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资料简介
1
正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.能画出 的图象，并能借助图象理解 在 上的性质；
2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；
3．理解正切函数的对称性．
【要点梳理】
要点一：正切函数的图象
正切函数 ，且 的图象，称“正切曲
线”
（1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα
（2）利用正切线画函数 y= tanx，x∈ 的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在 x= 的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成 8 份，（每份 ）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从 到 也分成 8 份
④把正切线的端点移到对应的位置；
⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于 tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把 y=tanx , x∈ 的图象左、右移动
kπ个单位（k∈z）就得到 y=tanx（x∈R 且 x≠kπ+ ）的图象.
要点二：正切函数的性质
1．定义域： ，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当 且无限接近于 时， 无限增大，记作
（ 趋向于正无穷大）；当 ， 无限减小，记作
（ 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此 可以取任何实数值，但没有最
tany x= tany x= ,2 2
π π −
Rxxy ∈= tan ( )zkkx ∈+≠ ππ
2
)2,2(
ππ−
2
π−
8
π
2
π−
2
π
)2,2(
ππ−
2
π
∈+≠ zkkxx ,2| ππ
( )2x k k z
π π< + ∈
2 k
π π+ tan x
tan x → +∞ tan x ( )2x k k z
π π> − + ∈ tan x tan x → −∞
tan x tan x2
大值和最小值．称直线 为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即 ．
要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点 是函数 ，且 的对称中心，
正切函数图象没有对称轴
5．单调性：在开区间 内，函数单调递增
要点诠释：
正切函数在开区间 内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函
数．
要点三：正切函数型 的性质
1．定义域：将“ ”视为一个“整体”．令 解得 ．
2． 值域：
3．单调区间：（1）把“ ”视为一个“整体”；（2） 时，函数单调性与
的相同（反）；（3）解不等式，得出 范围．
要点诠释：
若 ，一般先用诱导公式化为 ，使 的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当 时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为 ．
【典型例题】
类型一：正切函数的定义域
例 1．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，
通常需要考虑的方面有：分母不为 0，真数大于 0，偶次根式内的数大于或等于 0 等．
,2x k k z
ππ= + ∈
π
( ) xx tantan −=−
,0 ( )2
k k z
π ∈ tan ,y x x R= ∈
2x k
ππ≠ +
zkkk ∈
++− ππππ
2,2
zkkk ∈
++− ππππ
2,2
tan( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + ≠ >
xω ϕ+ ,2x k k z
πω ϕ π+ ≠ + ∈ x
( ),−∞ +∞
xω ϕ+ 0( 0)A A> <
tan ( , )2y x x k k z
ππ= ≠ + ∈ x
0ω < 0ω > x
( )2
k k z
πϕ = ∈
| |T
π
ω=
sin tany x x= +
lg(2sin 1) tan 1
cos 2 8
x xy x π
− + − −= + 3
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意得 ，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．
由图可得函数定义域集合为 ．
（2）由 得 ．
则有 ．
所以函数定义域为 ．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或
单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式 1】利用正切函数的图象解不等式 ．
【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为 ，k∈Z．
类型二：正切函数的图象
例 2．（1）作出函数 y=tan x+2， 的简图；
{ }2 2 , 2 ,2x k x k k z x x k k Z
ππ π π π ≤ < + ∈ = + ∈
32 2 ,2 4x k x k k Z
π ππ π + < < + ∈
sin 0
tan 0
x
x
≥
≥
{ }2 2 , 2 ,2x k x k k z x x k k Z
ππ π π π ≤ < + ∈ = + ∈
2sin 1 0
tan 1 0
cos 02 8
x
x
x π
− >− − ≥
+ ≠
1sin 2
tan 1
,2 8 2
x
x
x k k Z
π ππ
>
≤ −
+ ≠ + ∈
52 26 6
( )2 4
32 4
k x k
k x k k Z
x k
π ππ π
π ππ π
ππ
+ < < +
− < ≤ − ∈
≠ +
32 2 ,2 4x k x k k Z
π ππ π + < < + ∈
3tan 3x ≥
,6 2k k
π ππ π + +
,2 2x
π π ∈ − 4
（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．
①y=tan |x|；②y=|tan x|
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数 y=tan x+2 的图象是将函数 y=tan x 的图象向
上平移 2 个单位得到， ，如图所示．
（2）①∵
故当 x≥0 时，函数 y=tan |x|在 y 轴右侧的图象就是 y=tan x 的图象；
当 x＜0 时，函数 y=tan |x|在 y 轴左侧的图象为 y=tan x 在 y 轴左侧的图象关于 x 对称的图象，如下图
所示．
观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．
②∵ ，类似①可作出其图象，如下图所示．
观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．
【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已
知函数图象间的关系．
如果由 的图象得到 及 的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即
我们只需作出 （x≥0）的图象，令其关于 y 轴对称便可以得到 （x≤0）的图象；同理
只要作出 的图象，令图象不动下翻上便可得到 的图象．
举一反三：
【变式 1】函数 在区间 内的图象大致是（ ）
,2 2x
π π ∈ −
tan ( , 0, )2tan | |
tan ( , 0, )2
x x k x k Z
y x
x x k x k Z
ππ
ππ
≠ + ≥ ∈= =
− ≠ + < ∈
tan ( , )2| tan |
tan ( , )2
x k x k k Z
y x
x k x k k Z
ππ π
ππ π π
≤ < + ∈= =
− + < ≤ + ∈
( )y f x= (| |)y f x= | ( ) |y f x=
( )y f x= ( )y f x=
( )y f x= | ( ) |y f x=
tan sin | tan sin |y x x x x= + − − 3,2 2
π π
5
【答案】D
类型三：正切函数的周期性
【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例 1】
例 3．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是
【解析】
（1）
函数 是周期函数，最小正周期是 ．
（2）
是周期函数，最小正周期是 ．
（3）由图象知，函数不是周期函数
（4）是周期函数，最小正周期是 ．
类型四：正切函数的单调性
例 4．（2015 春 河北邢台月考）设函数 ．
（1）求函数的定义域、周期和单调区间
（2）求不等式 的解集．
【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期和单
调区间．
（2）不等式即 ，可得 ，由此求得 x 的范围，可得结论．
2tany x=
| tan |y x=
tan | |y x=
tan(2 )3y x= − π
2 2( ) tan tan ( ) ( )f x x x f xπ π= = + = +
∴ 2tany x= π
( ) | tan | | tan( ) | ( )f x x x f xπ π= = + = +
∴ | tan |y x= π
2
π
( ) tan( )2 3
xf x
π= −
( ) 3f x ≤
tan( ) 32 3
x π− ≤
2 2 3 3
xk k
π π ππ π− < − ≤ +6
【答案】（1）定义域为 ，T=2π，函数的增区间为 ，k
∈Z；（2）不等式的解集为 ，k∈Z
【解析】（1）根据函数 ，可得 ，k∈Z，
求得 ，故函数的定义域为 ．
它的周期为 ．
令 ，k∈Z，求得 ，
故函数的增区间为 ，k∈Z．
（2）求不等式 ，即 ，∴ ，
求得 ，故不等式的解集为 ，k∈Z．
【总结升华】（1）对于形如 （ ， 为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切
函数的性质为基础，运用整体思想求解．若 ＜0，一般先利用诱导公式将 x 的系数化为正数，再进行求
解．
（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较
大小．
举一反三：
【变式 1】求函数 的单调增区间.
【答案】
【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例 2】
【变式 2】函数 在区间 单调递减，求实数 的取值范围.
【解析】 函数 在区间 单调递减
，且 ，即
，解得：
5{ | 2 , }3x x k k Z
ππ≠ + ∈ 5(2 ,2 )3 3k k
π ππ π− +
4(2 ,2 ]3 3k k
π ππ π− +
( ) tan( )2 3
xf x
π= −
2 3 2
x k
π ππ− ≠ +
52 3x k
ππ≠ + 5{ | 2 , }3x x k k Z
ππ≠ + ∈
21
2
π π=
2 2 3 2
xk k
π π ππ π− ≤ − ≤ + 52 23 3k x k
π ππ π− < < +
5(2 ,2 )3 3k k
π ππ π− +
( ) 3f x ≤ tan( ) 32 3
x π− ≤
2 2 3 3
xk k
π π ππ π− < − ≤ +
42 23 3k x k
π ππ π− < ≤ + 4(2 ,2 ]3 3k k
π ππ π− +
tan( )y xω ϕ= + ω ϕ
ω
| tan(2 - ) |3y x= π
5,2 6 2 12
k kπ π π π + +
( ) tanf x x= ω ( , )2 2
− π π ω
( ) tanf x x= ω ( , )2 2
− π π
,2 2x
π πω ∴− ∈ − 0ω <
2
2
0
x
x
πω
πω
ω
− > −
− 2 3tan tan5 5
π π<
13 15tan( ) tan( )7 8
π π− < − 13 12tan( ) tan( )4 5
π π− > −
2π
ω
π
ω 2
π
ω
tan(2 )4y x
π= −
( ,0)8
π− ( ,0)2
π
( ,0)4
π
cot(tan ) xa x= sin(tan ) xb x= cos(tan ) xc x= cotlog cosxd x= 0 4x
π <
2
2( ) tan 2tan 2f x x x
= + +
( )y f x= k
( )f x k
siny x= cos( )6y x
π= + cos 1y x= − 2y x=
( ) tan( )f x x ϕ= +
ϕ ( )f x
ϕ ( )f x
ϕ ( )f x
ϕ ( )f x
ϕ
( ) sin tan 1f x a x b x= + + 75f
π =
99
5f π
cot( )4y ax
π= + 5( , )8 8x
π π∈
( ) tan( )f x xω ϕ= + ( ) ( 1) ( 2)f x f x f x= + − +
tan( 3 )aω ϕ ω+ + tan( 3 )aω ϕ ω+ −11
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由图象可知 C 正确．
2．【答案】A
【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知 A 正确．
3．【答案】C
【解析】正切型函数的周期即指最小正周期， ．
4．【答案】D
【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对
于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
， ，又
所以 ，故 D 成立．
5．【答案】C
【解析】直线 y=3 与 y=tanωx 图象的相邻交点的距离为 y=tanωx 的最小正周期，∵ ，故选
C．
6．【答案】A
【解析】对于函数 ，令 ，求得 ，k∈Z，
故函数的图象的对称中心为 ，k∈Z，
故选：A．
7．【答案】C
【解析】∵ ，不妨取 ，于是 ， ， ，
．
又∵ ，从而 ．
∴d＜a＜c＜b．
8．【答案】D
【解析】先作出 的图象，再将 x 轴下方的图象对称对 x 轴上方，即可得
到 的 图 象 ， 如 图 ． 由 图 可 知 ， 的 单 调 递 增 区 间 是
| |T a
π=
13tan( 3 ) tan( )4 4
ππ π− + = −
17 17 2tan( ) tan( 3 ) tan( )5 5 5
π π ππ− = − + = − 2
4 5
π π− > −
2tan( ) tan( )4 5
π π− > −
d T
π
ω= =
tan(2 )4y x
π= − 2 4 2
kx
π π− = 2 1
8
kx π+=
2 1( ,0)8
k π+
0 4x
π< <
6x
π=
3
3 03a
= >
1
23 03b
= >
3
23 03c
= >
3
3log 02d = <
30 13
< <
3 13 2 23 3 30 3 3 3
< < 3tan 3
α > −
( , )2 2
π πα ∈ − ( , )6 2
π πα ∈ −
3tan 3
α > − ( , )6 2k k
π ππ π− + +
3tan 03
α + > ( , )6 2k k
π ππ π− + +
( , )6 2k k
π ππ π− + +
2
2( ) (tan 1) 1f x x
= + + ( )f x
siny x=
( )2
kx k z
π= ∈ 0k = x
kϕ π= ( ) tan( ) tan( ) tanf x x x k xϕ π= + = + =
ϕ ( )f x ϕ ( )f x
ϕ ( )f x
ϕ π=
( ) sin tan 1f x a x b x= + + ( ) sin tan 1f x a x b x− = − − +
( ) ( ) 2f x f x+ − = 25 5f f
π π + − = 13
∴ ，
∴
．
14．【解析】假设存在实数 a，且 a∈Z，使得函数 在 上是单调递增的，
由余切函数的单调性可知：y=cot x 在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z 上都是减函数，
则 a＜0，由 ，
由 ，k∈Z，解得 ，
再由假设可得， ，
解得，当 k=0 时，－2≤a≤―2，则 a=―2．
所以存在实数 a 且 a=―2，使得函数 在 上单调递增．
15．【解析】∵ ，∴ ．
两式相加，得 ，即 ，
∴ ，
上式对定义域内任何实数 x 都成立，故 是周期 T=6 的周期函数．
∵ ，
∴ ．
．
∵ ，
∴ ．
2 55 5f f
π π − = − = −
99 20 sin 20 tan 20 15 5 5 5f f a b
π π ππ π π π = − = − + − +
sin tan 1 55 5 5a b f
π π π = − + − + = − = −
cot( )4y ax
π= + 5( , )8 8x
π π∈
cot( ) cot( )4 4y ax ax
π π= + = − − −
4k ax k
ππ π π< − − < +
5
4 4k k
xa a
π ππ π+ +
<
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