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21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 21.2.3 因式分解法学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重 点) 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.(难点)情境引入 我们经常看到大学毕业的学生,穿着学士服,将 学士帽高高抛起的样子,那么抛起的学士帽什么时候 落下,什么时候抬头接才不会被砸到呢?一起看看吧! 导入新课讲授新课 因式分解法解一元二次方程一 引例:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地面的高 度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物 体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析:设物体经过 x s落回地面, 这时它离地面的高度为0 m ,即 10x-4.9x2 =0 ① 解: 解: ∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2-4ac = (-10)2-4×4.9×0 =100. 公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0. 方程可化为4.9x2-10x=0.因式分解 如果a · b = 0, 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0,说明什么? 或 降次,化为两个一次方程 解两个一次方程,得出原方程的根 这种解法是不是很简单? 10x-4.9x2 =0 ① x(10-4.9x) =0 x =0 10-4.9x=0 ② 这种通过因式分解,将一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀: 右化零 左分解 两因式 各求解试一试:下列各方程的根分别是多少? (1) x(x-2)=0; (1) x1=0,x2=2; (2) (y+2)(y-3)=0; (2) y1=-2,y2=3 ; (3) (3x+6)(2x-4)=0; (3) x1=-2,x2=2; (4) x2=x. (4) x1=0,x2=1. 例1 解下列方程: 解:(1)因式分解,得 于是得 x-2=0或x+1=0, x1=2,x2=-1. (2)移项、合并同类项,得 因式分解,得 ( 2x+1)( 2x-1 )=0. 于是得 2x+1=0或2x-1=0, (x-2)(x+1)=0. 典例精析练一练 解下列方程: (1)(x+1)2=5x+5; ∴x1=4,x2=-1. (2)x2-6x+9=(5-2x)2. 解:∵(x+1)2=5(x+1), ∴(x+1)2-5(x+1)=0, 则(x+1)(x-4)=0, ∴x+1=0,或x-4=0, 解:方程整理得(x-3)2-(5- 2x)2=0,则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5- 2x)]=0, ∴-x+2=0,或3x-8=0, x1=2,x2= .十字相乘法拓展提升 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来,得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成 两个因数a、b的积,而且一次项系数p又恰好是a+b ,那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.步骤: ①①竖分竖分二次项与常数项二次项与常数项 ②②交叉交叉相乘,积相加相乘,积相加 ③③检验确定,检验确定,横写横写因式因式 简记口诀: 首尾分解, 交叉相乘, 求和凑中. 试一试 解方程:x2+6x-7=0. 解:因式分解得 ((xx+7)(+7)(xx-1)=0.-1)=0. ∴∴xx+7=0,+7=0,或或xx-1=0.-1=0. ∴∴xx11=-=-7,7,xx22=1.=1.练一练 解下列方程: (1)x2-5x+6=0; 解:分解因式, 得(x-2)(x-3)=0, (3)(x+3)(x-1)=5; 解:整理得x2+2x-8=0 , (4)2x2-7x+3=0. (2)x2+4x-5=0; 解:分解因式, 得(x+5)(x-1)=0, 解:分解因式, 得(2x-1)(x-3)=0, 解得x1=2,x2=3. 解得x1=-5,x2=1. 解得x1=-4,x2=2. 分解因式, 得(x+4)(x-2)=0, 解得x1= ,x2=3.灵活选用方法解方程二 例2 用适当的方法解方程: (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5); (2) (5x + 1)2 = 1; 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. ∴ x 1= 0 , x2= 分析:该式左右两边可以提取公因式, 所以用因式分解法解答较快. 解:化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 分析:方程一边以平方形式出现, 另一边是常数,可用直接开平方法. 解:开平方,得 5x + 1 = ±1.(3) x2 - 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1. 开平方,得 解得 x1= , x2= 解:化为一般形式 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 分析:二次项系数为1,一次项系数 为偶数,可用配方法来解题较快. 解:配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62 , 即 (x - 6)2 = 40. 分析:二次项的系数不为1,且不能 直接开平方,也不能直接因式分解, 所以适合公式法.1.一般地,当一元二次方程的一次项系数为0时 (ax2+c=0),应选用直接开平方法; 2.若常数项为0( ax2+bx=0),应选用因式分解法; 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0),先 化为一般式,看左边的整式是否容易因式分解,若 容易,宜选用因式分解法,否则选用公式法; 4.当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配 方法也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路填一填:各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2=n (n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0 (a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n)=0 ① x2-3x+1=0 ; ② 3x2-1=0 ; ③ -3t2+t=0 ; ④ x2-4x=2 ; ⑤ 2x2-x=0; ⑥ 5(m+2)2=8; ⑦ 3y2-y-1=0; ⑧ 2x2+4x-1=0; ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ; 适合运用因式分解法 ; 适合运用公式法 ; 适合运用配方法 . 当堂练习 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 注意:每个题都有 多种解法,选择更 合适的方法,可以 简化解题过程!2.解方程x(x+1)=2时,要先把方程化为 ; 再选择适当的方法求解,得方程的两根为x1= , x2= . x2+x-2=0 -2 13.下面的解法正确吗?如果不正确,错误在哪?并请 改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解:原方程化为: (x-5)(x+2)=3×6 . ① 由x-5=3,得x=8; ② 由x+2=6,得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为: x2 -3x -28= 0, (x-7)(x+4)=0, x1=7,x2=-4.解:化为一般式为 因式分解,得 x2-2x+1 = 0. ( x-1 ) 2 = 0. 有 x - 1 = 0, x1=x2=1. 解:因式分解,得 ( 2x + 11 )( 2x- 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x - 11= 0 , 4.解方程:(4)x2+4x-2=2x+3;(3)2x2-5x+1=0; 解:a=2,b=-5,c=1, ∴△=(-5)2-4×2×1=17. 解:整理,得x2+2x=5 ,∴x2+2x+1=5+1, 即(x+1)2=6,(5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0. 解法一: 解:方程整理得 9m2-9m=0. 分解因式,得9m (m-1)=0. 解得m1=0,m2=1. 解法二: 解:分解因式,得 (3m+2-2)(3m+2-5)=0. ∴3m+2-2=0,或 3m+2-5=0, 解得m1=0,m2=1. 将(3m+2)当一个整体,进行 因式分解5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加到原来的2倍,求小圆形场地的半径. 解:设小圆形场地的半径为r ,根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解,得 于是得 答:小圆形场地的半径为挑战自我 (2)一个三角形的两边长分别为3和5,其第三边是方程 x2-13x+40=0的根,则此三角形的周长为________; (1)已知三角形的两边长为4和5,第三边的长是方程x2- 5x+6=0的一个根,则这个三角形的周长是________; (3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次 方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 ________. 11或12 13 12 与三角形结合时,要考虑三 角形的三边关系!课堂小结 因式分解法 概 念 步 骤 简记歌诀: 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0,那么a=0或b=0.原 理 当右边=0时, 将方程左边 因式分解. 因式分解常见的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2±2ab+b2=(a±b)2; a2-b2=(a +b)(a -b). 查看更多

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