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- 1 - 河北省鸡泽县第一中学 2020-2021 学年高二第一学期 期中考试(数学) 1. 本试卷分第Ⅰ卷(客观题)第Ⅱ卷(主观题)两部分,试卷满分 150 分, 时间 120 分钟. 2. 请将答案填写在答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一 、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.在等差数列 na 中,若 134 a , 257 a ,则公差 d 等于 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知 pqxxqxp 是则,02:;2|:| 2  的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC 中,若 a2+b2<c2,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 4.已知命题 p :负数的立方都是负数,命题 :q 正数的对数都是负数,则下列命题中是真命题的 是 A.   qp  B. qp  C.    qp  D.    qp  5.已知 F 是双曲线 C : 2 2 3 ( 0)x my m m   的一个焦点,则点 F 到C 的一条渐近线的距离 为( ) A . 3 B .3 C . 3m D .3m 6.已知数列{ na }是递增等比数列, 16,17 4251  aaaa ,则公比 q A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 7.某观察站C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A在观察站C 北偏东 30  ,灯塔 B 在观察站C 南偏东 30  处,则两灯塔 A、 B 间的距离为( ) A.800 米 B.700 米 C.500 米 D. 400 米 8.在下列函数中,最小值是 2 的是( ) 1 1lg (1 10)lgA y x B y x xx x       - 2 - 13 3 ( ) sin (0 )sin 2 x xC y x R D y x xx        9.已知实数 x,y 满足 如果目标函数 z=y﹣x 的最小值为﹣2,则实数 m 等 于( ) A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.1 10.已知抛物线 2 2 1 xy  的焦点与椭圆 12 22  x m y 的一个焦点重合,则 m=( ) A. 4 7 B. 64 127 C. 4 9 D. 64 129 11. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列  na 中 , 公 比 )1,0(q . 若 553  aa , 462 aa , nn ab 2log 数列  nb 的前 n 项和为 nS ,则当 n SSS n 21 21 取最大值时, n 的值为 ( ) A.8 B.9 C.8 或 9 D.17 12. 椭 圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1F 、 2F , P 是 椭 圆 上 一 点 , 且 2),22 1( 2121   PFFPFPF ,则该椭圆的离心率的取值范围为( ) A. ]2 2,0( B. ]3 5,2 2[ C. ]5 3,3 2[ D. )1,3 5[ 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应的位置上。) 13.命题“ 0 ,x R  使 00 lgsin xx  ”的否定是 ______ . 14.过抛物线 y2=4x 的焦点且斜率为 1 的直线交该抛物线于 A、B 两点,则|AB|= ______ . 15.设 a>0,b>0, 是 a 与 b 的等比中项,logax=logby=3,则 的最小值为 . 16.已知点 P 为椭圆 123 22  yx 上一动点,F 为椭圆的左焦点,若直线 PF 的斜率大于 2 , - 3 - 则直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围为______ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分) 在 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,且, cos (2 )cosa C b c A  (1)求 Acos 的值; (2)若 6a , 8 cb ,求三角形 ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=2,an+1=Sn+2(n ∈ N*). (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 19.(本小题满分 12 分) 某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动,经测算该商品的销售量 s 万件与促销费用 x 万元满足 34 2s x    .已知 s 万件该商品的进价成本为 20 3s 万元,商品的销售价格定 为 305 s  元/件. (1)将该商品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,商家的利润最大?最大利润为多少? 20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 )0(2: 2  ppxyC 的焦点 CF, 上一点 ),3( m 到焦点的距离为5. (1)求C 的方程; (2)过 F 作直线l ,交C 于 BA, 两点,若直线 AB 中点的纵坐标为 1 ,求直线l 的方程. 21.(本小题满分 12 分) 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,点 ( , )( )nSn n Nn  均在函数 3 2y x  的图象上. (1)求证:数列{ }na 为等差数列; (2)设 nT 是数列 1 3{ } n na a  的前 n 项和,求使 20n mT  对所有 n N 都成立的最小正整数 m . - 4 - 22.(本小题满分 12 分) 已知点 (0, 2)A  ,椭圆 E : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 3 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线l 与 E 相交于 ,P Q 两点,当 OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C C A D B C A C C B 二、填空题 13. ,x R  使sin lgx x 14. 8 15、 16. )3 32,3 2()3 32,(  三、解答题 17、(本小题满分 10 分) 解:解:由已知及正弦定理可得 ABACCA cossin2cossincossin  ……………2 分 由两角和的正弦公式得 ABCA cossin2)sin(  ………………………………………3 分 由三角形的内角和可得 ABB cossin2sin  …………………………………………… 4 分 因为 0sin B ,所以 2 1cos A ……………………………………………………………5 分 (2) 由余弦定理得:   bcbccbbccb 36432 1236 222  , 3 28bc ,…………………………………………………………………………………8 分 - 5 - 由(1)知 2 3sin A ……………………………………………………………………9 分 所以 3 37 2 3 3 28 2 1 ABCS .………………………………………………………10 分 18、(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 a1=2,an+1=Sn+2(n ∈ N*),① an=Sn﹣1+2(n≥2),②…………………………………………………………………1 分 ①﹣②,得 (n≥2).………………………………………3 分 又由 a2=S1+2=4,得 .……………………………………………………………4 分 所以 (n≥1), 数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 .…………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 ,③ 2Tn=1×22+2×33+3×24+…+n×2n+1,④……………………………………………7 分 ③﹣④,得 .………………………………………9 分 所以 .…………………………………………………………………12 分 19、(本小题满分 12 分) 解:(1)由题意知, xssxssy  102)320()305( 将 2 34  xs 代入化简得: xxy  2 618 ; (2) )]2(2 6[202 618  xxxxy ∵ 62)2(2 6  xx ,当且仅当 22 6  xx ,即 26 x 时,取等号, ∴ 26 x 时,商家的利润最大,最大利润为 6220  . 20、(本小题满分 12 分) 、解:(1)法一:抛物线C : )0(22  ppxy 的焦点 F 的坐标为 )0,2( p , - 6 - 由已知 2 2 2 2 3 (3 ) 52 m p p m        …………………………………………2 分 解得 4p 或 16p ∵ 0p ,∴ 4p ∴C 的方程为 xy 82  .……………………………………………………4 分 法二:抛物线 C : )0(22  ppxy 的准线方程为 ,2 px  由抛物线的定义可知 3 ( ) 52 p   解得 4p ……………………………………………………3 分 ∴C 的方程为 xy 82  .……………………………………………………4 分 (2)法一:由(1)得抛物线 C 的方程为 xy 82  ,焦点 )0,2(F 设 BA, 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxByxA , 则 2 1 1 2 2 2 8 8 y x y x    ……………………………………………………6 分 两式相减。整理得 1212 12 8 yyxx yy   ∵线段 AB 中点的纵坐标为 1 ∴直线l 的斜率 42)1( 88 12  yykAB ……………………………………10 分 直线l 的方程为 )2(40  xy 即 084  yx ……………………………………12 分 法二:由(1)得抛物线C 的方程为 xy 82  ,焦点 )0,2(F 设直线l 的方程为 2 myx 由 2 8 2 y x x my      消去 x ,得 2 8 16 0y my   - 7 - 设 BA, 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxByxA , ∵线段 AB 中点的纵坐标为 1 ∴ 1 2 ( 8 ) 12 2 y y m     解得 4 1m ……………………………………10 分 直线l 的方程为 24 1  yx 即 084  yx ……………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解: (1)依题意,Sn n =3n-2,即 Sn=3n2-2n,…………………………1 分 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5. ……………………………………………3 分 当 n=1 时,a1=S1=1 符合上式,…………………………4 分 所以 an=6n-5(n∈N+).…………………………5 分 又∵an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6, ∴{an}是一个以 1 为首项,6 为公差的等差数列.…………………………6 分 (2)由(1)知, 3 anan+1 = 3 6n-5[6n+1-5] =1 2( 1 6n-5 - 1 6n+1 ),…………………………8 分 故 Tn=1 2[(1-1 7)+(1 7 - 1 13)+…+( 1 6n-5 - 1 6n+1 )]=1 2(1- 1 6n+1 ),……………………10 分 因此使得1 2(1- 1 6n+1 ) 查看更多

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