资料简介
1.3 直角三角形全等的判定【知识再现】
1.形状和大小完全相等的两个三角形叫_______
三角形.
2.证明三角形全等的定理有：AAS，________，SSS，
______.
全等
ASA
SAS 【新知预习】阅读教材P19-20，完成探究并归纳结论：
1.(1)“HL”中“H”代表什么？“L”代表什么？
“HL”表示的是什么意思？
(2)如何验证“HL”可以判定两个三角形全等？(3)到目前为止，我们学习了几种三角形全等的判别方
法？各是什么？那么对于直角三角形全等的判别方法
有几种？解：(1)斜边；直角边；斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等.
(2)利用勾股定理求出另一直角边长，然后利用SSS证
明.
(3)4种；分别是AAS，ASA，SSS，SAS；直角三角形全
等的判定方法有AAS，ASA，SSS，SAS，HL，5种.2.运用“HL”证明直角三角形全等通常写成什么格式
？通常写成下面的格式：
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·黔南州期末)如图，BE=CF，AE⊥BC，
DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则
还需要添加一个条件是 ( )DA.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC2.如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列
结论中不正确的是 ( )CA.∠A=∠D
B.∠ABC=∠DCB
C.OB=OD
D.OA=OD知识点一 用“HL”证明直角三角形全等
(P20例1拓展)
【典例1】如图，在△ABC和△DCB中，
∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB.(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论.【自主解答】(1)在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
(2)△OBC是等腰三角形.
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.【学霸提醒】
应用“HL”定理的两个误区
1.用“HL”定理证明三角形全等的前提是在直角三角
形中，在一般三角形中不能应用.
2.不能把“HL”定理错误地认为是应用“SSA”.【题组训练】
1.(2019·蔡甸区期末)如图，BE，CD是△ABC的高，且
BD=EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_______”. HL ★★2.如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于
点B，DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE.求证：CE=BF.世纪
金榜导学号【解题指南】解答本题的两个关键
1.利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DEF.
2.根据全等三角形的性质和等式的性质解题.证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴BC=EF，
∴BC-BE=EF-BE，即CE=BF.知识点二 直角三角形全等的应用(P20例2拓展)
【典例2】已知：线段c，直线l及l外一点A.求作：Rt△ABC，使直角边AC(AC⊥l，垂足为点C)，斜
边AB=c.(用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作
图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑).【自主解答】如图所示：
(规范作图)
则Rt△ABC就是所求作的三角形.(写出结论)【学霸提醒】
常见尺规作直角三角形的三种方法
1.已知斜边和一条直角边：作直角，截取一直角边，
然后以直角边的端点为圆心，以斜边长为半径画弧，
交另一直角边于一点，连接即可.2.已知斜边与一锐角：作一条线段等于斜边，以斜边
的一个端点为顶点作等于给定锐角的角，然后过斜边
另一端点作锐角另一边的垂线即可.
3.已知两直角边：作直角，在其两边分别截取两段等
于给定直角边长度的线段，连接即可.【题组训练】
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
如图，那么下列各条件中，不能使
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是 ( )BA.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°★2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与
BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______度. 世纪金
榜导学号
45 ★3.如图，AB=DE，∠A=∠D=90°，那么要得到
△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是________，
△ABC与△DEF全等的理由是____________________.
AC=DF
SAS(答案不唯一) ★★4.如图所示，已知线段AB，请你以点A为直角顶点，
利用尺规作图作Rt△ACD，使得点C在线段AB的延长线
上且AC=2AB，另一条直角边AD=AB.(保留作图痕迹，不
写作法)解：如图所示，△ACD即为所求.【火眼金睛】
如图，已知∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC
和△ACD的公共边，所以就可以证明△ABC和△ACD全等.
你认为正确吗？为什么？【正解】不正确，理由如下：
因为∠B=∠ACD，但对应边AC≠AD，
所以△ABC和△ACD不全等.【一题多变】
如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，CE=DF，求证：
AC∥BD.证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA=∠DFB=90°.
又∵AC=BD，CE=DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL).
∴∠A=∠B，∴AC∥BD.【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，
垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E
，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系，并说明理
由. 世纪金榜导学号解：AC=ED，理由如下：
∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，
∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°.
∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°.
∴∠A=∠CEF.在△ABC和△ECD中，
∴△ABC≌△ECD.∴AC=ED.【变式二】(变换条件和问法)上题中，若把AB=EC改为
AB=CF，判断AC与CD的数量关系，并说明理由.解：AC=CD，理由如下：∵AB⊥BC， ED⊥BC，DC⊥AC，
∴∠B=∠CFD=∠DCE=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCF=90°，
∴∠A=∠DCF，
在△ABC和△CFD中，
∴△ABC≌△CFD.∴AC=CD.
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