资料简介
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保密★启用前
泉州市 2020—2021 学年度第一学期期中考试
高二数学试题（B）
本试卷共 4 页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时
间 120 分钟.
第 I 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再改涂在其它答案标号.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知向量 a
＝(－1，1，0)， b
＝(0，1，－1)，则 a b
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．设平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2， ，4)，若α∥β，则 =
A．2 B．4 C．－2 D．－4
3．已知 a
＝(1，5，－2)， b
＝(m，2，m＋1)，若 a b ，则 m 的值为
A．－6 B．－8 C．6 D．8
4．若点 A(a＋1，3)在圆 C：(x－a)2＋(y－1)2＝m 内部，则实数 m 的取值范围是
A．(5，＋∞) B．[5, ) C．(0，5) D．[0，5]
5．椭圆x2
m
＋y2
4
＝1 的焦距是 2，则 m＝
A．3 B．5 C．3 或 5 D．2
6．两直线 l1:3x－2y－6=0，l2:3x－2y＋8=0，则直线 l1 关于直线 l2 对称的直线方程为
A．3x－2y＋24=0 B．3x－2y－10=0 C．3x－2y－20=0 D．3x－2y＋22=0
7. 如图所示，P 是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线 PM，PN，如果∠BPM
＝∠BPN＝∠MPN＝60°，设二面角α－AB－β的大小为α，则 cosα＝
A．1 B． 2
3
2
C． 2
3
D． 1
3
8．已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M，N 分别为 PC，PD 上
的点，且 2
PM MC ，
PN ND ，
NM xAB yAD zAP ，
则 x＋y＋z＝
A． 2
3
B． 2
3
C．1 D． 5
6
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的的 0 分.
9．在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，与向量
AB 相等的向量有
A．
CD B． ' '
A B C． ' '
D C D．
BC
10．已知平面α过点 A(1，－1，2) ，其法向量 n
=(2，－1，2) ，则下列点不在α内的是
A．(2，3，3) B．(3，－3，4)
C．(－1，2，0) D．(－2，0，1)
11．已知直线 l1:ax－y－b=0，l2:bx－y＋a=0，当 a，b 满足一定的条件时，它们的图形可以是
A B C D
12．已知椭圆 C：
2 2
14 3
x y 的左、右焦点分别为 F、E，直线 x m ( 1 1) m 与椭圆相交
于点 A、B，则
A．椭圆 C 的离心率为 3
2
B．存在 m，使△FAB 为直角三角形
C．存在 m，使△FAB 的周长最大
3
D．当 m=0 时，四边形 FBEA 面积最大
第 II 卷
本卷为必考题. 第 13～16 题为填空题，第 17～22 题为解答题，每个试题考生都必须作答．
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．化简
AB CD AC BD ＝________.
14．已知 ( 2,0)F 是椭圆
2 2
2 2: 1 ( 0)x yE a ba b
的右焦点，且 E 过点 ( 2,1) ，则椭圆 E 的
离心率为____________.
15．已知直线 0 x y a 与圆 2 2: 2O x y 相交于 A， B 两点（O 为坐标原点），且△AOB
为等边三角形，则实数 a＝________．
16．如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，
在该正方体侧面 CDD1C1 有一个小孔 E，E 点到 CD 的距离为 3，若该正方体水槽绕 CD
倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 CDD1C1 与桌面所成的角正切值
为 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知直线 l1 斜率为－2，在 y 轴上的截距为 2；直线 l2 过定点(1,3),(2,4).
（1）求直线 l1，l2 的方程；
（2）求 l1，l2 的交点 P 的坐标，并求点 P 到坐标原点 O 的距离.
18．（本小题满分 12 分）
在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|，
N 在 D1C 上且为 D1C 中点.
（1）求 M、N 两点间的距离；
（2）判断直线 MN 与直线 BD1 是否垂直，并说明理由.
4
19．（本小题满分 12 分）
已知圆 C 经过点 A(2，－1)，且圆心在直线 y＝－2x 上，直线 x＋y＝1 与圆 C 相切．
（1）求圆 C 的方程；
（2）已知斜率为-1 的直线 l 经过原点，求直线 l 被圆 C 截得的弦长．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，左顶点为 A(－2，0)，离心率为 3
2 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，求|PQ|的最大值.
21．（本小题满分 12 分）
在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BC∥AD，
90 ADC ， 1 12
BC CD AD ，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与线段 PD，PC 分别
交于点 G，F．
（1）求证：GF⊥平面 PAD；
（2）若 2 PA PD ，点 G 为 PD 的中点，求直线 PB 与平面 BEGF
所成角的正弦值.
22．（本小题满分 12 分）
已知圆 O：x2＋y2＝4 和定点 A(1，0) ，平面上一动点 P 满足以线段 AP 为直径的圆内切
于圆 O，动点 P 的轨迹记为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）直线 : 4 0l y k x k 与曲线 C 交于不同两点 M，N，直线 AM，AN 分别交 y 轴
于 P，Q 两点．求证： AP AQ ．
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泉州市高二数学试题（B）参考答案
一、选择题
1—5 BCDAC 6—8 DDB
二、多项选择题
9．BC 10．BCD 11．AC 12．BD
三、填空题
13． 0
14． 2
2 15． 3 16．2
四、解答题
17．解：
（1）由题意知，直线 1l 的方程为 2 2y x ，
即 2 2 0x y ；……………………………2 分
设直线 2l 的斜率为 k ，则 4 3 12 1k
，
所以 2l 的方程为 3 1y x ，即 2 0x y ；…………………………5 分
（2）联立 2 0,
2 2 0,
x y
x y
得 0,
2,
x
y
所以交点坐标为 (0,2) , ……………………………8 分
所以 2 2(0 0) (2 0)OP 2 . ……………………………10 分
18．解：
（1）建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ，
(0,0,0)A , (2,0,0)B , (2,2,0)C , 1(0,0,4)A , 1(2,2,4)C , 1(0,2,4)D ,
因为|MC1|＝2|A1M|，所以 1 1 1
1
3
A M AC ,
得 M(2
3
，2
3
，4). ………………………2 分
又 N 为 CD1 中点，所以 N(1,2,2)，…………………4 分
所以 2 2 22 2 53(1 ) (2 ) (2 4)3 3 3
MN ； …………………6 分
（2） 1 4( , , 2)3 3MN ， 1 ( 2,2,4)BD
,………………………8 分
6
所以 1
1 4 2 8( , , 2) ( 2,2,4) 8 63 3 3 3MN BD
，………………………10 分
1 0MN BD
，…………………………11 分
所以直线 MN 与直线 1BD 不垂直. ……………………………12 分
19．解：
（1）设圆心 C 的坐标为 (a，－2a)，
则 2 2( 2) ( 2 1)a a ＝|a－2a－1|
2
，. ……………………………1 分
化简，得 a2－2a＋1＝0，
解得 a＝1，
所以 C(1，－2)，……………………………3 分
半径 r＝|AC|＝ 2 2(1 2) ( 2 1) ＝ 2，…………………………5 分
所以圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. ………………………6 分
（2）直线 l 的方程为 y x ，……………………………7 分
设圆心到直线的距离为 d ，
则 1 ( 2) 2
22
d ，…………………………9 分
设弦长为 l ，得 222 2 ( ) 62
l ，……………………………11 分
所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6 .……………………………12 分
20．解：
（1）设椭圆 C 的方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
由题意得
a＝2，
c
a
＝ 3
2
，
解得 c＝ 3，
所以 b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1；…………………………4 分
（2）设 P，Q 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t，
由 x2＋4y2＝4，
y＝x＋t
消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，…………………………6 分
则 x1＋x2＝－8
5t，x1x2＝
24( 1)
5
t ，……………………………7 分
0 ，得 20 5t ，
所以|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2|
7
＝ 1＋k2· 2
1 2 1 2( ) 4x x x x
＝ 2·
－8
5t 2－4×4 t2－1
5
＝4 2
5 · 5－t2 ， ……………………………10 分
因为 20 5t ，所以当 t＝0 时，|PQ|max＝4 10
5 . …………………………12 分
21．证明：
（1）因为 1
2
BC AD，且 E 为线段 AD 的中点，
所以 BC=DE，又因为 BC∥AD，
所以四边形 BCDE 为平行四边形，
所以 BE∥CD， ……………………………2 分
又因为 , 平面 平面CD PCD BE PCD ，
所以 BE∥平面 PCD，
又平面 BEGF 平面 PCD GF,
所以 BE∥GF，……………………………4 分
又 BE AD ,且 平面 平面PAD ABCD ， 平面 平面PAD ABCD AD ,
所以 平面BE PAD ，
所以 平面GF PAD ，……………………………6 分
（2）因为 PA PD ， E 为线段 AD的中点，
所以 PE AD ，
又因为 平面 平面PAD ABCD ，
所以 平面PE ABCD ，………………7 分
以 E 为坐标原点，
EA的方向为 x 轴正方向建立如图
所示的空间直角坐标系 E xyz ；
则 (0,0,1)P , (0,1,0)B , (0,0,0)E , ( 1,0,0)D ,
则 (0,1, 1)
PB , (0, 1,0)
BE , (1,0,1)
DP ,
1 1( ,0, )2 2
G ，
所以 1 1( ,0, )2 2
EG , ……………………9 分
设平面 BEGF 的法向量为 ( . . )
n x y z ，
则 0,
0,
BE n
EG n
，即
0,
1 1 0,2 2
y
x z
不妨令 2x ，可得 (2,0,2)
n 为平面 BEGF 的一个法向量，……………10 分
8
设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为α，
于是有sin cos ,
n PB
n PB
n PB 2 2
2 1
22 2 2
；……………………11 分
所以直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 1
2 .……………………………12 分
22．解：
（1）设以线段 AP 为直径的圆的圆心为 C，取 A′(－1,0)．
依题意，圆 C 内切于圆 O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线，
因为 O 为 AA′的中点，C 为 AP 中点，
所以|A′P|＝2|OC|.…………………………1 分
所以|PA′|＋|PA|＝2OC＋2AC＝2OC＋2CD＝2OD＝4＞|AA′|＝2，
所以动点 P 的轨迹是以 A，A′为焦点，长轴长为 4 的椭圆，………………3 分
设其方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，
则 2a＝4,2c＝2，
所以 a＝2，c＝1，
所以 b2＝a2－c2＝3，………………………5 分
所以动点 P 的轨迹方程为x2
4
＋y2
3
＝1; …………………6 分
（2）设 ， 2 2 1 21, 1N x y x x 且 ．
由
2 2
4
14 3
y k x
x y
，
得 2 2 2 24 3 32 64 12 0k x k x k ，………………………7 分
依题意 22 2 232 4 4 3 64 12 0Δ k k k ，
即 2 10 4k ，…………………………8 分
则
2
1 2 2
2
1 2 2
32
4 3
64 12
4 3
kx x k
kx x k
，…………………………9 分
因为
1 2 1 21 21 2
1 2 1 2 1 2
2 5 84 4
1 1 1 1 1 1MF NF
k x x x xk x k xy yk k x x x x x x
2 2
2 2
1 2
64 12 322 5 84 3 4 3 01 1
k kk k k
x x
,…………………………10 分
所以直线 MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即 OAP OAQ ．
9
因为 OA PQ ，所以 AP AQ ．…………………………12 分
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