的 ，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】抓住本题的本质 恒成立. 只要为 中元素即可有 . B 中由已知即为
符合已知条件形式. 中 即可. D 中 相当于已知中的 也正确.只有 A 不一定正确.
【总结升华】本题应紧紧抓住关系式 ，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别
在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.
例 4. ，则 M=( )
A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}
【答案】D
【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使 是自然数，所以
由 a Z，所以-1≤a≤4
当 a=-1 时， 符合题意；
当 a=0 时， 不符合题意；
当 a=1 时， 不符合题意；
当 a=2 时， 符合题意；
当 a=3 时， 符合题意；
当 a=4 时， 符合题意.
故 a=-1，a=2，a=3，a=4 为 M 中元素，即 M={-1，2，3，4}，选项 D 正确.
举一反三：
【变式】（2015 北京西城区期末）设 M={1，2}，N={1，2，3}， ，
则集合 P 中元素的个数为 ．
【答案】4 个
,a b S∈
( * )*a b a a=
[ *( * )]*( * )a b a a b a=
*( * )b b b b=
( * )*[ *( * )]a b b a b b=
( * )*a b a b= ,a b S *a b S∈
*( * )b a b a= C a b= *a b a
( * )*a b a b=
6M={ a Z, | N}5- a
∈ ∈
6
5- a 0 66
5- a
≤ ≤
∈
16 = N5- ( - 1)
∈
6
5
∉6 = N5- 0
6 3
5 1 2
∉− = N
6
5 2 =2 N∈−
6 =3 N5- 3
∈
6 =6 N5- 4
∈
{ }P c c a b ,a M ,b N= = + ∈ ∈5
【解析】集合 P 中的元素满足 c=a+b，且 ，所以
由 a M，b N
当 a=1，b=1 时，c=1+1=2；
当 a=1，b=2 时，c=1+2=3；
当 a=1，b=3 时，c=1+3=4；
当 a=2，b=1 时，c=2+1=3；
当 a=2，b=2 时，c=2+2=4；
当 a=2，b=3 时，c=2+3=5；
故根据元素的互异性，P 中元素，即 P={2，3，4，5}，答案为 4 个．
例 5. 设集合 ={x | }，当集合 为单元素集时，求实数 的值.
【答案】0，1
【解析】由集合 中只含有一个元素可得，方程 ax2+2x+1=0 有一解，由于本方程并没有注明是一个二
次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当 a=0 时，可得是一次方程，故满足题意.
当 a≠0 时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为 0 时的 a
的值，可求得为 a=1.故 a 的取值为 0，1.
例 6.已知集合 ，若 ，求实数 的值及集合 .
【答案】 ，
【解析】（1）若 则 .
所以 ，与集合中元素的互异性矛盾，则 应舍去.
（2）若 ，则 或 ，
当 时， 满足题意；
当 时， ，与集合中元素的互异性矛盾，则 应舍去.
（3）若 ，则 或 ，由上分析知 与 均应舍去.
综上， ，集合 .
【总结升华】本题中由于 1 和集合 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既
要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须
在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式 1】（2015 秋 无为县期中）已知集合 ，且－3∈A，求 a 的值．
【答案】
a M ,b N∈ ∈
∈ ∈
A R∈ 2 2 1 0ax x+ + = A a
A
{ }2 22,( 1) , 3 3A a a a a= + + + + 1 A∈ a A
0a = { }1,2,3A =
2 1,a + = 1a = −
{ }1,0,1A = 1a = −
2( 1) 1a + = 0a = 2a = −
0a = { }2,1,3A =
2a = − { }0,1,1A = 2a = −
2 3 3 1+ + =a a 1a = − 2a = − 1a = − 2a = −
0a = { }1,2,3A =
A
{ }22 ,12 , 2 5A a a a= − +
3
2a = −6
【解析】∵ －3∈A，
∴ a－2=－3，或 ，
得 a=－1，或
检验知：a=－1 不满足集合元素的互异性，
∴ ，答案为 ．
例 7．（2016 春 徐州期中）设 A 是由一些实数构成的集合，若 a∈A，则 ，且
（1）若 3∈A，求 A；
（2）证明：若 a∈A，则 ；
（3）A 能否只有一个元素，若能，求出集合 A，若不能，说明理由．
【答案】（1） ；（2）略；（3）
【思路点拨】（1）根据集合 A 的定义，找出 A 的所有元素即可；
（2）由集合 A 的定义证明即可；
（3）假设 A 只有一个元素，然后转化为一元二次方程解的问题．
【解析】（1）∵ 3∈A，∴
∴
∴
∴
（2）∵ a∈A，∴
∴
（3）假设集合 A 只有一个元素，∏A={a}，则
即 有且只有一个解，
又因为
∴ 无实数解．
22 5 3a a+ = −
3
2a = −
3
2a = − 3
2a = −
1
1 Aa
∈− 1 A∉
1
1 Aa
∈−
1 23 , ,2 3A = −
1 1
1 3 2 A= − ∈−
1 2
1 31 ( )2
A= ∈
− −
1 321 ( )3
A= ∈
−
1 23 , ,2 3A = −
1
1 Aa
∈−
1 1 1111 1
a Aa a
a
−= = − ∈−− −
1
1a a
= −
2 1 0a a− + =
2( 1) 4 3 0∆ = − − = − <
2 1 0a a− + =7
与 有且只有一个实数解矛盾．
所以假设不成立，即集合 A 不能只有一个元素．
【总结升华】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元
素入手，作为解题的切入点.
类型四：集合的表示方法
例 8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程 的所有实数根组成的集合；
(2)由大于 15 小于 25 的所有整数组成的集合.
【答案】 ； ．
【解析】(1)设方程 的实数根为 x，并且满足条件
因此，用描述法表示为 ；
方程 有两个实数根
因此，用列举法表示为 .
(2)设大于 15 小于 25 的整数为 x，它满足条件 ，且 15 1a < 0a ≠ 1a ≤
0a = 2 1 0x + = 1 ,2x = −
0a ≠ 2 2 1 0ax x+ + = 4 4 0a∆ = − ≤ 1a ≥
a 1a ≥ 0a =
a 2 1( )a k k z= − ∈ 2 22 1 ( 1) ,k k k− = − − , 1k k −
∴ a M∈ a M
,x y z∈ x y+ x y−
(4 2)k M− ∈ ,x y z∈ 2 2 4 2 ( )( ) 2(2 1)x y k x y x y k− = − ⇒ + − = − x y+
x y− x y+ x y− 2(2 1)k − x y+ x y−
x y+ x y− 2(2 1)k −
4 2k − M
,a b M∈ 1 1 2 2, , ,x y x y z∈ 2 2 2 2
1 1 2 2,a x y b x y= − = −
2 2 2 2
1 1 2 2( )( )ab x y x y= − −
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2x x y y x x y y x x y y x y x y+ − + − −
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )x x y y x y x y− − −
1 2 1 2x x y y− 1 2 2 1x y x y−
∴ ab M∈
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