资料简介
1
2020-2021 学年高二上学期第四次周考数学
一、选择题（本大题共 17 小题，共 85.0 分）
1.
若
，
൏ ൏
，则一定有
A.
B.
൏
C.
D.
൏
2.
设 a，
，则“
”是“
ȁȁ ȁȁ
”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.
已知实数 x，y 满足
൏
൏ ൏ 1
，则下列关系式恒成立的是
A.
3
3
B.
݅ ݅C.
ln
2
1 ln
2
1
D.
1
2
1
1
2
1
4.
已知函数
3
2
.
且
൏ 1 2 3 3
，则
A.
3
B.
3 ൏
C.
൏
D.
5.
用
݅ሻൌ
b，
表示 a，b，c 三个数中的最小值．设
݅ሻ2
ൌ 2ൌ1
，则函数
的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
.
若变量 x，y 满足约束条件
1
1
，且
2
的最大值和最小值分别为 m 和 n，则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.
设
ൌ
满足条件
7
3 1
3 5
，则
2
的最大值为
．
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
8.
若 x，y 满足
2
2
，且
的最小值为
4
，则 k 的值为
A. 2 B.
2
C.
1
2
D.
1
2
.
x，y 满足约束条件
2
2 2
2 2
，若
取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为
A.
1
2
或
1
B. 2 或
1
2
C. 2 或
1
D. 2 或 1
1.
已知 x，y 满足约束条件
1
2 3
，当目标函数
ൌ
在该约束条件下取到
最小值
2 5
时，
2
2
的最小值为
第
!
语法错误，
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1
页
2
A. 5 B. 4 C.
5
D. 2
11.
在平面直角坐标系 xOy，已知平面区域
ሻൌȁ 1
，且
，
，则平面区域
ሻ
ൌ ȁൌ
的面积为
A. 2 B. 1 C.
1
2
D.
1
4
12.
对任意 x，
，
ȁ 1ȁ ȁȁ ȁ 1ȁ ȁ 1ȁ
的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13.
若函数
ȁ 1ȁ ȁ2 ȁ
的最小值为 3，则实数 a 的值为
A. 5 或 8 B.
1
或 5 C.
1
或
4
D.
4
或 8
14.
已知函数
是定义在 R 上的奇函数，当
时，
1
2 ȁ
2
ȁ ȁ 2
2
ȁ 3
2
，若
，
1
，则实数 a 的取值范围为
A.
1
ൌ
1
B.
ൌ
C.
1
3 ൌ
1
3
D.
3
3 ൌ
3
3
15.
已知函数
1ൌ ൏
1ൌ
，则不等式
1 1 1
的解集是
A.
ሻȁ 1 2 1
B.
ȁ 1C.
ሻȁ 2 1
D.
ሻȁ 2 1 2 1
1.
若不等式
2
1
对一切
ൌ
1
2
成立，则 a 的最小值为
A. 0 B.
2
C.
5
2
D.
3
17.
若 a，b，
且
2
2 2 4 12
，则
的最小值是
A.
2 3
B. 3 C. 2 D.
3二、解答题（本大题共 3 小题，共 36.0 分）
18.
如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与
.
现测得
ᦙ
，
ᦙ
，
ᦙ
，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为
，求塔高 AB．
3
1.
在
ᦙ
，已知
2 ᦙ 3ȁ ȁȁᦙ ȁ 3ᦙ
2
，求角 A，B，C 的大小．
20. 在
ᦙ
中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
4݅
2
2 4݅݅ 2 2
．
Ⅰ
求角 C 的大小；
Ⅱ
已知
4
，
ᦙ
的面积为 6，求边长 c 的值．
第
!
语法错误，
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1
页
4
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．
利用特例法，判断选项即可．
【解答】
解：不妨令
3
，
1
，
3
，
1
，
则
1
，
1
，
、B 不正确；
3
，
1
3
，
ᦙ
不正确，D 正确．
解法二：
൏ ൏
，
，
，
，
，
൏
．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
5
解：若
，
，不等式
ȁȁ ȁȁ
等价为
，此时成立；
，不等式
ȁȁ ȁȁ
等价为
，即
2
൏
2
，此时成立；
，不等式
ȁȁ ȁȁ
等价为
，即
2
2
，此时成立，
即充分性成立；
若
ȁȁ ȁȁ
，
当
，
时，
ȁȁ ȁȁ
去掉绝对值得，
，因为
，所以
，
即
；
当
，
൏
时，
；
当
൏
，
൏
时，
ȁȁ ȁȁ
去掉绝对值得，
൏
，因为
൏
，所以
，
即
，
即必要性成立．
综上“
”是“
ȁȁ ȁȁ
”的充要条件，
故选 C．
3.【答案】A
【解析】解：
实数 x，y 满足
൏
൏ ൏ 1
，
，
A.当
时，
3
3
，恒成立，
B.当
，
2
时，满足
，但
݅ ݅
不成立．
C.若
ln
2
1 ln
2
1
，则等价为
2
2
成立，当
1
，
1
时，满足
，但
2
2
不成立．
D.若
1
2
1
1
2
1
，则等价为
2
1 ൏
2
1
，即
2
൏
2
，当
1
，
1
时，满足
，但
2
൏
2
不
成立．
故选：A．
本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．
本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由
1 2 3得
1 8 4 2
1 27 3
，
解得
11
，
第
!
语法错误，
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1
页
则
3
2
11
，
由
൏ 1 3
，得
൏ 1 11 3
，
即
൏
，
故选：C．
由
1 2 3
列出方程组求出 a，b，代入
൏ 1 3
，即可求出 c 的范围．
本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
在同一坐标系内画出三个函数
1
，
2
，
2
的图象，以此作出函数
图象，观察最大
值的位置，通过求函数值，解出最大值．
本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出
的简图．
【解答】
解：
1
是减函数，
2
是增函数，
2
是增函数，令
2 1
，
4
，此时，
2 1
，
如图：
2
与
2
交点是 A、B，
2
与
1
的交点为
ᦙ4ൌ
，
由上图可知
的图象如下：
7
C 为最高点，而
ᦙ4ൌ
，所以最大值为 6．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由
2
，得
2
，
平移直线
2
，由图象可知当直线
2
经过点 A，
直线
2
的纵截距最小，此时 z 最小，
由
1
，解得
1
1
，
即
1ൌ 1
，此时
2 1 3
，
3
，
平移直线
2
，由图象可知当直线
2
经过点 B，
第
!
语法错误，
页，共
1
页
8
直线
2
的纵截距最大，此时 z 最大，
由
1
1
，解得
2
1
，
即
2ൌ 1
，此时
2 2 1 3
，
3
，
则
3 3
，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，是
基础题．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利
用数形结合确定 z 的最大值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
阴影部分
ᦙ
．
由
2
得
2
，
平移直线
2
，
由图象可知当直线
2
经过点 C 时，直线
2
的截距最小，
此时 z 最大．
由
7
3 1
，解得
5
2
，即
ᦙ5ൌ2代入目标函数
2
，
得
2 5 2 8
．
故选 B．
8.【答案】D
【解析】解：对不等式组中的
2
讨论，可知直线
2
与 x 轴的交点在
2 与 x 轴的交点的右边，
故由约束条件
2
2
作出可行域如图，
当
，由
2
，得
2
，
2
ൌ.由
得
．
由图可知，当直线
过
2
ൌ
时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小．
此时
݅
2
4
，解得：
1
2
．
故选：D．
对不等式组中的
2
讨论，当
时，可行域内没有使目标函数
取得最小值的最
优解，
൏
时，若直线
2
与 x 轴的交点在
2
与 x 轴的交点的左边，
的
最小值为
2
，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最
优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
由题意作出已知条件的平面区域，将
化为
，z 相当于直线
的纵截距，由
几何意义可得．
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．
【解答】
解：由题意作出约束条件
2
2 2
2 2
，平面区域，
第
!
语法错误，
页，共
1
页
1
将
化为
，z 相当于直线
的纵截距，
由题意可得，
与
2 2
或与
2
平行，
故
2
或
1
；
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距
离公式的应用，是中档题．
由约束条件作出可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到
2 2 5
.
2
2
的几何意义为坐标原点到直线
2 2 5
的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答
案．
【解答】
解：由约束条件
1
2 3
，作可行域如图，
11
联立
1
2 3
，解得：
2ൌ1
．
化目标函数为直线方程得：
．
由图可知，当直线
过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 最小．
2 2 5
．
即
2 2 5
．
2
2
的几何意义为坐标原点到直线
2 2 5
的距离的平方，
则
2
2
的最小值为
2 5
5
2
4
．
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解析：令
，
1
，
作出区域是等腰直角三角形，
可求出面积
1
2 2 1 1选 B
将
和
看成整体，设
，根据题意列出关于
u，v 的约束条件，画出区域求面积即可．
线性规划主要考查转化能力，与其他知识的结合重点在于问题的转化．
12.【答案】C
第
!
语法错误，
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1
页
12
【解析】
【分析】
把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．
【解答】
解：对任意 x，
，
ȁ 1ȁ ȁȁ ȁ 1ȁ ȁ 1ȁ
ȁ 1ȁ ȁ ȁ ȁ1 ȁ ȁ 1ȁ
ȁ 1 ȁ ȁ1 1ȁ 3
，
当且仅当
ൌ1
，
1ൌ1
等号成立．
故选：C．
13.【答案】D
【解析】解：
2 ൏ 1
时，
൏
2
，
1 2 3 1
2 1
；
2 1
，
1 2 1
2 1
；
1
，
1 2 3 1 2
，
2 1 3
或
2 3
，
8
或
5
，
5
时，
2 1 ൏ 2
，故舍去；
2 1
时，
൏ 1
，
1 2 3 1 2
；
1
2
，
1 2 1
2 1
；
2
，
1 2 3 1
2 1
，
2 3
或
2 1 3
，
1
或
4
，
1
时，
2 1 ൏ 2
，故舍去；
综上，
4
或 8．
故选：D．
分类讨论，利用
ȁ 1ȁ ȁ2 ȁ
的最小值为 3，建立方程，即可求出实数 a 的值．
13
本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
14.【答案】B
【解析】解：当
时，
3
2
ൌ 2
2
2
ൌ
2
൏ 2
2
ൌ
2
，
由
3
2
，
2
2
，得
2
；
当
2
൏ 2
2
时，
2
；
由
，
2
，得
2
．
当
时，
݅
2
．
函数
为奇函数，
当
൏
时，
2
．
对
，都有
1
，
2
2
4
2
1
，解得：
．
故实数 a 的取值范围是
ൌ
．
故选：B．
把
时的
改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得
൏
时的函数的最大值，由对
，都有
1
，可得
2
2
4
2
1
，求解该不等式得答案．
本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对
，都有
1
得到不等式
2
2
4
2
1
，是中档题．
15.【答案】C
【解析】
【分析】
对
1
中的 x 分两类，即当
1 ൏
，和
1
时分别解不等式可得结果．
本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．
【解答】
解：依题意得
1 ൏
1 1
或
1
1 1所以
൏ 1
或
1
2 1 2 1 ൏ 1
或
1 2 1 2 1故选 C．
第
!
语法错误，
页，共
1
页
14
16.【答案】C
【解析】解：设
2
1
，则对称轴为
2
若
2
1
2
，即
1
时，则
在〔
，
1
2
〕上是减函数，
应有
1
2
5
2 1若
2
，即
时，则
在〔
，
1
2
〕上是增函数，
应有
1
恒成立，
故
若
2
1
2
，即
1
，
则应有
2
2
4
2
2 1 1
2
4
恒成立，
故
1 综上，有
5
2
．
故选：C
令
2
1
，要使得
在区间
ൌ
1
2
恒成立，只要
在区间
ൌ
1
2
上的最小值大于等于 0
即可得到答案．
本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数
的开口方向、对称轴、端点值．
17.【答案】A
【解析】解：
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 4
2
2
2
12
2
12
，
当且仅当
时取等号，
2 3故选项为 A
因为
的平方与已知等式有关，现将
2
用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于 0
得不等式，
然后解不等式得范围．
15
若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．
18.【答案】解：在
ᦙ
中，
ᦙ
．
由正弦定理得
ᦙ
sinᦙ
ᦙ
sinᦙ
．
所以
ᦙ
ᦙ݅ᦙ
sinᦙ
݅
sin
．
在
ᦙ
中，
ᦙᦙ
݅
sin
．
【解析】先根据三角形内角和为
18
得
ᦙ 18 .
再根据正弦定理求得 BC，进而在
ᦙ中，根据
ᦙᦙ
求得 AB．
本题主要考查了解三角形的实际应用．正弦定理是解三角形问题常用方法，应熟练记忆．
19.【答案】解：设
ᦙ
，
ᦙ
，
由
2 ᦙ 3ȁ ȁȁᦙ ȁ
得
2 3
所以
3
2又
ൌ
因此
由
3ȁ ȁȁᦙ ȁ 3ᦙ
2
得
3
2
；
于是
݅ᦙ݅ 3sin
2
3
4所以
݅ᦙ݅
5
ᦙ
3
4
，
2݅ᦙᦙ 2 3sin
2
ᦙ 3即
sin2ᦙ
3
൏ ᦙ ൏ 5
3 ൏ 2ᦙ
3 ൏ 4
3
2ᦙ
3
或
2ᦙ
3
ᦙ
或
ᦙ 2
3故 A
ൌ
2
3 ൌᦙ
或
ൌᦙ
2
3 ൌ
【解析】先用向量的数量积求出角 A，再用三角形的内角和为
18
得出角 B，C 的关系，用三角函数的诱
导公式解之．
考查向量的数量积及三角函数的诱导公式．向量与三角结合是高考常见题型．
20.【答案】解：
Ⅰ
ᦙ
中，
第
!
语法错误，
页，共
1
页
1
4݅
2
2 4݅݅ 2 2
，
4
1cos
2 4݅݅ 2 2
，
2 2݅݅ 2
，
即
cos
2
2
，
ᦙ
2
2
，
ᦙ ൌ
，
ᦙ
4
．
Ⅱ
已知
4
，
ᦙ
的面积为
1
2 ݅ᦙ
1
2 4
2
2
，
3 2
，
2
2
2 ᦙ
18 1 2 3 2 4
2
2 1
．
【解析】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
Ⅰ
ᦙ
中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得
cos
2
2
，从而得到
ᦙ
2
2
，由此可得 C 的值．
Ⅱ
根据
ᦙ
的面积为
1
2 ݅ᦙ
求得 a 的值，再利用余弦定理求得 c 的值．
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