资料简介
1
余弦定理
【学习目标】
1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；
2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；
3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.
【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识
1. 中
（1）一般约定： 中角 A、B、C 所对的边分别为 、 、 ；
（2） ；
（3）大边对大角，大角对大边，即 ；
等边对等角，等角对等边，即 ；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 ， .
2. 中， ，
（1） ，
（2）
（3） ， ， ；
， ，
要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据
要点二：余弦定理及其证明
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即：
余弦定理的推导
已知： 中， ， 及角 ，求角 的对应边 .
证明：
方法一：向量法
（1）锐角 中（如图），
∵ ，
∴
ABC∆
ABC∆ a b c
0180A B C+ + =
B C b c> ⇔ >
B C b c= ⇔ =
a c b+ > a c b− <
Rt ABC∆ 090C∠ =
090B A+ =
2 2 2a b c+ =
sin aA c
= sin bB c
= sin 1C =
cos bA c
= cos aB c
= cos 0C =
ABC∆ BC a= AC b= C C c
ABC∆
AC CB AB+ =
( )( )AB AB AC CB AC CB⋅ = + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a = b + c - 2bc A
b = a + c - 2ac B
c = a + b - 2ab C
cos
cos
cos2
即： (*)
同理可得： ，
要点诠释：
（1）推导（*）中， 与 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此 与 的夹
角应为 ，而不是 .
（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同.
（3）对于直角三角形中 时， ， ，也满足余弦定理.
方法二：几何法
（1）当 为锐角三角形时
如图，作 边上的高
根据勾股定理有： ， ，
∵ 中， ，
∴
=
即： .
（2）当 为钝角三角形且 C 为钝角时
如图，作 边上的高
根据勾股定理有： ， .
∵ 中， ，
∴
即： 仍然成立.
（3）在直角 中，当 时， ， ，也满足余弦定理.
方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式
2 2
2AC CB AC CB= + ⋅ +
2 2| | 2 | | | | cos( ) | |AC CB AC C CB= + ⋅ − + π
2 22 cosb ba C a= − +
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
AC CB AC CB
C−π C
2C = π
cos 0C = 2 2 2c a b= +
ABC∆
BC AD
2 2 2AC AD CD= + 2 2 2AB AD BD= +
Rt ADC∆ cosCD AC C= ⋅
2 2 2 2 2 2 2( ) ( cos ) ( )AB AC CD BD AC AC C CB CD= − + = − ⋅ + −
2 2 2 2cos ( cos )b b C a b C= − + −
2 2 2 cosb a ab C+ −
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
ABC∆
BC AD
2 2 2AC AD CD= + 2 2 2AB AD BD= +
Rt ADC∆ cos( ) cosCD AC C AC C= ⋅ − = − ⋅π
2 2 2 2 2 2 2( ) ( cos ) ( )AB AC CD BD AC AC C CB CD= − + = − − ⋅ + +
2 2 2 2cos ( cos )b b C a b C= − + −
2 2 2 cosb a ab C= + −
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
ABC∆
2C = π
cos 0C = 2 2 2c a b= +3
这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同.
如图所示建立坐标系.
则点 ， ，
由 、 两点间的距离可知，
即
整理得到 .
余弦定理的变形公式：
要点三：利用余弦定理解三角形
1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角.
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
2.解斜三角形的基本问题：
已知条件 解法 解的情况
一边和两角
（例如 )
1．利用 ，求
2．应用正弦定理求
唯一解
两边和夹角
（例如 ）
1．应用余弦定理求边 ；
2．应用正弦定理求 中较短的边所对的角（该角一定是锐角）；
3．利用 ，求第三个角.
唯一解
三边
（例如 )
法一：1、应用余弦定理先求任意两个角；
2．用 ，求第三个角.
法二：1、应用余弦定理求 中最长边所对的角；
2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐
角）；
3、利用 ，求第三个角.
唯一解
两边及其中一边的
对角
此类问题首先要讨论解的情况：
1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角 B）；
两解、一解或
无解
(0,0)A ( ,0)B c ( cos , sin )C b A b A
B C 2 2| | ( cos ) ( sin 0)BC b A c b A= − + −
2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
a B C， ，
180A B C+ + = ° A
b c，
a b C， ，
c
a b，
180A B C+ + = °
a b c， ，
180A B C+ + = °
a b c， ，
180A B C+ + = °
2 2 2 2 2 2 2 2 2b + c a a + c b a + b cA = , B = , C =2bc 2ac 2abcos cos cos4
（例如 ) 2、利用 ，求第三个角；
3、应用正弦或余弦定理求第三边.
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对解的
讨论，从而舍掉不合理的解.比如下面例 2 两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论.此外，有的时
候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
4、判断三角形形状
余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的
变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转
化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.
判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；
其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定
理.
【典型例题】
类型一：余弦定理的简单应用
例 1．（2016 凉山州模拟改编）在 中，角 所对的三边长分别为 ，若
，求 中最大的角．
【思路点拨】已知三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理。
【解析】设 ， ， ， ，边 c 对应的角最大
根据余弦定理得： ，
∵ ，
【总结升华】
1. 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式 1】已知 中 ， ， ， 求角 .
【答案】根据余弦定理： ，
∵ ， ∴
【变式 2】已知 中， 、 、 ，求 中的最大角.
【答案】∵三边中 最大，∴ 其所对角 最大，
a b A， ， 180A B C+ + = °
ABC∆ , ,A B C , ,a b c : :a b c =
1: 2: 7 ABC∆
a k= 2b k= 7c k= ( )0k >
2 2 24 7 1cosC 2 2 2
k k k
k k
+ −= = −× ×
0 180C<
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