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资料简介
1
二元一次不等式（组）与平面区域
【学习目标】
1. 了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.
2. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
3. 理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域.
【要点梳理】
要点一：二元一次不等式（组）的定义
1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式.
2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 和 的取值构成有序实数对 ，
所有这样的有序实数对 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.
要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数.
要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以
看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
二元一次不等式所表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，直线 将平面分成两部分，平面内的点分为三类：
①直线 上的点（x，y）的坐标满足： ；
②直线 一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足： ；
③直线 另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足： .
即二元一次不等式 或 在平面直角坐标系中表示直线
的某一侧所有点组成的平面区域，直线 叫做这两个区域的边界，（虚线
表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.
要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定
二元一次不等式表示的平面区域
由于对在直线 同一侧的所有点 ，把它的坐标 代入 ，所得到
实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ，从 的正负即可判断
表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点）
x y ( , )x y
( , )x y
: 0l Ax By C+ + =
l 0=++ CByAx
l 0>++ CByAx
l 0Ax By C+ + <
0Ax By C+ + > 0Ax By C+ + <
0Ax By C+ + = 0Ax By C+ + =
0Ax By C+ + = ( , )x y ( , )x y Ax By C+ +
0 0( , )x y 0 0Ax By C+ +
0Ax By C+ + > 0C ≠2
以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.
不等式组所表示的平面区域
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
1. 判断二元一次不等式 Ax+By+c>0(或0(或 ≥ 0( 0)Ax By C+ + < ≤
: 0l Ax By C+ + =
0≠C 0C =
2 4 0x y+ − >
2 4 0x y+ − =
(0,0) 2 4x y+ − 2 0 0 4 4 0× + − = − <
2 4 0x y+ − >
2 4 0x y+ − >
0≠C
4 3 12x y+ ≤ 1≥x3
（1） （2）
类型二：二元一次不等组表示的平面区域
例 2. 用平面区域表示不等式组
【思路点拨】
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区
域的公共部分。
【解析】不等式 －y+5≥0 表示直线 －y+5＝0 上及右下方的点的集合， +y≥0 表示直线 x+y＝0
上及右上方的点的集合，x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角
形区域：
【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所
表示的平面区域的公共部分.
举一反三：
【变式 1】用平面区域表示不等式组 .
【解析】不等式 表示直线 右下方的区域，
表示直线 右上方的区域，
取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.
x x x
≤
≥+
≥+−
3
0
05
x
yx
yx
3 12
2
y x
x y
≤ − +
≤
3 12y x≤ − + 3 12y x= − +
2x y≤ 2x y=4
【变式 2】画出下列不等式组表示的平面区域.
（1） ； （2） ； （3） .
【答案】
（1） （2） （3）
【变式 3】由直线 ， 和 围成的三角形区域（如图）用不等式组可
表示为 .
【答案】
例 3. 画出下列不等式表示的平面区域
(1) ； (2)
【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.
【解析】
3
2
3 2 6
2 6
x
y x
x y
y x
−
− −
− ≤
− ≥
0
0
2 0
y
x y
x y
≤
+ ≤
+ ≥
( 1)( 4 0x y x y+ − − + ≥）
1y x≥ + x y≥ x y≥6
【变式 3】（2015 开封模拟）设不等式 ，表示的平面区域为 D，若指数函数 y=ax 的图
象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是________。
【答案】作出区域 D 的图象，联系指数函数 y=ax 的图象，能够看出，
当图象经过区域的边界点 C（2，9）时，a 可以取到最大值 3，而显然只要 a 大于 1，图象必然经过区
域内的点。
则 a 的取值范围是 1＜a≤3。
故答案为：1＜a≤3。
类型三：求平面区域的面积
【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域 392663 例题 1】
例 4：求不等式组 表示的平面区域的面积.
【解析】
【法 1】（特殊三角形）
显然 为等腰直角三角形， ， ，
易得 B 点坐标为 ，C 点坐标为 ，则
11 0
3 3 0
5 3 9 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− + ≥
− + ≤
≤
≥+
≥+−
3
0
06
x
yx
yx
ABC∆ °=∠ 90A ACAB =
)3,3( − )9,3( 12|| =BC7
∴ .
【法 2】（面积公式）
易得 A 点坐标为 ，B 点坐标为 ，C 点坐标为 ，
则
由点到直线的距离公式得高
∴ .
【法 3】（向量法）
易得 A 点坐标为 ，B 点坐标为 ，C 点坐标为 ，
则 ，
∴ .
故不等式组 表示的平面区域的面积等于 36.
【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区
域的应用，注意图形的分解转化
举一反三：
【变式 1】若 A 为不等式组 表示的平面区域，则当 a 从-2 连续变化到 1 时，动直线
扫过 A 中的那部分区域的面积为
【答案】
【变式 2】（2015 衡阳二模）如果不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则
该三角形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】
有两种情形：
（1）直角由 y＝2x 与 kx-y+1＝0 形成（如图），则
366122
1 =××=∆ABCS
)3,3-( )3,3( − )9,3(
26)39()33(|| 22 =−++=AC
26
2
|6)3(3| =+−−=ACh
3626262
1 =××=∆ABCS
)3,3-( )3,3( − )9,3(
)6,6(=AC )6,6( −=AB
3666)6(62
1 =×−−××=∆ABCS
≤
≥+
≥+−
3
0
06
x
yx
yx
0,
0,
2
x
y
y x
≤
≥
− ≤
x y a+ =
7
4
0
2
1 0
x
y x
kx y
≥
≥
− + ≥
1 1
2 5
或 1 1
2 3
或 1 1
5 4
或 1 1
4 2
或8
∵ 2×k＝-1，
∴ 与 的交点坐标为 ，
三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)， ，
∴ 该三角形的面积为 ；
（2）直角由 x＝0 与 kx-y+1＝0 形成（如图），则 k＝0，
∴ 由 x＝0 与-y+1＝0 交于点
三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)， ，
∴ 该三角形的面积为 ．
综上所述，三角形的面积为 或
故选 C．
【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域 392663 例题 3】
【变式 3】若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，
则 值是( )
A、 B、 C、 D、
1 22k y x= − =， 1 1 02 x y− − + = 2 4( )5 5
，
2 4( )5 5
，
1 2 112 5 5S = × × =
1( 1)2
，
1( 1)2
，
1 1 112 2 4S = × × =
1
5
1
4
≤+
≥+
≥
43
43
0
yx
yx
x
3
4+= kxy
k
7
3
3
7
4
3
3
49
【答案】A.
【解析】不等式组表示的平面区域是 及其内部（如图），其顶点分别为 、 、
∵直线 必过定点 ，
∴只有直线过 的中点 时，直线 才能平分平面区域
则 ，即 .故选 A.
例 5．(2015 重庆)若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m
的值为( )．
A．-3 B．1 C． D．3
【答案】B
【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求
解即可．
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图：
ABC∆ )1,1(A )4,0(B
)3
4,0(C
3
4+= kxy )3
4,0(C
AB )2
5,2
1(M 3
4+= kxy
3
4
22
5 += k
3
7=k
2 0
2 2 0
2 0
x y
x y
x y m
+ − ≤
+ − ≥
− + ≥
4
3
4
310
若表示的平面区域为三角形，
由 ，得 ，即 A(2，0)，
则 A(2，0)在直线 x-y+2m＝0 的下方，
即 2+2m＞0，
则 m＞-1，
则 A(2，0)，D(-2m，0)，
由 ，解得 ，即 B(1-m，1+m)，
由 ，解得 ，即 ．
则三角形 ABC 的面积
即 ，
即
解得 m＝1 或 m＝-3（舍），
故选 B：
【总结升华】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解
2 0
2 2 0
x y
x y
+ − =
+ − =
2
0
x
y
=
=
2 0
2 0
x y m
x y
− + =
+ − =
1
1
x m
y m
= −
= +
2 0
2 2 0
x y m
x y
− + =
+ − =
2 4
3
2 2
3
mx
my
− = + =
2 4 2 2( )3 3
m mC
− +，
1 | || |2ABC ADB ADC B CS S S AD y y= − = −△ △ △
1 2 2(2 2 )(1 )2 3
2 2 4(1 )(1 )3 3
mm m
mm m
+= + + −
+= + + − = ，
1 4(1 ) 3 3
mm
++ × =
2(1 ) 4m+ =11
决本题的关键。
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于
2，则 a 的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
【答案】 D
类型四：实际应用问题
例 6. 某运输公司有 7 辆重量为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重量为 10t 的 B 型卡车，有 9 名驾驶员，在建
筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运 360t 沥青的任务，已知每辆卡车往返的次数为 A 型卡车 8
次，B 型卡车 6 次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。
【解析】 设每天出动 A 型车 辆，B 型车 辆，则
即
【总结升华】用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起
关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，
在画出表示的区域.
举一反三：
【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域 392663 例题 4】
【变式 1】某人准备投资 1 200 万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数
据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以 20～30 个班为宜，老师实行聘任
制).
学
段
班级学
生数
配备教
师数
硬件建
设
教师
年薪
初
中 45 2
26 万元
/班
2 万元
/人
1 0,
1 0,
1 0
x y
x
ax y
+ − ≥
− ≤
− + ≥
x y
7
4,
9,
6 8 10 6 360,
0,
0.
x
y
x y
x y
x
y
≤
≤
+ ≤ × + × ≥
≥ ≥
0 7,
0 4,
9,
4 5 30
x
y
x y
x y
≤ ≤
≤ ≤ + ≤
+ ≥
y
x
o12
高
中 40 3
54 万元
/班
2 万元
/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．
【答案】 设开设初中班 x 个，高中班 y 个．根据题意，总共招生班数应限制在 20～30 之间，所以有
20≤x＋y≤30.
考虑到所投资金的限制，得到 26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即 x＋2y≤40.
另外，开设的班数不能为负且为整数，即 ， .
把上面四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．
【变式 2】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲 2 3 5
乙 8 5 2
该厂有工人 200 人，每天只能保证 160/kW·h 的用电额度，每天用煤不得超过 150t，试写出每天甲、
乙两种产品允许的产量范围.
【答案】设每天生产甲、乙两种产品为别为 xt 和 yt，有
【巩固练习】
一、选择题
1．满足不等式 y2－x2≥0 的点(x，y)的集合(用阴影表示)是( )
x N∈ y N∈
20 30,
2 40,
,
.
x y
x y
x N
y N
≤ + ≤
+ ≤ ∈
∈
2 8 160,
3 5 150,
5 2 200,
0,
0,
x y
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ + ≤
≥
≥13
2．（2016 黄浦区一模）已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点，若点 P 与原点均在直线 x―y+2=0 的同侧，
则 k，b 满足的条件分别为（ ）
A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2
3．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )
A. B.
C．x2－y2≤0 D．x2－y2≥0
4.（2015 桐城市一模）若不等式组 表示的平面区域经过所有四个象限，则实数 λ
的取值范围是( )
A．(-∞，4) B．[1，2] C．(1，4) D．(1，+∞)
5.（2015 宝鸡二模）在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 ，所表示平面区域的外接圆面
积等于( )
A．8π B．π C．4π D．2π
6. （2015 浙江模拟）已知函数 的图象经过区域 ，则 a 的取值
范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题
7. 不等式 表示的平面区域包含点 和点 ，则实数 的范围是 .
8.在平面直角坐标系中，不等式组 ,表示的平面区域的面积是 .
9.（2016 浙江理改编） 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投
0
0
x y
x y
+ ≥
− ≥
0
0
x y
x y
+ ≤
− ≥
1
3
2 1 0
x
y
x y λ
≤
≤
− + − ≥
4
0
x y
y x
x
+ ≤
≥
≥
( ) log ( 1)af x x a= >
6 0
2 0
3 6 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− − ≤
− − ≥
(1 3 3]， (3 3 2]， (3 3 ]+ ∞， (2 )+ ∞，
| 2 | 3x y m− + < (0,0) ( 1,1)− m
2 0
2 0
0
x y
x y
y
+ − ≤
− + ≥
≥14
影．由区域 中的点在直线 x+y 2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则│AB│= .
10. 已知 则 的最小值是 .
三、解答题
11.画出以下不等式组表示的平面区域：
12. △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，求△ABC 内任意一点(x，y)所满足的条件.
13．已知 D 是以点 A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内
部）。如图所示。
（1）写出表示区域 D 的不等式组；
（2）设点 B（－1，－6），C（－3，2）在直线 4x－3y－a=0 的异侧，求 a
的取值范围。
14.某人准备投资 1 200 万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以
班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以 20～30 个班为宜，老师实行聘任制).
学
段
班级学
生数
配备教
师数
硬件建
设
教师
年薪
初
中 45 2
26 万元
/班
2 万元
/人
高
中 40 3
54 万元
/班
2 万元
/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．
15．画出不等式组 表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出 x、y 的取值范围．
(2)平面区域内有多少个整点？
2 0
0
3 4 0
x
x y
x y
− ≤
+ ≥
− + ≥
−
1,
1 0,
2 2 0
x
x y
x y
≥
− + ≤
− − ≤
2 2x y+
1 0
0
2
x y
x y
x
+ − ≥
− ≥
≤
①
②
③
5 0
0
3
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤15
【答案与解析】
1．【答案】 B
【解析】 取测试点(0,1)可知 C，D 错；再取测试点(0，－1)可知 A 错，故选 B.
2．【答案】 A
【解析】∵P 为直线 y=kx+b 上一动点，
∴设 P（x，kx+b），
∵点 P 与原点均在直线 x―y+2=0 的同侧，
∴(x―kx―b+2)(0―0+2)＞0，
即 2[(1―k)x+2―b]＞0 恒成立，
即(1―k)x+2―b＞0 恒成立，
则 1―k=0，此时 2―b＞0，
得 k=1 且 b＜2，
故选 A。
3．【答案】 D
【解析】 在阴影部分内取测试点(－1,0)，x－y＝－1＜0，x＋y＝－1＜0，排除 A、B、C；故选 D.
其实 x2－y2≥0⇔ 或者 .
4．【答案】 D
【解析】
由约束条件 作出可行域如图，
则 λ-1＞0，即 λ＞1．
∴ 实数 λ 的取值范围是(1，+∞)．
故选：D．
5．【答案】C
【解析】
根据题意可知不等式组表示的平面区域为直角△OAB，
0
0
x y
x y
+ ≥
− ≥
0
0
x y
x y
+ ≤
− ≤
1
3
2 1 0
x
y
x y λ
≤
≤
− + − ≥16
其中 OA 为直径，
A(0，4)，
则直径 2r＝4，
则圆的半径为 r＝2，
则外接圆面积 ．
故选：C
6. 【答案】C
【解析】作出区域 D 的图象，图中阴影部分．
联系函数 的图象，能够看出，
当图象经过区域的边界点 A(3，3)时，a 可以取到最小值： ，
而显然只要 a 大于 ，
函数 的图象必然经过区域内的点．
22 4S π π= × =
( ) log ( 1)af x x a= >
3 3
3 3
( ) log ( 1)af x x a= >17
则 a 的取值范围是
故选 C．
7. 【答案】
【解析】将点（0，0）和点（-1，1）代入不等式中解得
8.【答案】4
【解析】不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示，
则三角形的面积是 .
9.【答案】3
【解析】如图 为线性区域，区域内的点在直线 上的投影构成了线段 ，即 ，
而 ，由 得 ，由 得 ，
．
10.【答案】5
【解析】画出 所表示的平面区域，由 解得，
A（1，2），而 表示阴影部分的点到原点的距离的平方，可求 A 到原点的距离为 .
∴ 的最小值为 5.
11.【解析】如图所示．不等式①表示直线 x＋y－1＝0 的右上方(包括直线)的平面区域；
(3 3 ]+ ∞，
0 3m< <
0 3m< <
1 4 2 42
× × =
2
∆PQR 2 0x y+ − = ′ ′R Q AB
′ ′ =R Q PQ 3 4 0
0
− + =
+ =
x y
x y ( 1,1)−Q 2
0
=
+ =
x
x y (2, 2)−R
2 2( 1 2) (1 2) 3 2= = − − + + =AB QR
1,
1 0,
2 2 0
x
x y
x y
≥
− + ≤
− − ≤
1 0
1
x y
x
− + =
=
2 2x y+ 5
2 2x y+18
不等式②表示直线 x－y＝0 右下方(包括直线)的平面区域；
不等式③表示直线 x＝2 左方(包括直线)的平面区域．
所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．
12. 【答案】
【解析】 分别求三边的直线方程，易得 y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确
定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式为：
y＞0,2x－y＋4＞0,2x＋y－4＜0.
13．【解析】
（1）直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0
原点（0，0）在区域 D 内，表示区域 D 的不等式组：
（2）将 B、C 的坐标代入 4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0，
得 a 的取值范围是－18＜a＜14.
14.【解析】 设开设初中班 x 个，高中班 y 个．根据题意，总共招生班数应限制在 20～30 之间，所
以有 20≤x＋y≤30.
考虑到所投资金的限制，得到 26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即 x＋2y≤40.
另外，开设的班数不能为负，则 x≥0，y≥0.
把上面四个不等式合在一起，得到：
。
用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．
15.【解析】 不等式 x－y＋5≥0 表示直线 x－y＋5＝0 上及右下方的平面区域，x＋y≥0 表示直线 x＋y
＝0 上及右上方的平面区域，x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴
0
2 4 0
2 4 0
y
x y
x y
>
− + >
+ −
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