资料简介
2020-2021 学年擎云级高二上学期 期中考模拟试卷
高二数学试题·第 1 页（共 4 页）
绝密★启用前
福建师大附中 2020-2021 学年上学期期中考模拟试卷
高二数学（实验班）
第 I 卷（选择题，共 64 分）
一、单项选择题：每小题 6 分，共 48 分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知 ?, ? ∈ (0, ?)，则“sin ? + sin ? <
1
3
”是“sin(? + ?) <
1
3
”的（ ▲ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知直线 ?: ? sin ? + ? cos ? = 1 (0 ≤ ? < 2?) 与圆 ?: (? − 2)2 + (? − √5)
2
= 4 相切，则满足条件的
? 的个数为（ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知圆 ?1: (? + 2?)2 + ?2 = 4 与圆 ?2: ?2 + (? − ?)2 = 1 有且仅有 1 条公切线，则
1
?2 +
1
?2 的最小
值为（ ▲ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 已知点 ?(?, ?) 在曲线 ?: ?2 + ?2 − 4? − 21 = 0 上运动，设 ? = ?2 + ?2 + 12? − 12? − 150 − ?，且
? 的最大值为 ?，若 ?, ? > 0，则
1
?+1
+
1
?
的最小值为（ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图所示，两半径相等的圆 ?, ? 相交，?? 为它们的公切线段，且两块阴影部分面积相等，在线段 ??
上任取一点 ?，则 ? 在线段 ?? 上的概率为（ ▲ ）
A. 1 −
?
4
B. 2 −
?
2
C.
2
?
− 1 D.
4
?
− 1
6. 已知区域 ? = {(?, ?)| {
? + ? − 2 ≤ 0
? − ? + 2 ≤ 0
3? − ? + 6 ≥ 0
}，给定下列四个命题：
?1: ∀(?, ?) ∈ ?, ? + ? + 1 ≥ 0 ?2: ∀(?, ?) ∈ ?, 2? − ? + 2 ≤ 0
?3: ∃(?, ?) ∈ ?,
?+1
?−1
≤ −4 ?4: ∃(?, ?) ∈ ?, ?2 + ?2 ≤ 2
则下列选项中是真命题的为（ ▲ ）
A. ?1 ∧ ?3 B. ?2 ∧ ?4 C. ?1 ∧ ?4 D. ?2 ∧ ?3
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7. 已知在 △ ??? 内有一点 ? 满足 ∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = ?，给定下列两个命题：
?: 存在点 ? 使得 ? ≥ 36° ?: 存在点 ? 使得 ?, ?, ? 成等比数列
则下列选项中是真命题的为（ ▲ ）
A. ? ∧ ? B. ? ∧ (¬?) C. (¬?) ∧ ? D. (¬?) ∧ (¬?)
8. 在平面直角坐标系中，定义 ?(?, ?) = max{|?1 − ?2|, |?1 − ?2|} 为两点 ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) 的“切比雪
夫距离”，并对于点 ? 与直线 ? 上任意一点 ?，称 ?(?, ?) 的最小值为点 ? 与直线 ? 间的“切比雪
夫距离”，记作 ?(?, ?)，给定下列四个命题：
?1: 对于任意的三点 ?, ?, ?，总有 ?(?, ?) + ?(?, ?) ≥ ?(?, ?)
?2: 若点 ?(3, 1)，直线 ?: 2? − ? − 1 = 0，则 ?(?, ?) =
4
3
?3: 满足 ?(?, ?) = ? (? > 0) 的点 ? 的轨迹为正方形
?4: 若点 ?1(−?, 0), ?2(?, 0)，则满足 |?(?, ?1) − ?(?, ?2)| = 2? (2? > 2? > 0) 的点 ? 的轨迹与直线
? = ? (?为常数) 有且仅有 2 个公共点
则下列选项中真命题的个数为（ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：每小题 6 分，共 12 分．在每小题给出的选项中，正确选项不少于 2 个，全部选对得 6 分，
选对但不全得 3 分，有选错得 0 分．
9. 在平面直角坐标系中，直线 ?: ? = ?(? − 2) + 3 与坐标轴分别交于点 ?, ?，则下列选项中是真命题的
有（ ▲ ）
A. 存在正实数 ? 使得 △ ??? 面积为 ? 的直线 ? 恰有一条
B. 存在正实数 ? 使得 △ ??? 面积为 ? 的直线 ? 恰有二条
C. 存在正实数 ? 使得 △ ??? 面积为 ? 的直线 ? 恰有三条
D. 存在正实数 ? 使得 △ ??? 面积为 ? 的直线 ? 恰有四条
10. 下列选项中说法正确的有（ ▲ ）
A. “若点 (2, 1) 在圆 ?2 + ?2 + ?? + 2? + ?2 − 15 = 0 外，则 ? < −4 或 ? > 2”的否命题
B. 已知直线 ? = ?? 与圆 (? + cos ?)2 + (? − sin ?)2 = 1，∀? ∈ ℝ，总有 ? 使得直线与圆恒相切
C. 已知直线 ? = ?? 与圆 (? + cos ?)2 + (? − sin ?)2 = 1，∀? ∈ ℝ，总有 ? 使得直线与圆恒相切
D. 过直线 2? + ? + 4 = 0 上的动点 ? 引圆 ?: ?2 + ?2 − 2? = 1 的两条切线，?, ? 为切点，则四边
形 ???? 面积的最小值为 2√2
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第 II 卷（非选择题，共 86 分）
三、填空题：每小题 6 分，共 24 分．
11. 已知五个互不相等的样本 ?1, ?2, ?3, ?4, ?5 ∈ ℕ，它们的平均数为 7，标准差为 2，则样本数据中最大值
为 ▲ ．
12. 已知点 ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) 是曲线 ?2 + ?2 − 2? + 4? = 0 上的两点，则 |?1?2 − ?2?1| 的最大值为
▲ ．
13. 已知区域 ? 表示不在直线 (1 − ?2)? + 2?? = 2 + 2√3? (? ∈ ℝ) 上的点构成的集合，在区域 ? 内
任取一点 ?(?, ?)，则
√3?+?
√?2+?2
的取值范围为 ▲ ．
14. 已知在平面内有 ?1, ?2, … , ?? 共 ? 个点，若在该平面内有点 ? 到 ?1, ?2, … , ?? 的距离之和最小，则称
点 ? 为点 ?1, ?2, … , ?? 的一个“中位点”，给定下列四个命题：
?1: 若三点 ?, ?, ? 共线，且 ? 在线段 ?? 上，则 ? 是 ?, ?, ? 的“中位点”
?2: 若四点 ?, ?, ?, ? 共线，则它们的“中位点”存在且唯一
?3: 直角三角形的斜边中点是该直角三角形三个顶点的“中位点”
?4: 梯形对角线交点是梯形四个顶点的唯一“中位点”
则上述命题中真命题有 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
四、解答题：4 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (16 分)已知圆 ?: (? − 2)2 + ?2 = 1，过直线 ?: ? = −1 上一动点 ? 作圆的两条切线，切点分别为 ?, ?．
(I) 当有一条切线于坐标轴平行时，求另一条切线的方程；
(II) 当圆切点弦所对的圆心角最小时，求 |??| 的值；
(III) 记切线 ??, ?? 分别交 ? 轴于点 ?, ?，求 |??| 的最小值．
16. (16 分)若过点 ? 的两直线 ?1, ?2 斜率之积为 ? (? ≠ 0)，则称直线 ?1, ?2 是一组“?? 共轭线对”．
(I) 若直线 ?1, ?2 是一组“?−3 共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；
(II) 若点 ?(0, 1), ?(−1, 0), ?(1, 0) 分别是直线 ??, ??, ?? 上的点（?, ?, ?, ?, ?, ? 均不重合），且直线
??, ?? 是一组“?1 共轭线对”，直线 ??, ?? 是一组“?4 共轭线对”，直线 ??, ?? 是一组“?9 共轭
线对”，求点 ? 的坐标；
(III) 若直线 ?1, ?2 是一组“?−2 共轭线对”，其中点 ?(−1, −√2)，当两直线旋转时，求原点到两直线
距离之积的取值范围．
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高二数学试题·第 4 页（共 4 页）
17. (18 分)疫苗能够使人体获得对病毒的免疫力，是保护健康人群最有效的手段．新冠肺炎疫情发生以来，
军事医学科学院陈薇院土领衔的团队开展应急科研攻关，研制的重组新型冠状病毒疫苗（腺病毒载体），
于 4 月 12 日开始招募志愿者，进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，
人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．科研人员要定期从接种疫苗的志愿者身上采集血液样本，
检测人体中抗体含量水平（单位：???/??，百万国际单位/毫升）．
(I) IgM 作为人体中首先快速产生的抗体，是人体抗感染免疫的“先头部队”．经采样分折，志愿者身
体中 IgM 含量水平 ? (???/??) 与接种天数 ?（接种后每满 24 小时为一天，? ∈ ℕ∗）近似满足函数
关系：? = {
0.1?, ? ≤ 10
?10−?, ? > 10
．经研究表明，IgM 含量水平不低于 0.2???/?? 时是免疫的有效时段，试
估计接种一次后 IgM 含量水平有效时段可经历的时间（向下取整）．（参考数据：? ≈ 2.718）
(II) IgG 虽然是接种后产生比较慢的抗体，却是血清和体液中含量最高的抗体，也是亲和力最强、人体
内分布最广泛、具有免疫效应的抗感染“主力军”．科研人员每间隔 3 天检测一次（检测次数依次记为
?? , ? = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7）某志愿者人体中 IgG 的含量水平，记作 ?? (???/??) (? = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)，得到
相关数据如下表：
?? (次) 1 2 3 4 5 6 7
?? (???/??) 0.09 0.38 0.95 4.85 3.35 7.48 17.25
(i) 请画出散点图，并根据散点图判断，线性拟合模型 ? = ? + ?? 与指数拟合模型 ? = ? ∙ ?? 哪种更
适合拟合 ? 与 ? 的关系（不必说明理由）；
(ii) 研究人员发现，上述数据中存在一组异常数据应当予以剔除．试根据余下的六组数据，利用(i)中选
择的拟合模型计算回归方程，并估计原异常数据对应的 ?? 值．（回归系数与估计值均保留两位小数，
由七组数据计算出的参考数据见下表，其中 ? = ln ?）
?̅ ?̅? ∑ ???? ∑ ???? ln 0.06 ln 1.55 ln 2.27 ln 4.85
4.91 0.60 205.48 39.87 −2.84 0.44 0.82 1.58
参考公式：线性回归直线 ?̂? = ?̂? + ?̂?? 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
?̂? =
∑(?? − ?̅?)(?? − ?̅?)
∑(?? − ?̅?)2
, ?̂? = ?̅? − ?̂??̅?
18. (16 分)某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟
内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂
成三个活细胞．若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该
系统中仍有活细胞存活的概率．
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高二数学答案·第 1 页（共 1 页）
绝密★启用前
福建师大附中 2020-2021 学年上学期期中考模拟试卷
高二数学（实验班）答案
第 I 卷（选择题，共 64 分）
一、单项选择题：每小题 6 分，共 48 分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D A D B C D
二、多项选择题：每小题 6 分，共 12 分．在每小题给出的选项中，正确选项不少于 2 个，全部选对得 6 分，
选对但不全得 3 分，有选错得 0 分．
9 10
BCD AC
第 II 卷（非选择题，共 86 分）
三、填空题：每小题 6 分，共 24 分．
11 12 13 14
10
15√3
2
(1, 2) ?1, ?4
四、解答题：4 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：(I) 3? + 4? − 1 = 0 或 3? − 4? − 1 = 0
(II) |??|??? =
4√2
3
(III) |??|??? =
√2
2
16. 解：(I)
?
3
,
2?
3
(II) ?(3, 3) 或 ? (
3
5
,
3
5
) (III) ?1?2 ∈ [0, √2)
17. 解：(I) 9 天
(II) (i) 指数拟合模型 ? = ? ∙ ??
(ii) ?̂? = 0.06 × 2.27?；?4̂ = 1.55
18. 解：2√2 − 2
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