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1 珠海市斗门区第一中学 2020-2021 学年度 10 月质监测 高三数学试卷 说明:全卷共 2 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上相对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,答题卡交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请在答题卡上选涂相应选项。 1.已知命题  : 1,p x   , 3 16 8x x  ,则命题 p 的否定为( ) A.  : 1,p x    , 3 16 8x x  B.  : 1,p x    , 3 16 8x x  C.  : 1,p x    , 3 0 016 8x x  D.  0: 1,p x    , 3 0 016 8x x  2. 2 4x  的一个充分不必要条件是( ) A. 2x  B. 2x  C. 0 2x  D. 2 2x   3.某食品广告词为“幸福的人们都拥有”,初听起来这似乎只是普通的赞美之词,然而它的实际效果却很大, 原来这句广告词的等价命题是( ) A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福 4.已知命题“非 P”为真,而命题“P 且 Q”为假,则:( ) A.Q 为真 B.“非 P 或 Q”为假 C.“P 或 Q”为真 D.“P 或 Q”可真可假 5.已知 1F 、 2F 是定点, 1 2 6F F  .若点 M 满足 1 2 6MF MF  ,则动点 M 的轨迹是( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆 6.已知椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的离心率与双曲线   2 2 : 1 016 12 x yC b    的离心率互为倒数关系,则b ( ) A. 2 2 B. 2 3 C.4 D.6 2 7.若 m 为实数,则“1 2m  ”是“曲线 2 2 : 12 x yC m m   表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.直线 3by xa   与双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的交点个数是( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 9.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的焦距为 6,过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 与 A,B 两点,若 AB 的 中点坐标为 1, 1 ,则 C 的方程为( ) A. 2 2 145 36 x y  B. 2 2 118 9 x y  C. 2 2 145 9 x y  D. 2 2 172 36 x y  10.已知 P 是双曲线 2 2 : 14 y xE m   上任意一点,M,N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点,且直线 PM , PN 的斜率分别为 1k ,  2 1 2 0k k k  ,若 1 2k k 的最小值为 1,则实数 m 的值为( ) A.16 B.2 C.1 或 16 D.2 或 8 11.已知命题 p:椭圆 2 225 9 225x y  与双曲线 2 23 12x y  有相同的焦点;命题 q:函数   2 2 5 4 xf x x   的最小值为 5 2 ,下列命题为真命题的是( ) A. p q B. p q  C.  p q  D.  p q  12.已知点 P 是椭圆 2 2 14 3 x y  上一点, 1F , 2F 分别为椭圆的左、右焦点,M 为 1 2PF F△ 的内心,若 1 1 2 2MPF MF F MPFS S S △ △ △ 成立,则  的值为( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 2 2 D.2 二、填空题:术大题共 8 小题,每小题 5 分,麻烦 40 分,请将正确的答案写在答题卡上. 13.命题:若“ 3x  且 2x  ,则 2 5 6 0x x   ”是______(选填“真”或“假”)命题. 3 14.关于 x 的方程 2 10 0x x k   有两个异号根的充要条件是______. 15.已知命题 0:p x R  , 2 0 1 0mx   ,命题 :q x R  , 2 1 0x mx   ,若 p q 为假命题,则实数 m 的取值范围为______. 16.将圆 2 2 4x y  上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,所得曲线的方程为______. 17.已知 1F 、 2F 是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左、右焦点,点 P 为 C 上一点,O 为坐标原点, 2POF△ 为正三角形,则 C 的离心率为______. 18.双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 2,过其左支上一点 M 作平行于 x 轴的直线交渐近线于 P、Q 两点,若 4PM MQ  ,则该双曲线的焦距为______. 19.P 为椭圆 2 2 116 4 x y  上一点,  2,0Q ,则线段 PQ 长度的最小值为______. 20.已知双曲线 2 2 13 yx   的左顶点为 1A ,右焦点为 2F ,P 为双曲线右支上一点,则 1 2PA PF  的最小值为 ______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.(本题满分 10 分) 命题 p:方程 2 3 0x x m   有实数解,命题 q:方程+ 2 2 19 2 x y m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆. (1)若命题 p 为真,求 m 的取值范围; (2)若命题 p q 为真,求 m 的取值范围. 22.(本题满分 10 分) 已知 2: 2 1 0p x x    , : 3 4q x   ,  2 2: 12 0 0r x ax a a    . (1)判断 p 是 q 的什么条件; (2)如果 q 是 r 的充要条件,求 a 的值. 23.(本题满分 10 分) 已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     过点  0,2M ,离心率 6 3e  . (1)求椭圆的方程; 4 (2)设直线 1y x  与椭圆相交于 A、B 两点,求 AMBS△ . 24.(本题满分 10 分) 椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     离心率为 1 2 , 33, 2P       是椭圆上一点. (1)求椭圆方程; (2) 1F , 2F 是椭圆的左右焦点,过焦点 1F 的弦 AB 的中点为 1 ,2E t    ,求线段 2EF 长. 25.(本题满分 10 分) 已知圆  2 2 2: 4M x m y n   ( , 0m n  且 m n ),点  ,0N m ,P 是圆 M 上的动点,线段 PN 的垂直 平分线交直线 PM 于点 Q,点 Q 的轨迹为曲线 C. (1)讨论曲线 C 的形状,并求其方程; (2)若 1m  ,且 QMN△ 面积的最大值为 3 ,直线 l 过点 N 且不垂直于坐标轴,l 与曲线 C 交于 A,B, 点 B 关于 x 轴的对称点为 D.求证:直线 AD 过定点,并求出该定点的坐标. 5 珠海市斗门区第一中学 2020-2021 学年度 10 月质量监测 高三数学试题(答案)1. 1.【解答】解:命题 p 是全称命题,则命题 p 的否定是特称命题, 即命题 p 的否定是:  0: 1,p x    , 3 0 16 8x x  ,故选:C. 2.【解答】解:∵ 2 4x  的解集为  2,2x  ,选项中:   0,2 2,2   , ∴“ 2 4x  ”的一个充分不必要条件为: 0 2x  ,故选:C. 3.【解答】解:“幸福的人们都拥有” 我们可将其化为:如果人是幸福的,则这个人拥有某种食品 它的逆否命题为:如果这个没有拥有某种食品,则这个人是不幸福的 即“不拥有的人们不幸福” 故选:D. 4.【解答】解:“非 P”为真,∴P 一定为假, ∵命题“P 且 Q”为假, ∴两个命题中至少有一个为假, ∴“P 或 Q”不一定为真, 故选:D. 5. 【解答】解:对于在平面内,若动点 M 到 1F 、 2F 两点的距离之和等于 6,而 6 正好等于两定点 1F 、 2F 的距离,则动点 M 的轨迹是以 1F 、 2F 为端点的线段.故选:B. 6. 【解答】解:椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的离心率与双曲线   2 2 2: 1 04 x yC bb     的离心率互为倒数关系,椭 圆 2 2 : 116 12 x yC   的离心率: 16 12 1 216   ; 所以双曲线   2 2 2: 1 04 x yC bb     的离心率: 24 22 b  ,解得 2 3b  . 故选:B. 7.【解答】解:曲线 2 2 : 12 x yC m m   表示双曲线,则  2 0m m  ,解得 0 2m  . 6 ∴“1 2m  ”是“曲线 2 2 : 12 x yC m m   表示双曲线”的充分不必要条件. 故选:A. 8.【解答】解:双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的渐近线方程为: by xa   . 因为直线 3by xa   与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线平行, 在 y 轴上的截距为 3,所以直线 3by xa   双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的交点个数是:1. 故选:A. 9.【解答】解:设  1 1,A x y ,  2 2,B x y , 代入椭圆方程得 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ① ② ①-②得: 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0x x y y a b    , ∴ 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0x x y y y y a x x b      . ∵ 1 2 2x x  , 1 2 2y y   , 1 2 1 2 1 0 1 1 3 2AB y yk x x       . ∴ 2 2 2 1 2 02a b    , 化为 2 22a b ,又 2 23c a b   ,解得 2 18a  , 2 9b  . ∴椭圆 C 的方程为 2 2 118 9 x y  . 故选:B. 10. 解答】解:设  ,P A y ,  ,M s t ,则  ,N s t  , 则有 2 2 14 t s m   , 2 2 14 y x m   , 7 两式相减得, 2 2 2 2 04 t y s x m    , 则有 2 2 2 2 4t y s x m   , 而 1 t yk s x   , 2 t yk s x     , ∴ 2 2 1 2 1 2 2 2 4t yk k k k s x m      . ∴ 1 2 1 2 42 2 1k k k k m      . 得 16m  . 故选:A. 11. 【解答】解:p 中:椭圆为 2 2 19 25 x y  ,双曲线为 2 2 112 4 x y  , 焦点坐标分别为 0, 4 和 4,0 ,故 p 为假命题; q 中:   2 2 2 2 5 14 4 4 xf x x x x       , 设 2 4 2t x   ,则   1f t t t   在区间 2, 上单调递增, 故  min 5 2f x  ,故 q 为真命题。所以 p q  为真命题, 故选:B. 12.【解答】解:设 1 2PF F△ 的内切圆的半径为 r, ∵M 为 1 2PF F△ 的内心, 1 1 2 2MPF MF F MPFS S S △ △ △ , ∴ 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2PF F F PF   , ∴ 1 1 2 2PF F F PF  , ∴ 1 2 1 2PF PF F F  , ∵点 P 是椭圆上一点, 1 2F F 分别为椭圆的左、右焦点, ∴ 2 22 2a a b   8 ∴ 2 2 2 2 4 3 a a b      . 故选:D. 13.【解答】解:命题“ 3x  且 2x  ,则 2 5 6 0x x   ”的逆否命题是: 若 2 5 6 0x x   ,则若 3x  或 2x  ,其是真命题, 故原命题是真, 故答案为:真. 14. 【解答】解:设方程 2 10 0x x k   的两个根为 1x , 2x , 因为方程有两个异号根 所以 1 2 100 4 0 0 x x x k        解得 0k  . 所以关于 x 的方程 2 10 0x x k   有两个异号根的充要条件是 0k  . 15. 【解答】解:若 p q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 命题 0:p x R  , 2 0 1 0mx   ,则 0m  ,当 0m  时,p 为假命题.① 命题 :q x R  , 2 1 0x mx   ,若 q 为真命题, 则 2 4 0m    , 2 2m   , ∴当 q 为假命题时, 2m   或 2m  .② 由①②可得 m 的取值范围为 2m  故答案为:  2,x  16.【解答】解:由题意纵坐标变为原来的一半可得:  22 2 4x y  , 整理可得: 2 2 14 x y  故答案为: 2 2 14 x y  . 17. 【解答】解:连接 1PF ,由 2POF△ 为等边三角形可知在 1 2F PF△ 中, 1 2 90F PF   , 2PF c , 1 3PF c , 9 所以  1 22 3 1a PF PF c    , 故曲线 C 的离心率 3 1ce a    . 故答案为: 3 1 . 18. 【解答】解:设  0 0,M x y ,则有: 2 2 0 0 2 2 1x y a b   双曲线的渐近线方程为: by xa   当 0y y 时, 0 ax yb   ,即 0 0,aP y yb     , 0 0,aQ y yb      ∴ 0 0 aMP y xb    , 0 0 aMQ y xb   , ∴ 2 2 2 0 0 0 0 0 02 4a a aMP MQ y x y x x yb b b                   . 又 2 2 0 0 2 2 1x y a b   ,即 2 2 2 20 0 2 a yx ab   所以 2 4a  ,即 2a  ,则离心率 22 c ce a    ,所以 4c  ,焦距为 8. 故答案为 8. 19.解:设  4cos ,2sinP   ,  0,2 , 则    2 22 4cos 2 2sinPQ     2 216cos 16cos 4 4sin       24 3cos 4cos 2    , 令 cos t  ,  1,1t   ,   2 2 2 2 84 3 4 2 12 3 3PQ t t t         , ∴当 2 3t  时, PQ 取最小值,最小值为 2 6 3 , 10 故答案为: 2 6 3 . 20.【解答】解:根据题意,设   0 0 0, 1P x y x  , 易得  1 1,0A  ,  2 2,0F , 故     2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 01 , 2 , 2PA PF x y x y x x y           又 2 2 0 0 13 yx   ,故  2 2 0 03 1y x  , 故 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 812 4 5 4 8 16PA PF x x y x x x                , 当 0 1x  时,取到最小值-2; 故答案为:-2. 21. 【解答】解:(1)若 2 3 0x x m   有实数解, ∴  23 4 0m     ,解得 9 4m  , 所以若命题 p 为真,m 的取值范围是: 9, 4     (2)若椭圆焦点在 x 轴上,所以 9 0 2 0 9 2 m m m m          ,解得 112 2m  , 所以若命题 q 为真,m 的取值范围是 112, 2      若命题 p q 为真, 则 p,q 都为真,∴ 112 2m  且 9 4m  , ∴. 92 4m  . ∴m 的取值范围是 92, 4      . 22. 【解答】解:(1) 2: 2 1 0p x x    ,解不等式得: 1 12x x       ; 11 因为  1 1 3 42x x x x            所以 p 是 q 的充分不必要条件. (2)因为 q 是 r 的充要条件, 所以不等式  2 212 0 0x ax a a    的解集是 3 4x x   所以 1 3x   , 2 4x  是方程 2 212 0x ax a   的两根 由韦达定理得: 2 3 4 3 4 12 a a        ,解得 1a  23.【解答】解:(1)由题意得 2b  , 6 3 c a  结合 2 2 2a b c  ,解得 2 12a  所以,椭圆的方程为 2 2 112 4 x y  . (2)由 2 2 112 4 1 x y y x       得  22 3 1 12x x   即 24 6 9 0x x   ,经验证 0  . 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y . 所以 1 2 3 2x x   , 1 2 9 4x x   , 故        2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 102 2 4 2AB x x y y x x x x x x            因为点 M 到直线 AB 的距离 0 2 1 2 22 d    , 所以 1 1 3 10 2 3 5 2 2 2 2 4AMBS AB d      △ . 12 24.【解答】解:(1)由题意可得 2 2 2 2 2 1 2 3 3 14 c a a b a b c           ,解得 2 4a  , 2 3b  , 2 1c  故椭圆 C 的方程为 2 3 14 3 x y  ; (2)由题意知直线 AB 的斜率存在 设  : 1AB y k x  ,  1 1,A x y ,  2 2,B x y , 联立椭圆与直线 AB 方程:   2 2 1 14 3 y k x x y       消去 y 得: 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     , 故     22 2 28 4 3 4 4 12 0k k k      2 1 2 2 8 13 4 kx x k      ,解得: 2 3 4k  . 将 1 2x   代入  1y k x  得 2 ky  ,故 1 ,2 2 kE     , ∴ 2 2 2 1 9 9 3 3912 2 4 4 4 16 43 k kEF                   25. 【解答】解:(1)当 m n ,即 N 点在圆 M 外时,轨迹是双曲线,如图: 因为 QP QN ,则 2 2QN QM QP QM MP r n MN m        , 所以点 Q 的轨迹是以 M,N 为焦点,以 2n 为实轴长的双曲线, 则 Q 点轨迹方程: 2 2 2 2 2 1x y n m n   ; 当 m n ,即 N 点圆 M 内时,轨迹是椭圆,如图: 13 因为 QP QN ,则 4 2 2QN QM QP QM MP n MN m        , 所以点 Q 的轨迹是以 M,N 为焦点,以 2n 为长轴长的椭圆, 则 Q 点轨迹方程为 2 2 2 2 2 1x y n n m   ; (2)因为 QMN△ 的面积有最大值,故此时 Q 点轨迹是椭圆, 即 Q 点所在方程为 2 2 2 2 11 x y n n   . 且当 Q 点为短轴顶点时 QMN△ 的面积最大,即有 21 2 1 32 n   ,解得 2 4n  , 所以 Q 点方程为 2 3 14 3 x y  ,  1,0N , 设直线  : 1 0l x ty t   ,  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,  2 2,D x y 联立 2 2 1 3 4 12 x ty x y      ,整理得  2 23 4 6 9 0t y ty    . 则 1 2 2 6 3 4 ty y t    , 1 2 2 9 3 4y y t   ,① 因为   1 2 1 2 1 2 1 2 AD y y y yk x x t y y     , 所以直线 AD 的方程为        1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1y y y yy y x x x tyt y y t y y           , 令 0y  ,得 1 2 1 2 2 1ty yx y y   将①代入得 4x  ,则直线 AD 必过点(4,0),证毕. 查看更多

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