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1 简单的线性规划问题 【学习目标】 1. 了解线性规划的意义,了解线性规划的基本概念; 2. 掌握线性规划问题的图解法. 3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题,提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一:线性规划的有关概念: 线性约束条件: 如果两个变量 、 满足一组一次不等式组,则称不等式组是变量 、 的约束条件,这组约束条件 都是关于 、 的一次不等式,故又称线性约束条件. 线性目标函数: 关于 、 的一次式 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 、 的解析式,叫线性目标 函数. 线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 可行解、可行域和最优解: 在线性规划问题中, ①满足线性约束条件的解 叫可行解; ②由所有可行解组成的集合叫做可行域; ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 要点诠释:线性规划问题,就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二:线性规划的应用 1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的 限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系 多而杂,可以用列表等方法把关系理清. 2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何 使用其完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能用最少的人力、物力、资金等资源 来完成这项任务. 要点诠释:在生产和生活中,常用于下料问题;优化安排活动问题;优化运营问题等. 要点三:确定线性规划中的最优解 对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题,可以用图解法求解.其基本的解决步骤是: ① 设变量,建立线性约束条件及线性目标函数; ② 画出可行域; x y x y x y x y ( , )z f x y= x y ( , )x y2 ③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解); ④作答. 要点诠释: 确定最优解的思维过程: 线性目标函数 (A,B 不全为 0)中,当 时, ,这样线性目标函 数可看成斜率为 ,且随 变化的一组平行线,则把求 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域 有公共点,直线在 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线 ,再平行移动这条直 线,最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意,当 B>0 时, 的值随着直线在 y 轴上的截 距的增大而增大;当 B ,x y 1, 1, 2 2, x y x y x y + ≥  − ≥ −  − ≤ 2z ax y= + a 2 a− 2 a−6 【变式 2】已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为-1,则实数 m 等于 A.7 B.5 C.4 D.3 【答案】B 类型三:实际问题中的线性规划. 【高清课堂:一元二次不等式及其解法 392664 例 4】 例 3. 某企业生产 A、B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表: 产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) A 产品 3 9 4 B 产品 10 4 5 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限制,该企业仅 有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业生产 A、B 两种产品各多少吨, 才能获得最大利润? 【解析】设生产 A、B 两种产品各 x、y 吨,利润为 z 万元 则 ,目标函数 作出可行域,如图所示, 作出在一组平行直线 7x+12y=t(t 为参数)中经过可行域内的点和原点距离最远的直线, 此直线经过点 M(20,24) 故 z 的最优解为(20,24),z 的最大值为 7×20+12×24=428(万元). 【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么 实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 ,x y 1, 2 1, , y y x x y m ≥  ≤ −  + ≤ z x y= − 3 10 300 9 4 360 4 5 200 0, 0 x y x y x y x y + ≤  + ≤ + ≤ ≥ ≥ 7 12z x y= +7 举一反三: 【变式】家具公司制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把 椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有 8000 个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子、一 小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有 1300 个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别 是 15 元和 20 元,试根据以上条件,问怎样安排生产能获得最大利润? 【答案】设制作 x 把椅子,y 张桌子约束条件: , 目标函数:z=15x+20y. 如图:目标函数经过 A 点时,z 取得最大值 即 A(200, 900) ∴ 当 x=200, y=900 时,zmax=15×200+20×900=21000(元) 答:安排生产 200 把椅子,900 张桌子时,利润最大为 21000 元. 例 4.某厂生产甲、乙两种产品,生产甲种产品每件要消耗煤 9 吨,电力 4 千瓦,使用劳动力 3 个,获 利 7000 元:生产乙种产品每件要消耗煤 4 吨,电力 5 千瓦,使用劳动力 10 个,获利 12000 元.有一个生产 日,这个厂可动用的煤是 360 吨,电力是 200 千瓦,劳动力是 300 个,问应该如何安排甲、乙两种产品的 生产,才能使工厂在当日的获利最大,并问该厂当日的最大获利是多少? 【解析】设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件 约束条件: , 目标函数:z=7000x+12000y 如图:目标函数经过 A 点时,z 取得最大值      ∈∈ ≤+ ≤+ Ny,Nx 1300yx2 8000y8x4    =+ =+ 1300yx2 8000y8x4    = = ⇒ 900y 200x        ∈∈ ≤+ ≤+ ≤+ Ny,Nx 300y10x3 200y5x4 360y4x98 , 即 A(20,24) ∴ 当 x=20, y=24 时,zmax=7000×20+12000×24=428000(元). 答:安排甲产品 20 件,乙产品 24 件时,利润最大为 428000 元. 【点评】注意本例中变量的取值限制. 举一反三: 【变式 1】(2016 新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工 时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】 设生产产品 A、产品 B 分别为 、 件,利润之和为 元,那么由题意得约束条件 目标函数 . 约束条件等价于 ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示.    = = ⇒    =+ =+ 24y 20x 300y10x3 200y5x4 216000 x y z 1.5 0.5 150, 0.3 90, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +         2100 900z x y= + 3 300, 10 3 900, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +    3    9 将 变形,得 ,作直线: 并平移,当直线 经过 点 时, 取得最大值. 解方程组 ,得 的坐标为 . 所以当 , 时, . 故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【变式 2】某运输公司有 7 辆载重量为 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重量为 10 t 的 B 型卡车,9 名驾驶员, 在建筑某段高速公路中,此公司承担了每天至少搬运 360 t 沥青的任务,已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次,B 型卡车 6 次,每辆卡车每天往返的成本费为 A 型卡车 160 元,B 型卡车 252 元,每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆,才能使公司所花的成本费最低? 【答案】设派出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,所花成本费为 z=160x+252y,且 x、y 满足给条件如: ,即 如图所示,作出不等式表示的区域, 作直线 ,即 , 作直线 的平行线 : 当直线 经过可行域内 A 点时, 纵截距最小, 2100 900z x y= + 7 3 900 zy x= − + 7 3y x= − 7 3 900 zy x= − + M z 10 3 900 5 3 600 x y x y + =  + = M (60,100) 60x = 100y = max 2100 60 900 100 216000z = × + × = 216000 9 6 8 10 6 360 0 7 0 4 x y x y x x N y y N + ≤  ⋅ + ⋅ ≥ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ 且 且 9 4 5 30 0 7 0 4 x y x y x x N y y N + ≤  + ≥ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ 且 且 :160 252 0l x y+ = 40 63y x= − l 'l 40 63y x b= − + 'l 'l10 可得 A 点坐标为 . ∵z=160x+252y,∴ ,式中 代表该直线的纵截距 b, 而直线 的纵截距 b 取最小值时,z 也取得最小值, 即 过 时, , 但此时 , ∴z=1220.8 到不到,即它不是可行解,调整 x、y 的值, 当 x=5,y=2 时,点 在直线 4x+5y=30 上,且在可行域内符合 x、y 要求. ∴派 5 辆 A 型车,2 辆 B 型车时,成本费用最低, 即 zmin=160×5+2×252=1304(元) 【巩固练习】 一、选择题 1.若 ∈R,且 ,则 的最小值等于(  ) A.2        B.3 C.5 D.9 2.(2016 浙江文)若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直 线间的距离的最小值是( ) A. B. C. D. 3.x、y 满足约束条件 ,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为(  )   A. 或-1 B.2 或 C.2 或 1 D.2 或-1 4. 若 x,y 满足 且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为(  ) A. 2 B.-2 C. D. 5. 如图,目标函数 的可行域为四边形 OACB(含边 界),若 是该目标函数 的最优解,则 的取值范 3 0, 2 3 0, 2 3 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 3 5 5 2 3 2 2 5 2(7, )5 40 63 252 zy x= − + 252 z 'l 'l 2(7, )5A min 2160 252 160 7 252 1220.85z x y= + = × + × = 2 5y N= ∉ '(5,2)A x y, 1 2 3 0 x x y y x ≥  − + ≥  ≥ +2z x y=    ≥+− ≤−− ≤−+ 022 022 02 yx yx yx 2 1 2 1    ≥ ≥+− ≥−+ 0 02 02 y ykx yx 2 1 2 1− z ax y= − 2 4( , )3 5C z ax y= − a y x C 2 4( , )3 5 B O A11 围是( ) A. B . C. D. 6. 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据在下表 中,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为(  ) 体积(m2/箱) 质量(50kg/箱) 利润(102/箱) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运能力 24 13 A.4,1 B.3,2 C.1,4 D.2,4 二、填空题 7.已知变量 满足条件 ,设 ,取点(3,2)可求 ,取点(5,2)可求 ,去点(0,0)可求得 ,取点(3,2)叫做 ,取点(0,0)叫做 ;点(5, 2)和点(1,1)均叫做 . 8.(2016 新课标Ⅲ)若 满足约束条件 则 的最大值为_____________. 9. 在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型 车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可 装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 . 10. 线性目标函数 ,在线性约束条件 下取得最大值时的最优解只有一个,则实 数 的取值范围 . 11.若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最小值为   . ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ z x y= + 10 5( , )3 12 − − 12 3( , )5 10 − − 3 12( , )10 5 12 3( , )5 10 − x y, 4 3, 3 5 25, 1, x y x y x − ≤ −  + ≤  ≥ 2z x y= + 8z = max 3z = 0z = z x y= + 3 0, 2 0, . x y x y y a + − ≤  − ≤  ≤ a    ≥ ≤−+ ≤+− 0 082 01 x yx yx12 三、解答题 12.已知 是以点 (4,1), (-1,-6), (-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内 部).如图所示. (1)写出表示区域 的不等式组; (2)设点 , 两点在直线 的异侧,求 的取值范围. 13. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 原料 3 吨, 原料 2 吨;生产每吨乙产 品要用 原料 1 吨, 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企 业在一个生产周期内消耗 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润. 14.某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元 组成;进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合投资每年 可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万 元,房地产投资不超过 180 万元,那么这两种组合投资应注入多少份,才能使一年获利总额最多? 15.设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 8,求 的最小值. D A B C D B C 4 3 0x y a =- - a A B A B A B x y, 2 2 0 8 4 0 0, 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  ≥ ≥ = ( 0 0)z abx y a b> >+ , +a b13 【答案与解析】 1.【答案】 B 【解析】 作出可行域如图所示,目标函数 ,则过 B(1,1)时 z 取最小值 zmin=3 2. 【答案】B 【解析】 画出不等式组的平面区域如题所示,由 得 ,由 得 ,由题意可知,当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时,两直线的距离最小,即 ,故选 B 3.【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC). 1 1 2 2y x z= − + 2 3 0 3 0 x y x y − + =  + − = (1,2)A 2 3 0 3 0 x y x y − − =  + − = (2,1)B 2 2(1 2) (2 1) 2AB = − + − =14 由 z=y-ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x-y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y-2=0,平行,此时 a=-1, 综上 a=-1 或 a=2, 故选:D。 4.【答案】D 【解析】由约束条件 作出可行域如图, 由 kx-y+2=0,得 , ∴ . 由 z=y-x 得 y=x+z. 由图可知,当直线 y=x+z 过 时直线在 y 轴上的截距最小,即 z 最小.    ≥ ≥+− ≥−+ 0 02 02 y ykx yx kx 2−=     − 0,2B k     − 0,2B k15 此时 ,解得: . 故选:D. 5.【答案】B 【解析】∵C 点是目标函数的最优解,∴ ,解得 6.【答案】A 【解析】设托运货物甲 x 箱,托运货物乙 y 箱,由题意,得 利润为 由线性规划知识解得 时利润最大. 7.【答案】可行解;非可行解;最优解 8.【答案】 【解析】作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数 经过点 时 取得最大值,即 。 9. 【答案】2200 【解析】设需使用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,运输费用 z 元,根据题意,得线性约束条件 ,求线性目标函数 z=400x+300y 的最小值. 解得当 时,zmin=2 200. 420min −=+= kz 2 1−=k AC BCk a k< < 12 3 5 10a− < < − 5 4 24, 2 5 13, , x y x y x y N + ≤  + 0,b>0)过直线 2x-y+2=0 与直线 8x-y-4=0 的交点(1,4)时,目标函数 z=abx +y(a>0,b>0)取得最大值 8,即 8=ab+4,ab=4, ∴ .       ≤+ ≤+ > > 1832 133 0 0 yx yx y x yxz 35 += x y x y z ( 1.5 )z x y= + 20 40 160 30 30 180 0, 0 x y x y x y + ≤  + ≤  ≥ ≥ 2 8 6 0, 0 x y x y x y + ≤  + ≤  ≥ ≥ 2 8 6 x y x y + =  + = (4,2)M 1.5 0x y+ = l l z max (4 3) 10z = + × 2 4a b ab+ ≥ = (3,4)(0,6) O ( 3 13 ,0) y x9 1318 查看更多

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