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资料简介
1
《数列》全章复习与巩固
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前 项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式 与前 项和公式 的关系，能通过前 项和公式 求出数列的通项公式
；
4．掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】
【要点梳理】
n
na n nS n nS
na
数列的通项 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥
当 时
当 时
通项公式
等差中项
前 n 项和公式
等差数列 性质
通项公式
等比中项
前 n 项和公式
等比数列 性质
数列
数列前 n 项和
数列的递推公式
应
用2
知识点一：等差数列
1.判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法： （常数） 是等差数列；
②中项公式法： 是等差数列；
③通项公式法： （p，q 为常数） 是等差数列；
④前 项和公式法： （ 为常数） 是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
2.等差数列的通项公式及前 项和
通项公式：
要点诠释：
①该公式可改写为：
当 ＝0 时， 是关于 的常函数；当 d≠0 时， 是关于 的一次函数；点( )分布在以 为斜
率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
②通项公式的推广：
前 n 项和公式：
要点诠释：
①该公式可改写为：
当 ＝0 时， 是关于 的正比例函数；当 d≠0 时， 是关于 的二次函数（无常数项）．
②在应用 时，注意相关性质的应用。
3.等差数列有关性质
（1）若 ，则 ；
特别地，若 ，则 ；
（2）若 成等差数列，则 ；
1n na a d+ − = ⇔ { }na
1 22 ( *) { }n n n na a a n N a+ += + ∈ ⇔
na pn q= + ⇔ { }na
n 2
nS An Bn= + ,A B ⇔ { }na
n
( )1= + 1na a n d
1= +na d n a d⋅
d na n na n n na d
( )+n ma a n m d= －
( ) ( )1
1
1 += + =2 2
n
n
n n n a aS na d
2
1= +2 2n
d dS n a n
d nS n nS n
( )1 += 2
n
n
n a aS
*( )m n p q m n p q+ = + ∈N、 、 、 m n p qa a a a+ = +
2m n p+ = 2m n pa a a+ =
a b c， ， + =2a c b3
（3）公差为 的等差数列中，连续 项和 ，… 组成新的等差数列；
（4）等差数列 ，前 项和为 ：
①当 为奇数时， ； ； ；
②当 为偶数时， ； ； .
（5）等差数列 ，前 项和为 ，则 （ ）；
（6）等差数列 中，若 ，则 ；
（7）等差数列 中，公差 ，依次每 项和： ， ， 成等差数列，新公差
.
3.等差数列前 项和 的最值问题：
等差数列 中
① 若 ＞0， ＜0， 有最大值，可由不等式组 来确定 ；
② 若 ＜0， ＞0， 有最小值，可由不等式组 来确定 ，也可由前 项和公式
来确定 .
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
知识点二：等比数列
1.判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法： （ 是不为 0 的常数， ∈N*） 是等比数列；
d k 2 3 2, ,k k k k kS S S S S− −
{ }na n nS
n 1
2
n nS n a += ⋅ 1
2
nS S a +− =奇 偶
1
1
S n
S n
+= −
奇
偶
n
12 2
2
n n
n
a a
S n
+
+
= ⋅
1
2S S dn− =偶 奇
2
12
n
n
aS
S a +
=奇
偶
{ }na n nS m n m nS S S
m n m n
+− =− + *m n m n∈ ≠N、 ，且
{ }na *m n p q m n p q m n p q+ = + ∈ ≠ ≠N（ 、 、 、 ，且 ， ） p qm n S SS S
m n p q
−− =− −
{ }na d k kS 2k kS S− 3 2k kS S−
2'd k d=
n nS
{ }na
1a d nS
1
0
0
n
n
a
a +
≥
≤
n
1a d nS
1
0
0
n
n
a
a +
≤
≥
n n
2
1( )2 2n
d dS n a n= + − n
1n
n
a qa
+ = q n { }na⇔4
（2）通项公式法： （c、q 均是不为 0 的常数 ∈N*） 是等比数列；
（3）中项公式法： （ ， ） 是等比数列.
2.等比数列的通项公式及前 项和
通项公式：
要点诠释：
① 该公式可改写为：
时，是关于 的指数型函数； 时，是常数函数；
② 推广： .
前 项和公式：
要点诠释：
①在求等比数列前 项和时，要注意区分 和
②当 时，等比数列的两个求和公式，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知其中任意三个
量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
3.等比数列的主要性质：
（1）若 ，则 ；
特别，若 ，则 ；
（2）等比数列 中，若 成等差数列，则 成等比数列；
（3）公比为 的等比数列中，连续 项和 ，… 组成新的等比数列；
n
na cq= n { }na⇔
2
1 2n n na a a+ += ⋅ 1 2 0n n na a a+ +⋅ ⋅ ≠ *n N∈ { }na⇔
n
1
1 1( * 0)n
na a q n a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠N ，
1 n
n
aa qq
= ⋅
0 1q q> ≠且 n 1q =
n m
n ma a q −= ⋅
n
1
11
( 1)
(1 ) ( 1)1 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
=
= −− = ≠ − −
n 1q = 1q ≠
1q ≠ 1a n q na nS
*( )m n p q m n p q+ = + ∈N、 、 、 m n p qa a a a⋅ = ⋅
2m n p+ = 2
m n pa a a⋅ =
{ }na *m n p m n p N∈、 、（ 、 、 ） m n pa a a、 、
q k 2 3 2, ,k k k k kS S S S S− −5
（4）等比数列 ，前 项和为 ，当 为偶数时， ；
（5）等比数列 中，公比为 ，依次每 项和： ， ， …成公比为 qk 的等比数
列；
（6）若 为正项等比数列，则 （ ＞0 且 ≠1）为等差数列；反之，若 为等差数列，
则 （ ＞0 且 ≠1）为等比数列；
（7）等比数列 前 项积为 ，则 .
知识点三：常见的数列通项公式求法
1. 已知数列的前几项：
已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.
2. 已知等差数列或等比数列：
通过公式法求通项公式.
类型 通项公式
等差数列
等比数列
3. 已知数列的递推关系式：
①形如 ，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式；
②形如 ，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式.
③形如 ，构造公比为 的等比数列 ，利用公式法求解；
④形如 ，通过累加法（迭加法）求数列的通项；
⑤形如 ，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项.
{ }na n nS n S S q=偶 奇
{ }na q k kS 2k kS S− 3 2k kS S−
{ }na {log }a na a a { }na
{ }naa a a
{ }na n nV
( 1)
2
1 ( *)
n n
n
nV a q n
−
= ∈N
( )1= -1na a + n d
-1
1= n
na a q⋅
( )1 = + n na a d d+ ∈R
( )1 = 0n na q a q+ ≠
( )1 = + 0 1n na q a d d q q+ ⋅ ∈ ≠ ≠R且 ， q + -1n
da q
( )1 = + n na a f n+
( )1 =gn na n a+ ⋅6
⑥形如 ，两边取倒数，构造公差为 的等差数列 ，利用公式法求通项.
4.已知 ，求 ：
利用 与 的关系，即 ，可求得数列的通项公式.
5.已知 ，求 ：
利用作商法，即 求数列的通项公式.
知识点四：常见的数列求和方法
1.公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前 项和公式求和。
2.分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：
.
3.裂项法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分
母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若 ，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则 ，如 an=
4.错位相减法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式： , 其中 是公差 ≠0 等
差数列， 是公比 ≠1 等比数列，如 .
( )1 , 0n
n
n
paa = p qpa +q+ ≠ q
p
1
na
nS na
na nS 1
1
,( 1)
,( 2)n
n n
S na S S n−
== − ≥
，
1 2 n = ) a a a f(n na
(1),( 1)
( ) ,( 2).( 1)
n
f n
a f n nf n
=
= ≥ −
n
=2 +3 4n
na n
1
( )( )na An B An C
= + +
1 1 1 1( )( )( )na An B An C C B An B An C
= = −+ + − + +
1
( 1)n n +
1 1
1n n
= − +
n n na b c= ⋅ { }nb d
{ }nc q ( )= 2 1 3n
na n ⋅7
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
知识点五、通项 与前 项和 的关系：
任意数列 的前 项和 ；
要点诠释：
由前 项和 求数列通项时，要分三步进行：
（1）求 ，
（2）求出当 ≥2 时的 ，
（3）如果令 ≥2 时得出的 中的 =1 时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，
否则就只能写成分段的形式。
知识点六：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模
型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的基本步骤：
① 审题——认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：
明确问题属于哪类应用问题；
弄清题目中的主要已知事项；
1 1 2 2 1 1n n n n nS b c b c b c b c− −= + +…+ +
1 2 1 1n n n n nqS b c b c b c− += +……+ +
1 1 2 3 1(1 ) ( )n n n nq S b c c c c d b c +− = + + +…… −
na n nS
{ }na n 1 2n nS a a a= + + +
1
1
( 1)
( 2)n
n n
S n
a
S S n−
== − ≥
n nS
1 1a S=
n na
n na n 1 1a S=8
明确所求的结论是什么.
②建模——将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列
的结构和特征；
③求解——求出该问题的数学解；
④还原——将所求结果还原到实际问题中.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本
量.
【典型例题】
类型一：等差、等比数列概念及其性质
例 1.在 和 之间插入 个正数，使这 个数依次成等比数列，求所插入的 个数之积.
【思路点拨】本题中，将 看作已知量，运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学
生的推理论证能力与运算求解能力，综合性较强，同学们应认真分析。
【答案】
【解析】
方法一：设插入的 个数为 ，且公比为 ，则
∴ ， （ ）
方法二：设插入的 个数为 ， ，
， ，
【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量 、 ，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、
1
n 1n + n 2n + n
n
21( )
nn
n
+
n 1 2, , , nx x x q 111 nn qn
++ =
1 ( 1)nq n n+ = + 1 k
kx qn
= 1,2, ,k n=
( 1)
2 1 2 2 2
1 2
1 1 1 1 1 1( )
n n n
n n
n n n n
nT x x x q q q q qn n n nn n
+
+ + + += ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = =
n 1 2, , , nx x x 0 1
1 , 1nx x nn += = +
0 1 1 2 1
1
n n n
nx x x x x x n+ −
+⋅ = ⋅ = ⋅ = =
1 2n nT x x x= ⋅ ⋅ ⋅
2
1 2 1 1
1( ) ( ) ( ) ( )n
n n n n
nT x x x x x x n−
+= ⋅ ⋅ ⋅ =
21( )
n
n
nT n
+∴ =
1a q9
等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性
质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.
举一反三：
【高清课堂：数列综合 381084 例 1】
【变式 1】已知两个等比数列 ， ，满足 ， ，
， .
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 唯一，求 的值.
【答案】（1） 或
（2）
【变式 2】已知等差数列 ，公差 ， 中部分项组成的数列 ， ， ，…， ，…
恰为等比数列，且知 , , .
（1）求 ；
（2）证明: .
【解析】依题意: ， ， .
∵ ， ， 为等比数列，
∴ ，解得 .
∴等比数列 的首项 ，公比 ，
∴
{ }na { }nb 1 ( 0)a a a= > 1 1 1b a− =
2 2 2b a− = 3 3 3b a− =
1a = { }na
{ }na a
1(2 2)n
na −= + 1(2 2)n
na −= −
1
3a =
{ }na 0d ≠ { }na 1ka 2ka 3ka nka
1 1k = 2 5k = 3 17k =
nk
1 2 ... 3 1n
nk k k n+ + + = − −
1 1ka a=
2 5 1 4ka a a d= = +
3 17 1 16ka a a d= = +
1ka 2ka 3ka
2
1 1 1( 4 ) ( 16 )a d a a d+ = + 1 2a d=
{ }nka 1 1 2ka a d= = 5 1
1 1
4 3a a dq a a
+= = =
1
1 12 3n
n n
k ka a q d− −= ⋅ = ⋅10
又 在等差数列 中是第 项，∴
∴ （ ），
解得 .
（2）
例 2. 已知等差数列 ， , , 则 （ ）
A.125 B.175 C.225 D.250
【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。
难点在于项数 不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。
【答案】C
【解析】
方法一：利用等差数列的性质
∵ 为等差数列，
∴ , , 成等差数列，即
∴ ，
解得 ,
∴选 C.
方法二：特殊值法
令 ，由题意可得 , ,
nka { }na nk 1 ( 1) ( 1)nk n na a k d k d= + − = +
1( 1) 2 3n
n
k na k d d−= + = ⋅ 0d ≠
12 3 1n
nk −= ⋅ −
1 2 ... nk k k+ + +
1 1 2 1 1(2 3 1) (2 3 1) ... (2 3 1)n− − −= ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ −
0 1 12(3 3 ... 3 )
3 1
n
n
n
n
−= + + + −
= − −
{ }na 25nS = 2 100nS = 3nS =
n
{ }na
nS 2n nS S− 3 2n nS S− 2 3 22( ) ( )n n n n nS S S S S− = + −
32(100 25) 25 ( 100)nS− = + −
3 225nS =
1n = 1 1 25nS S a= = = 2 2 1 2 100nS S a a= = + =11
∴ ， ，
∴ ,
∴选 C.
方法三：基本量法
, ，
两式相减可得 ，
∴ .
∴选 C.
【总结升华】三种解法各有各的特点，注意认真体会每一种解法，灵活应用.本题还有其他的方法
解析，在这里不再一一介绍，同学们有时间可仔细研究。
举一反三：
【变式】已知等比数列 ， , , 则 （ ）
A.75 B.2880 C. D.63
【答案】D
例 3．如果一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32：27，
求公差.
【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可.注意奇数项的首项为 ，公
差为 22；偶数项首项为 ，公差为 .
【答案】 5
【解析】设等差数列首项为 ，公差为 d，则
2 75a = 2 1 50d a a= − =
3 3 1
3 (3 1)3 2252nS S a d
× −= = + =
1
( 1) 252n
n nS na d
−= + = 2 1
2 (2 1)2 1002n
n nS na d
−= + =
1
(3 1) 752
n nna d
−+ =
3 1
3 (3 1)3 75 3 2252n
n nS na d
−= + = × =
{ }nb 48nS = 2 60nS = 3nS =
5
4
1a
2d 2a 2d
1a12
所以该数列的公差是 5.
【总结升华】
1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.
2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键.
举一反三：
【变式】已知：三个数成等比数列，积为 216，若第二个数加上 4，则它们构成一个等差数列,求这
三个数.
【答案】这三个数为 2，6，18 或 18，6，2.
例 4．等差数列 中， , ，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【思路点拨】等差数列的首项 >0，公差 必然是负数，这样前 项和有最大值.取得最大值时的
项为数列中最后一个正数（或 0），它处于正负相间的位置，满足
【答案】7，49
【解析】设公差为 , 由题意得 ，得 ,
∴ 是首项为正数的递减数列， 有最大值.
又 ,
所以 为最大值，即 =7×13+ =49.
( )
1
11
1
12 1112 3542
6 5 =2 =5.6 + + 2 322 = .6 5 276 + 22
a d
a da d d
a d
× + × =
× ×
× ×
，
解得 ，
{ }na 1 13a = 3 11S S=
1a d n
+1
0
0.
n
n
a
a
≥
≤
，
d na d = 2d
{ }na nS
1
2 1nS n
= −
( )4 5 10 11 7 8 11 3+ + + + =4 + = =0a a a a a a S S− ，
7 80 0.a a，
7S 7S ( )7 6 22
× ×13
【总结升华】等差数列的前 n 项和公式是一个二次的函数，当 时，函数有最大值.
举一反三：
【变式】若数列 是等差数列，数列 满足 ， 的前 项和用 表示，
若 中满足 ，试问 多大时， 取得最大值，证明你的结论.
【解析】∵ ，
∴ ，解得 >0
∴ ，
故 是首项为正的递减数列.
则有 ,即
解得：15 ≤ ≤16 ，∴ =16，即 >0，
( )5 53 8 7a a d= + 5
56
5a d=
1
760 5d a d< = −，
{ }na
1
1 1
( 1) 0
0
n
n
a a n d
a a nd+
= + − ≥
= + ≤
76 ( 1) 05
76 05
d n d
d nd
− + − ≥
− + ≤
1
5 n 1
5 n 16a 17a
1 2 16 17 180a a a a a> > … > > > > > …
1 2 14 17 180b b b b b> > … > > > > > ……
15 15 16 17· · 0b a a a= < 16 16 17 18· · 0b a a a= >
14 13 1 14 15 15 16S S S S S S S> > … > > =， 9
5 d
15 18 15 16 15 16 0a a b b b b< ∴ < + >， ，即
16 14S S> nS 16S14
例 5.设 分别为等差数列 ， 的前 项和，满足 ，求 .
【思路点拨】用好等差数列中 与 的一个关系： 是解好本题的一个关键.
【答案】
【解析】
方法一：
方法二：设 ，
∴
∴ .
【总结升华】等差数列的中项在前 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前 项和与通
项公式的联系.
举一反三：
【变式 1】等差数列 中， =50， ， ，求项数 .
【答案】10
【高清课堂：数列综合 381084 例 2】
【变式 2】在数列 中， ，
（1）设 ，证明 是等比数列.
(2) 求数列 的通项公式.
(3) 若 是 与 的等差中项，求 的值；并证明：对任意的 ， 是 与 的等差中
x { }na { }nb n 7 1
4 27
n
n
S n
T n
+= +
11
11
a
b
nS na ( )2 1 2 1n nS n a+ = +
11
11
4
3
a
b
=
1 21
11 11 1 21 21
11 11 1 21 21
1 21
21( )2 7 21 1 42
212 4 21 27 3( )2
a aa a a a S
b b b b Tb b
++ × += = = = = =+ × ++
( )(7 1) , (4 27) 0n nS k n n T k n n k= + = + ≠
( ) ( )11 11 10 11 7 11 1 10 7 10 1 148a S S k k k= − = × + − × + =
( ) ( )11 11 10T T 11 4 11 27 10 4 10 27 111b k k k= − = × + − × + =
11
11
148 4
111 3
a k
b k
= =
n n
{ }na nS 1 2 3 4 30a a a a+ + + = 3 2 1 10n n n na a a a− − −+ + + = n
{ }na 1 21, 2a a= = 1 1(1 )n n na q a qa+ −= + − ( 2, 0)n q≥ ≠
*
1 ( )n n nb a a n N+= − ∈ { }nb
{ }na
3a 6a 9a q *n N∈ na 3na + 6na +15
项.
【解析】（1）利用定义证明
（2）
（3）证明 时， 不合题意
时，
由 是 与 的等差中项可求
又
即 是 与 的等差中项.
类型二： 与 的关系式的综合运用
例 6.在数列 中， 是其前 项和，若 ＝1， ，则 ＝________.
【思路点拨】已知 的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为 的递推关系式，可知数
列 为等比数列.
【答案】
【解析】 由题意，
，①
1n nb qb −=
1
, 1
11 , 11
n
n
n q
a q qq
−
=
= − + ≠ −
1q = na n=
1q ≠
111 ,1
n
n
qa q
−−= + −
3a 6a 9a 3 2q = −
2 5 2 1
3 6
1 1 2 2 21 1 2 21 1 1 1
n n n n
n n
q q q qa a q q q q
+ + + −
+ +
− − + −+ = + + + = + = +− − − −
112(1 ) 21
n
n
q aq
−−= + =−
na 3na + 6na +
na nS
{ }na nS n 1a ( )1
1 13n na S n ≥＋＝ na
n nS a与 na
{ }na
2
1 , 1
1 4 , 23 3
n
n
n
a
n
−
=
= ⋅ ≥
( )1
1 13n na S n ≥＋＝16
＝ ，②
①–②得
＝ ，即 ＝ ，
当 时， ，当 时， .
∴
【总结升华】已知 求 要先分 和 两种情况进行计算，然后验证能否统一.
举一反三：
【变式 1】已知数列 的前 项和如下，分别求它们的通项公式.
（1） ；（2）
【解析】
(1)当 时, ；
当 时, ,
又 时， ，
∴
（2） ，则
当 =1 时, = = ；
当 ≥2 时, = = ,
na 1
3
( )1 2nS n ≥－
1n na a＋ － 1
3
( )2na n ≥ 1na ＋
4
3
( )2na n ≥
2n ≥ 21 4( )3 3
n
na −= ⋅ 1n＝ 1 1a＝
2
1 , 1
1 4 , 23 3
n
n
n
a
n
−
=
= ⋅ ≥
nS na 1n＝ 2n ≥
{ }na n
2 2 2nS n n= − + 3 2
2
n n
n nS
−=
1n = 1 1 1a S= =
2n ≥ ( ) ( ) ( )22
1 2 2 1 2 1 2 2 3n n na S S n n n n n−
= − = − + − − − − + = −
1n = 12 1 3 a× − ≠
1 ( 1)
2 3( 2)n
na n n
== − ≥
3 2 3= = 122
nn n
n nS
−
n 1a 1S 1
2
n 1=n n na S S −−
-13 31 12 2
n n
11 3
2 2
n × 17
又 =1 时, ( )0= = , 满足上式.
∴ .
【变式 2】已知数列 的前 项和为 ， .
（1）求 ；
（2）求证：数列 是等比数列.
【解析】
（1）由 ，得 ，
∴ ，
又 ，即 ，得 .
（2）证明：当 时，由题意，
，
得 ，又 ，
所以 为首项为 ，公比为 的等比数列.
例 7. 数列 的前 项和为 ，若对于 恒成立，求 .
【思路点拨】已知 的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为 的递推关系式.
【答案】
【解析】由题意
①
②
n 1
2
3
2
1
2 1a
11 3
2 2
n
na
− = ×
{ }na n nS 1 ( 1) ( *)3n nS a n= − ∈N
1 2,a a
{ }na
1 1
1 ( 1)3S a= − 1 1
1 ( 1)3a a= −
1
1
2a = −
2 2
1 ( 1)3S a= − 1 2 2
1 ( 1)3a a a+ = − 2
1
4a =
2n ≥
1n n na S S −= − 1
1 1( 1) ( 1)3 3n na a −= − − −
1
1
2
n
n
a
a −
= − 2
1
1
2
a
a
= −
{ }na 1
2
− 1
2
−
{ }na n nS , 1n nn S na∈ + =N nS
n nS a与 na
1n
nS n
= +
1n nS na+ =
1 1( 1) 1n nS n a− −+ − =18
①–②得
，即 ，
在①中，当 时，
，
.
【总结升华】本例利用了 与 的关系，注意对 的验证.
举一反三：
【变式 1】在数列 中，已知 ，前 项和 与通项 满足 ，求这
个数列的通项公式.
【解析】
因为 从而由已知得到： 即 ，
于是得到 ，就可以得到： .
【变式 2】若数列 的相邻两项 、 是方程 的两根，又 ，求数列
的前 项和 .
【解析】由韦达定理得 ， ，
∴ ，得 ，
∴数列 与 均成等比数列，且公比都为 ，
由 ， ，得 ,
1( 1) 0n n na na n a −+ − − =
1
1
1
n
n
a n
a n−
−= +
1n = 1 1 1
11, 2a a a+ = ∴ =
3 12 4
1
1 2 3 2 1
1 1 2 3 2 1 1 1 1....
2 3 4 5 1 ( 1) 1
n n
n
n n
a a aa a n na a a a a a a n n n n n n
−
− −
− −∴ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = −+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1...(1 ) ( ) ( ) ( ) 12 2 3 3 4 1 1nS n n n
∴ = − + − + − + + − = −+ +
1n
nS n
∴ = +
nS na 1n =
{ }na 1 1a = n nS na 22 2 ( 2,3....)n n n nS a S a n= − =
1,n n na S S −= − 2
12 (2 1)( ).n n n nS S S S −= − −
1
1 1 2
n nS S −
− =
1
2 1nS n
= −
1 1 ( 2)2 1 2 3na nn n
= − ≥− −
{ }na na 1na +
2 1( ) 03
n
nx C x− + = 1 2a = { }nC
n nS
1n n na a c++ = 1
1( )3
n
n na a +⋅ =
1
1 2
1( )3
n
n na a +
+ +⋅ = 2 1
3
n
n
a
a
+ =
2{ }ka 2 1{ }ka −
1
3
1 2a = 1 2
1
3a a⋅ = 2
1
6a =19
∴ ,
(I)当 为偶数时，令 （ ）,
.
(II)当 为奇数时，令 （ ），
.
类型三：特殊数列的求和
例 8.（2015 天津）已知数列 满足 （q 为实数，且 q≠1）， ， ， ，且
， ， 成等差数列.
{ }na 2n na qa+ = *Nn∈ 1 1a = 2 2a =
2 3a a+ 3 4a a+ 4 5a a+
1 1
2 2
1 1 1( ) ( )3 6 3
k k
ka a − −= ⋅ = ⋅ 1 1
2 1 1
1 1( ) 2 ( )3 3
k k
ka a − −
− = ⋅ = ⋅
n 2n k= *k N∈
1 2 3 2
1 2 2 3 3 4 2 1 2 2 2 1
...
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
n k
k k k k
S C C C C
a a a a a a a a a a− +
= + + + +
= + + + + + + + + + +
1 3 5 2 1 2 4 2 2 12( ... ) 2( ... )k k ka a a a a a a a− += + + + + + + + + +
1
3 2
1
1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 13 32 2 2 2 ( )1 1 31 13 3
2 1 1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 13 3 6 32 2 2 2 ( )2 2 3
3 3
k k
k
k k
k
a a−
−
− −
= + ⋅ + ⋅ + ⋅
− −
− −
= + ⋅ + ⋅ + ⋅
29 7 1 9 7 1( ) ( )2 2 3 2 2 3
n
k= − = −
n 2 1n k= − *k N∈
1 2 3 2 1
1 2 2 3 3 4 2 2 2 1 2 1 2
...
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
n k
k k k k
S C C C C
a a a a a a a a a a
−
− − −
= + + + +
= + + + + + + + + + +
1 3 5 2 1 2 4 2 2 22( ... ) 2( ... )k k ka a a a a a a a− −= + + + + + + + + +
1 1
3 2
1
1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 1 13 32 2 2 ( )1 1 6 31 13 3
k k
k
a a− −
−
− −
= + ⋅ + ⋅ +
− −
1 1
1
2 1 1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 1 13 3 6 32 2 2 ( )2 2 6 3
3 3
k k
k
− −
−
− −
= + ⋅ + ⋅ +
1
29 1 9 17 ( ) 7( )2 3 2 3
n
k
+
= − ⋅ = −20
(Ⅰ)求 q 的值和 的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求数列 的前 n 项和.
【答案】(Ⅰ)2； （Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）解：由已知，有 ，即
，所以 .
又因为 q≠1，所以 a3=a2=2，
由 a3=a1·q，得 q=2.
当 n=2k―1（k∈N*）时， ；
当 n=2k（k∈N*）时， .
所以，{an}的通项公式为
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 .设{bn}的前 n 项和为 Sn，则
上式两式相减，得
，
{ }na
*2 2
2 1
log ,n
n
n
ab n Na −
= ∈ nb｛ ｝
1
2
2
2 ,
2 ,
n
n n
na
n
−
=
为奇数.
为偶数.
1
24 2n n
nS −
+= −
3 4 2 3 4 5 3 4( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a+ − + = + − +
4 2 5 3a a a a− = − 2 3( 1) ( 1)a q a q− = −
1
1 2
2 1 2 2
n
k
n ka a
−
−
−= = =
2
2 2 2
n
k
n ka a= = =
1
2
2
2 ,
2 ,
n
n n
na
n
−
=
为奇数.
为偶数.
2 2
1
2 1
log
2
n
n n
n
a nb a −
−
= =
0 1 2 2 1
1 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2n n nS n n− −= × + × + × + + − × + ×
1 2 3 1
1 1 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2 2n n nS n n−= × + × + × + + − × + ×
2 1
111 1 1 1 221 212 2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n n n
n n nS −
−
= + + + + − = − = − −
−21
整理得， .
所以，数列{bn}的前 n 项和为 ，n∈N*。
【总结升华】数列求和是考试的热点，以等差、等比数列的基本运算为背景考查错位相减法、裂项
相消法、分组求和等求和方法。重点是错位相减法.
举一反三：
【变式 1】（2015 天津文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a1=b1=1，
b2+b3=2a3，a5－3b2=7.
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和.
【答案】
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题意 q＞0.由已知，有 ，消
去 d，整理得 q4―2q2―8=0.又因为 q＞0，解得 q=2，所以 d=2.
所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为 bn=2n－1，n∈N*.
（Ⅱ）由（Ⅰ）有 cn=(2n―1)·2n-1，设{cn}的前 n 项和为 Sn，则
Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n－3)×2n-2+(2n―1)×2n-1，
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n－3)×2n-1+(2n―1)×2n，
上式两式相减，得
―Sn=1+22+23+…+2n―(2n―1)×2n=2n+1―3―(2n―1)×2n=―(2n―3)×2n―3，
所以，Sn=(2n―3)·2n+3，n∈N*.
【变式 2】（2016 长沙校级模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且 a3+2 是 a2，a4
的等差中项。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn。
【答案】（1）设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q
∵a3+2 是 a2，a4 的等差中项
∴2(a3+2)=a2+a4
1
24 2n n
nS −
+= −
1
24 2n
n
−
+−
2
4
2 3 2
3 10
q d
q d
− = − =
1
2
logn n nb a a=22
代入 a2+a3+a4=28，得 a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴ 或
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（2）∵an=2n
∴
∴ ①
∴ ②
∴①―②得，
Sn=2+22+23+…+2n―n·2n+1=2n+1―n·2n+1―2
类型四：求数列的通项公式
例 9．写出数列： ， ， ， ，……的一个通项公式.
【思路点拨】观察该数列，各项是由三部分构成：符号、分子和分母. 不妨把它看成三个数列，分
别求其通项.
【答案】通项公式为： .
【解析】从各项符号看，负正相间，可用符号 表示；
数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用 表示；
数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是 , , , ,…可用 表示；
所以该数列的通项公式可写为 .
3
1 1
2
3 1
20
8
a q a q
a a q
+ = = =
1
2
2
q
a
=
=
1
1
2
32
q
a
=
=
1
2
2 log 2 2n n n
nb n= ⋅ = − ⋅
21 2 2 2 2n
nS n− = × + × + + ×
2 3 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n n
nS n n +− = × + × + + − × +
1
5
− 3
10
5
17
− 7
26
2
2 1( 1) ( 1) 1
n
n
na n
−= − + +
( 1)n−
2 1n −
22 1+ 23 1+ 24 1+ 25 1+ 2( 1) 1n + +
2
2 1( 1) ( 1) 1
n
n
na n
−= − + +23
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第 项与项数 之间的数学关系式.如果把数列的第 1，2，3，…
项分别记作 ， ， ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数 (项数)为自变量的函数
的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列
的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式 1】数列： ， ， ， ，……的一个通项公式是（）
A. B.
C. D.
【解析】采用验证排除法，令 ,则 A、B、C 皆被排除，故选 D.
【变式 2】根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想其通项公式：
（1） ；
(2) ；
【解析】
（1） ，
猜想得 ；
(2)a1=a,a2= ,a3= ,a4= ，
猜想得 an= ；
例 10．已知数列 中， ， ，求 .
n n
(1)f (2)f (3)f n
( )f n
1− 8
5
15
7
− 24
9
2
( 1) 2 1
n
n
n na n
+= − +
( 3)( 1) 2 1
n
n
n na n
+= − +
2( 1) 1( 1) 2 1
n
n
na n
+ −= − −
( 2)( 1) 2 1
n
n
n na n
+= − +
1n =
1 13, 2 1n na a a+= = +
1 1
1, 2n
n
a a a a+= = −
1 2 3 43, 7, 15, 31a a a a= = = =
12 1n
na += −
1
2 a−
2
3 2
a
a
−
−
3 2
4 3
a
a
−
−
( 1) ( 2)
( 1)
n n a
n n a
− − −
− −
{ }na 1 1a = 1
2 13n na a+ = + na24
【解析】
法一：设 ，解得
即原式化为
设 ，则数列 为等比数列，且
∴
法二：∵ ①
②
由①－②得：
设 ，则数列 为等比数列
∴
∴
∴
法三： ， ， ，……，
，
∴
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，
还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.
举一反三：
【变式 1】数列 的首项为 ， 为等差数列且 ．若则 ，{ }na 3 { }nb 1 ( *)n n nb a a n N+= − ∈ 3 2b = −
1
2( ) ( )3n na A a A+ + = + 3A = −
1
2( 3) ( 3)3n na a+ − = −
3n nb a= − { }nb 1 1 3 2b a= − = −
12 23 ( 2) ( ) 3 3 ( )3 3
n n
n n nb a a−= − = − × ⇒ = − ×
1
2 13n na a+ − =
1
2 1( 2)3n na a n−− = ≥
1 1
2 ( )3n n n na a a a+ −− = −
1n n nb a a+= − { }nb
1
1
2 2 2( ) ( )3 3 3
n n
n n nb a a −
+= − = × =
2 21 ( )3 3
n
n na a+ − =
23 3 ( )3
n
na = − ×
2 1
2 13a a= + 2
3 2
2 2 21 ( ) 13 3 3a a= + = + + 3 2
4 3
2 2 2 21 ( ) ( ) 13 3 3 3a a= + = + + +
1
1
2 2 21 ( ) 13 3 3
n
n na a −
−= + = = + + +
23 3 ( )3
n
na = − ×25
，则
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【变式 2】在数列 中， ， = ，求 .
【答案】
类型五：应用题
例 11．某地区现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 ，人均粮食占有量比现
在提高 ，如果人口年增长率为 ，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到 1 公顷）
（粮食单产=占有量/耕地面积，人均粮食占有量=占有量/总人口数）
【思路点拨】本题名词较多，不宜理解。为方便计，同学们可列一表格，如下：
设现在总人口为 人，人均粮食占有量为 吨，现在耕地共有 公顷.
总人口 人均粮食占有量 耕地面积 粮食单产
现在 10000
10 年后
【答案】4
【解析】
方法一：由题意，设现在总人口为 人，人均粮食占有量为 吨，现在耕地共有 公顷，于是现
在的粮食单产量 吨/公顷，10 年后总人口为 ，人均粮食占有量 吨，若设平均每年
允许减少 公顷，则 10 年耕地共有( )公顷，于是 10 年后粮食单产量为 吨/
公顷.
由粮食单产 10 年后比现在增加 得不等式：
化简可得
10 12b = 8a =
{ }na 1 1a = 1na + 1
n
n
a
na+ na
2
2
2na n n
= − +
22%
10% 1%
A b 410
A b 410
Ab
10(1 0.01)A + (1 0.1)b + 410 10x−
10
4
(1 0.01) (1 0.1)
10 10
A b
x
+ ⋅ +
−
A b 410
410
Ab 10(1 0.01)A + (1 0.1)b +
x 410 10x−
10
4
(1 0.01) (1 0.1)
10 10
A b
x
+ ⋅ +
−
22%
10
4 4
(1 0.01) (1 0.1) (1 0.22)10 10 10
A b Ab
x
+ ⋅ + ≤ +−
4 10 410 (1 0.01) (1 0.1) 1.22(10 10 )x+ ⋅ + ≤ −26
即 ，
∴ (公顷)
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4 公顷.
方法二：由题意，设现在总人口为 人，粮食单产为 吨/公顷，现在共有耕地 公顷，于是现
在人均粮食占有量 吨/人，10 年后总人口为 ，粮食单产 吨/公顷，若设平均每年
允许减少 公顷，则 10 年后耕地将有( )公顷，于是 10 年后粮食总产量为 ，人
均粮食占有量为 ，由人均粮食占有量 10 年后比现在增加 得不等式：
，（余与上同）.
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.
举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为 ，且每年增长率为 ，因生产建设的需要每年年底要砍伐
的木材量为 ，设 为 年后该地区森林木材存量.
（1）写出 的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于 ,如果 ，那
么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取 ）.
【解析】
（1）依题意，第一年森林木材存量为 ，
1 年后该地区森林木材存量为： ，
2 年后该地区森林木材存量为： ，
3 年后该地区森林木材存量为： ，
4 4 1010 1.22 10 (1 0.01) (1 0.1)
10 1.22x
× − + +≤ ×
4x ≤
A M 410
410 M
A
10(1 0.01)A + 1.22M
x 410 10x− 41.22 (10 10 )M x−
4
10
(1 0.22)(10 10 )
(1 0.01)
M x
A
+ −
+ 10%
4 4
10
(1 0.22)(10 10 ) 10 1.1(1 0.01)
M x M
AA
+ − ×≥ ×+
a 25%
b na n
na
7
9 a 19
72b a=
lg 2 0.30=
a
1
5
4a a b= −
2
2 1
5 5 5( ) ( 1)4 4 4a a b a b= − = − +
3 2
3 2
5 5 5 5( ) [( ) 1]4 4 4 4a a b a b= − = − + +27
4 年后该地区森林木材存量为： ，
… …
年后该地区森林木材存量为：
（2）若 时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于 ，
即 ，
解得 ，即 ，
∴ ，
∴ .
答：经过 8 年该地区就开始水土流失.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知数列 的通项公式为 ，则该数列的首项 和第四项 分别为
A. 0，0 B. 0，1 C. -1，0 D. –1，1
2．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍)：
第 1 行 1
第 2 行 2 3
第 3 行 4 5 6 7
… …
则第 9 行中的第 4 个数是( )
A．132 B．255 C．259 D．260
3．已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和啊为 30，则其公差是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2016 衡水模拟）等差数列{an}中的两项 a2、a2016 恰好是关于 x 的函数 f（x）=2x2+8x+a（a∈
4 3 2
4 3
5 5 5 5 5( ) [( ) ( ) 1]4 4 4 4 4a a b a b= − = − + + +
n 1 25 5 5 5( ) [( ) ( ) ... 1]4 4 4 4
n n n
na a b− −= − + + + +
19
72b a= 7
9 a
5 5 19 7( ) 4[( ) 1]4 4 72 9
n na a a− − × <
5 54
n >（ ） 5lg lg54n >
lg5 1 lg 2 7lg5 2lg 2 1 3lg 2n
−> = =− −
8n =
{ }na cos 2n
na
π= 1a 4a28
R）的两个零点，且 a1009+a1010＞0，则使{an}的前 n 项和 Sn 取得最小值的 n 为（ ）
A．1009 B．1010 C．1009，1010 D．2016
5．设等差数列 的公差 不为 0， ．若 是 与 的等比中项，则 （ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
6．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
二、填空题
7．设 表示等差数列 与 的前 n 项的和，且 ， ，若 ，则 ＝
________.
8．我市民间刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案， 这
些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律
相同)，设第 个图形包含 个小正方形，则 的表达式为 ＝________ ．
9．在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6＋2a4，则 a6 的值是 ．
10．设数列 的通项为 ，则 ________.
三、解答题
11．已知函数 ，且 构成数列 ，又
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．
{ }na d 1 9a d= ka 1a 2ka k =
{ }na n nS 3 9S = 6 36S = 7 8 9a a a+ + =
nS { }na nS 9 18S ＝ 240nS ＝ ( )4 30 9na n >－ ＝ n
n ( )f n ( )f n ( )f n *( )n∈N
{ }na 2 7na n＝ － 1 2 15a a a…＋ ＋ ＋ ＝
( ) 2 *
1 2 ( )n
nf x a x a x a x n= + +…+ ∈N 1 2 3 na a a a， ， ， ， { }na
( ) 21f n=
{ }na
1( ) 13f
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