资料简介
1
北京大兴区第一中学 2020-2021 学年高二第一学期期中考试数学试题
一、单选题(共 40 分)
1．经过 ( 2,0), ( 5,3)A B 两点的直线的倾斜角是（ ）
A． 45 B． 60 C．90 D．135
2．已知向量 0,1,1a ， 1, 2,1b
.若 a b 与 2, , 4c m 平行，则实数 m的值是（ ）
A．2 B． 2 C．10 D． 10
3．若向量 1,2,3 , 3,2,1AB AC ,则平面 ABC 的一个法向量为（ ）
A． 1,2, 1 B． 1,2,1 C． 1,2, 1 D． 1,2,1
4．无论 m 取何值，直线 3 1 4 1 12 1 0m x m y m 都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）
A． ( 8,9) B．(9, 8) C． (15, 14) D． ( 14,15)
5．如图在一个120的二面角的棱上有两点 ,A B ，线段 ,AC BD 分
别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱 AB 垂直，若 2AB ，
1AC ， 2BD ，则 CD 的长为（ ）.
A．2 B．3 C． 2 3 D．4
6．已知直线 l 的方向向量为 m
,平面 的法向量为 n
,则“ 0m n ”是“l ∥ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴
长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点 1F ， 2F 均在 x 轴上，C 的面积为 2 3π ，且短轴长为 2 3 ，
则C 的标准方程为（ ）
A．
2
2 112
x y B．
2 2
13 4
x y C．
2 2
14 3
x y D．
2 2
116 3
x y
8．已知 P 为空间中任意一点，A、B、C、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
2
且 4 1
3 6PA PB xPC DB ，则实数 x 的值为（ ）
A． 1
3 B． 1
3
C． 1
2 D． 1
2
9．设椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
0)a b （ 的左、右焦点分别为 1 2( ,0) ( ,0)F c F c ， ，点 ( , )2
aN c 在椭圆的外
部，点 M 是椭圆上的动点，满足 1 1 2
3
2MF MN F F 恒成立，则椭圆离心率 e 的取值范围是
A． 2(0 )2
， B． 2( 1)2
， C． 2 5( )2 6
， D． 5( ,1)6
10．过圆 C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 的圆心，作直线分别交 x，y 正半轴于点 A，
B，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ，
则这样的直线 AB 有（ ）
A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条
二、填空题(共 25 分)
11．椭圆
2
2 14
x y 的焦距为 .
12．已知圆的方程是 2 2 1x y ，则经过圆上一点 2 2,2 2M
的切线方程是__________．
13．在正方体 1 1 11ABCD A B C D 中，则直线 1BC 与平面 1A BD 所成角的正弦值为__________
14．在空间中，四条不共线的向量 OA 、 OB 、OC 、OD 两两间的夹角均为 ．则 cos 的大小为
__________．
15．如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 是边长为
2 的正方形，侧面 底面 ， 为底面 内的一个动点，且满足
，则点 在正方形 内的轨迹的长度为_______
3
三、解答题(共 85 分)
16．已知 ABC 的三个顶点 ( , )3 7A ， ( , )2 5B ， ( , )3 5C ，点 D 为 AC 的中点．
（1）求点 D 的坐标；
（2）求直线 BD 的方程．
（3）求△ABD 的面积．
17．已知圆 2 2: 4 2 3 0C x y x y 和点 (0, 8)M ，
（1）判断点 M 与圆 C 的位置关系
（2）过点 M 作一条直线与圆C 交于 ,A B 两点，且| | 4AB ，求直线 AB 的方程；
（3）过点 M 作圆 C 的切线，切点为 ,E F ，求 EF 所在的直线方程．
.
18、已知焦点在 x 轴上的椭圆，左右焦点分别为 ,1 2F F ，上顶点为 B ，且三角形 1 2F F B 为等腰直角三角
形，过 2F 斜率为 1 的直线 l 交椭圆与 ,E F 两点。
（1）求椭圆的离心率；（2）若| | 8
3EF ，求椭圆标准方程。
19．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的
夹角都是 60 ，M 为 1 1AC 与 1 1B D 的交点.若 AB a ，AD b ， 1AA c
设平面 ABC 的法向量 n a yb zc
（1）用 , ,a b c
表示 BM
；（2）求 n 及 n 的长度；；（3）求点 M 到平面 ABC
的距离
4
20．如图,四棱锥 S ABCD 的侧面 SAD 是正三角形, / /AB CD ,且
AB AD , 2 4AB CD , E 是 SB 中点.
（1）求证： / /CE 平面 SAD ；
（2）若平面 SAD 平面 ABCD ,且 4 2SB ,求平面 EAC 与平
面 ACB 夹角的余弦值.
21、设 ,A B 两点的坐标分别为 ( , ),( , )2 0 2 0 直线 ,AE BE 相交于点 E ，且它们的斜率之积为 1
4 ,直线l 方
程： 4x ，直线 ,AE BE 与直线 l 分别相交于 ,M N 两点， AN 交轨迹 E 与点 F
（1）求点 E 的轨迹方程。
（2）求证： , ,M B F 三点共线
（3）求证：以 MN 为直径的圆过定点。
5
参考答案
1D 2A 3C 4A 5B 6B 7C 8A 9D 10B
11 2 3 12 2 0x y 13 6
3
14
1-3 15 5
16 解：（1）设 D（x，y），
则 3 3 02x
， 7 5 12y
，
∴点 D 的坐标为（0，1）．
（2）∵直线 BD 的斜率为 5 1 22 0k
．
∴直线 BD 的方程为：y–1=–2（x–0），即 2x+y–1=0．
（3）∵ 2 22 0 5 1 2 5BD ，
∴A 到直线 BD 的距离为
2 2
2 3 7 1 12 5
52 1
d
．
∴△ABD 的面积为 1 1 12 52 5 122 2 5ABDS BD d
．
17 解：（1）点 M 坐标代入圆方程得： 0 64 0 16 3 45 0 ，所以点 M 在圆外
（2）圆 2 2:( 2) ( 1) 8C x y ，则圆心 (2, 1)C ，半径 2 2r ，
①若直线 AB 的斜率存在，设直线 : 8AB y kx ，
即 2 2
2
| 2 1 8| 458 0, (2 2) 2 ,281
kkx y d k
k
此时，直线 AB 方程为 45 8 028 x y ；
②若直线 AB 的斜率不存在，则直线 : 0AB x ，代入 2 2 3 0y y 得 1 21, 3y y ，
6
此时 AB 4 ，合乎题意.
综上所求直线 AB 的方程为： 0x 或 45 28 224 0x y ；
（3）以 CM 为直径的圆的方程 2 1 8 0x x y y ，
即： 2 2 2 9 8 0x y x y ，①； 2 2 4 2 3 0x y x y ，②.
1 -②得 2 7 11 0x y ，因此，直线 EF 的方程为 2 7 11 0x y .
18 解：（1）在等腰直角三角形 1 2F F B 中， 1 2 12F F F B ，
即 2 2a c ，所以 2
2e
（2）由（1）设 ( , )2 0F c ， ( , )1 1E x y ， ( , )2 2F x y
得椭圆方程为
2 2
2 2 12
x y
c c
直线l 方程： y x c ，与椭圆方程联立，消元得：
23 4 0x cx
解得： ,1 2
40 3
cx x
所以 | |2
2 11EF k x x = | |41 1 03
c
得 4 2 8 23 3c c
所以椭圆方程为
2 2
14 2
x y
19 解：（1） 1 1
1 1 1
2 22BM BA A M c a a a b cb
（2）由题意知 1
2a b b c c a 由
0
0
n a
n b
得：
1 11 02 2
1 1
2 2
y z
y z
解得： 1, 3y z
所以 3n a b c
7
| | 2 2 29 2 6 6n a b c a b a c c b = 6
（3）因为 / /1A M 平面 ABC ，所以点 M 到平面 ABC 的距离等于点 1A 到平面 ABC 的距离
所以 | |
| |
c nd n
= | |1 1 3 62 2
36
8
20 解：（1）取 SA的中点 F ,连接 EF ,
因为 E 是 SB 中点,
所以 EF AB∥ ,且 2AB EF ,
又因为 AB CD∥ , 2AB CD ,
所以 EF DC , EF DC ,
即四边形 EFDC 是平行四边形,
所以 EC FD∥ ,
又因为 EC 平面 SAD , FD 平面 SAD ,
所以CE 平面 SAD ；
（2）方法一：取 AD 中点O ,连接 SO , BO ,
因为 SAD 是正三角形,所以 SO AD ,
因为平面 SAD 平面 ABCD , AB AD
所以 SO 平面 ABCD , AB 平面 ABCD ,
所以 AB SA ,
故 2 2 4 SA SB AB ,
以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ,则 (0,0,0)O ,
(0, 2,0)A , (4, 2,0)B , (2,2,0)C , (0,2,0)D , (0,0,2 3)S , (2, 1, 3)E ,
所以 (0, 3, 3)
CE , ( 2, 4,0)
CA ,
设平面 ACE 的法向量为 ( , , )m x y z ,则 3 3 0 y z , 2 4 0x y ,
令 1y 得 (2,1, 3)m ,
易知平面 ACB 的法向量为 (0,0,1)n ,
则 3 6cos , | || | 42 2
m nm n m n
r rr r r r ,
9
所以平面 EAC 与平面 ACB 夹角的余弦值为 6
4
.
21 解：（1）设 ( , )E x y ，由题意 ( )22AE
yk xx
， ( )22BE
yk xx
由已知有 ( )1 22 2 4
y y xx x
化简得 ( )
2
2 1 24
x y x
（2）设 AE 方程为： ( 2),( 0)y k x k
令 4x 得点 (4,6 )M k
由 2 2
( 2)
4 4
y k x
x y
消元得： 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k
显然 0 恒成立
由
2
2
16 4
1 4A E
kx x k
，且 2Ax ，得：
2
2
2 8
1 4E
kx k
代入直线 l 方程得 2
4
1 4E
ky k
又因为 (2,0)B ，所以： 1
4BEk k
所以直线 BE 为： 1 ( 2)4y xk
令 4x 得点 1(4, )2N k
， 1
12ANk k
联立方程
2 2
1 ( 2)12
4 4
y xk
x y
消去 x 得： ( )2 236 1 12 0k y ky
所以 2
12
36 1F
ky k
，
2
2
72 2
36 1F
kx k
6 34 2BM
kk k
2
2
2
12
36 1 372 2 236 1
F
FB BM
F
ky kk k kky k
,BM BF 有公共点 B ，所以 , ,M B F 三点共线
10
（3）设以 MN 为直径的圆上点 ( , )P x y ，则 MP NP
所以圆方程为 ( )( ) ( )( )14 4 6 02x x y k y k
即 ( ) ( )2 2 14 6 3 02x y k yk
当 2 2
0
( 4) 3 0
y
x y
时与 k 无关
所以以 MN 为直径的圆过定点（4 3，0）
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记